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直线与圆


直线与圆
一、选择题 1.设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的两个交点,则|AB|=( A.1 B. 2 C.
2 2

)

3

D.2 )

2.已知圆 C 与圆(x-1) +y =1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程( A.(x+1)2+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1 D.x2+(y-1)2=1
2 2

3.直线 ax ? y ? 5 ? 0 截圆 C : x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的弦长为 4,则 a ? ( A. ?2 B. ? 3 C. 2 D. 3



4.已知圆 C 的圆心与点 P(?2, 1) 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为 A. x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 18 B. ( x ?1) 2 ? y 2 ? 18 D. x 2 ? ( y ?1) 2 ? 18

5.若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 斜率的取值范围 为( ) B.(- 3 , 3 ) C. ? ?

A.[- 3 , 3 ]

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ?

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

6.经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
2 2

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

7.圆 x +y +4x=0 的圆心坐标和半径分别是( ) A.(-2,0),2 B.(-2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 8.已知直线 l1:x+2ay﹣1=0,与 l2: (2a﹣1)x﹣ay﹣1=0 平行,则 a 的值是( A.0 或 1 B.1 或
2 2



C.0 或

D.

9.已知圆 C1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为 (
2


2

(A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 (C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

10.已知直线 l 过点 P(3,4) ,它的倾斜角是直线 y=x+1 的两倍,则直线 l 的方程为 ( ) A.y﹣4=0 B.x﹣3=0 C.y﹣4=2(x﹣3) D.y﹣4=x﹣3

试卷第 1 页,总 2 页

11.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 垂直的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0



12.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(



A.

2

B. 1+ 2
2 2

C.

1?

2 2

D. 1+ 2 2

13 .过点 A(1, 2) 且与圆 C : x ? y ? 5 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积 为 。 14. 若直线 l 过点 A(-2, -3), 且与直线 3x+4y-3=0 垂直, 则直线 l 的方程为 15.圆 C 与圆 ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为_______. 16. .若直线 l 过点 A(-2,-3),且与直线 3x+4y-3=0 垂直,则直线 l 的方程 为 . 17.求经过点 M( 2、-2)以及圆 x ? y ? 6 x ? 0 与 x ? y ? 4 交点的圆的方程 _
2 2
2 2



_.

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:显然直线过圆的圆心,所以|AB|长即为直径的长度,所以|AB|=2. 考点:本小题主要考查直线与圆相交的弦长的计算. 点评:解决本题关键是发现直线过圆心,所以弦长等于直径长. 2.C 【解析】 试题分析:(点轴对称法)由于圆关于直线对称,其半径不变,只求出新的圆心即可.而关于 2 2 直线 y=-x 对称,则横、纵坐标交换位置,并取相反数.由圆(x-1) +y =1 的圆心为(1,0), 知对称圆的圆心为(0,-1),故选 C. 考点:点关于直线的对称点的求法。 点评:点 ? x,y ? 关于 x 轴的对称点为 ? x,-y ? ;点 ? x,y ? 关于 y 轴的对称点为 ? - x,y ? ;点 ? x,y ? 关于原点轴的对称点为 ? - x,-y ? ;点 ? x,y ? 关于 y=x 轴的对称点为 ? y,x ? ;点 ? x,y ? 关于 y=-x 轴的对称点为 ? - y,-x ? . 3.C 【解析】 试题分析:由圆的方程 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 ,可化为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4 ,圆的圆心
2 2 2 2 2 2 坐标 C (2,1) , 半径为 r ? 2 , 要使得直线 ax ? y ? 5 ? 0 截圆 C :x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的

弦长为 4 ,则直线必不圆心,即 2a ? 1 ? 5 ? 0 ,解得 a ? 2 ,故选 C. 考点:直线与圆的位置关系. 4.A 【解析】 试题分析:易知 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 的对称点为 (0, ?1) ,即 C (0, ?1) ,圆心到直线

3x ? 4 y ? 11 ? 0 的 距 离 为 d ?

0 ? 4 ? 11 3 ?4
2 2

? 3 , 所 以 r ? 32 ? 32 ? 3 2 , 圆 方 程 为

x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 .故选 A.
考点:圆的标准方程. 5.C 【解析】 试题分析:设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 4? 即 kx ? y ? 4k ? 0 ,曲线 当直线与圆有公共点时 d ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 表示圆心为 ? 2, 0 ? 半径为 1 的圆,

2k ? 4k k 2 ?1

? 1,

答案第 1 页,总 6 页

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解得 ?

3 3 。故 C 正确。 ?k? 3 3

考点:直线与圆的位置关系。 6.B 【解析】 试题分析:圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心为 ? ?1,0? ,与直线 x ? y ? 0 垂直则斜率为 1,直线为

y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0
考点:直线方程 7.A 2 2 2 2 【解析】方程 x +y +4x=0 可化为(x+2) +y =4. 8.C 【解析】 试题分析:先检验当 a=0 时,是否满足两直线平行,当 a≠0 时,两直线的斜率都存在,由 ≠ ,解得 a 的值.

解:当 a=0 时,两直线的斜率都不存在, 它们的方程分别是 x=1,x=﹣1,显然两直线是平行的. 当 a≠0 时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等, 由 ≠ ,解得:a= .

综上,a=0 或 , 故选:C. 考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系. 9.B

?a ?1 ? b ?1 ?1 ? 0 ? 2 【解析】设圆 C2 的圆心为 (a, b) ,则依题意,有 ? 2 ,解得: a ? 2 ,对称 b ? 1 ? ?1 b ? ?2 ? ?a ?1

?

圆的半径不变,为 1,故选 B。 10.B 【解析】 试题分析:由已知直线的方程求得其倾斜角,进一步得到直线 l 的倾斜角为 90°,再由直 线过点 P(3,4)求得直线方程. 解:∵直线 y=x+1 的斜率为 1, ∴其倾斜角为 45°,则直线 l1 的倾斜角为 90°, 又直线 l 过点 P(3,4) , ∴其方程为 x=3,即 x+3=0. 故选:B. 考点:直线的倾斜角. 11.C 【解析】
答案第 2 页,总 6 页

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试题分析:因为待求直线与已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 (斜率为 k1 ? 的性质可求得待求直线的斜率为 k 2 ? ?

1 )垂直,根据直线垂直 2

1 由点斜式可求得待求直线为 y ? ?2 x ? 2 , ? ?2 , k2

所以正确选项为 C. 考点:两直线垂直的性质,直线的方程. 12.B 【解析】

数形结合可得知;最大值是圆心到直线距离加半径,最小值是圆心 到直线距离减半径. ?由点到直线的距离得;最大值为 故答案选B
13. 3 【解析】 14.

1-1-2 12 +12

+r ? 2 ? 1.

a ? b ? (?1, 2),? a ? b ? (?1)2 ? ( 2) 2 ? 3 .

1 2

【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 平 面 向 量 a , b , a ?1 , b ? 2 , ,那么可知 cos ? a, b ?? a ? (a ? b) ? a (a ? b) ? 0 ? a ? a b ; 考点:向量的数量积 点评:主要是考查了向量的数量积的运算的运用,属于基础题。 15.
2

1 ab 1 ? ,故答案为 2 | a || b | 2

3 ? 21 2

【解析】 试题分析:由 a 与 b 互相共线,得 (2k ? 3) ? k ? (3k ? 2) ? 3 解得 k ?

3 ? 21 ,故答案为: 2

3 ? 21 . 2
考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 16.-

1 3
2 2 2 2

【解析】因|a| =|a+2b| =|a| +4|b| +4a·b

答案第 3 页,总 6 页

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整理得 cos<a,b>=-

b a

=-

1 . 3

17.

1 2

【解析】 试题分析: a ? b ? cos ? cos ? ? ?

? ?

??

?? ? ? ?? 1 ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 3? 3? ? ? 3? 2

考点:向量数量积运算及三角函数公式 18. ? ? 【解析】 试 题 分 析 :

? ? ?

5 2 5? , ? 5 5 ? ?

a ? ? m,4? , b ? ? m ? 4,1? ,?a ? b ? ? 2m ? 4,5? , a - b = ? ?4,3? , 由

a ? b ? a ?,可得 b

? 2m ? 4 ?

2

? 52 ? 25,? m ? ?2 , 4 , ? 2? 5 则 a ? ? ?2
? ? ? 5 2 5? , ? 5 5 ? ?

? 525 ? , ? ? 5 5 ?

? ? ? 即与 a 方向相同的单位 ?

向量的坐标是 ? ?

考点:平面向量数量积的运算,单位向量 19. ? 5, 4 ? . 【解析】 试题分析: 设点 B 的坐标为 ( x, y ) ,则 AB ? ( x ? 1, y ? 2) 由已知得: ?

? ?

2( y ? 2) ? 3( x ? 1) ? 0
2 2

? ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 13

,即 ?

?

3x ? 2 y ? 7 ? 0

2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 52



解得: ?

? x ? 5 ? x ? ?3 或? , ? y ? 4 ? y ? ?8

当?

?x ? 5 时, AB ? (4,6) ? 2a ,向量 AB 与向量 a ? ? 2,3? 同向,符合题意; ?y ? 4 ? x ? ?3 时, AB ? ( ?4, ?6) ? ?2a ,向量 AB 与向量 a ? ? 2,3? 反向,与题意不符合, ? y ? ?8

当?

故舍去; 故答案应填: ? 5, 4 ? .
答案第 4 页,总 6 页

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考点:1.向量共线;2.向量的模. 20. 5 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 e ? 1 , 不 妨 设 e ? ?1, 0 ? , 由 于 a ? e ? 2 , b ? e ? 3 , 所 以 可 设

a ? ? 2, m ? , b ? ? 3, n ? , 则 a ? b ? ? ?1, m ? n ? , a ? b ? 1 ? ? m ? n ? ? 5 , 所 以
2

?m ? n?

2

? 4 ,即 ? m ? n ? ? 4 ? 4mn ? 0 ,所以 mn ? ?1 ,所以 a ? b ? 6 ? mn ? 5 ,所以
2

a ? b 的最小值为 5 .
考点:平面向量的数量积运算及不等式的性质. 【方法点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积运算及不等式的性质, 考查了考生的推理能 力和利用所学知识解集问题的能力,属于中档题.本题解答的难点是根据已知条件构造向量

a, b 的数量积表达式,利用 e ? 1 可设 e 为 x 轴上的单位向量 ?1,0 ? ,再根据 a ? e ? 2 ,

b ? e ? 3 ,设出 a, b 的坐标,即可引入变量,由 a ? b ? 5 找到变量的关系,最后根据不
等式的性质求出 a ? b 的最小值. 21.

25 4

【解析】解:由题意可知点 A 在圆上,且过点 A 的直线的斜率为-1/2,那么其直线房产概念 为 y?2? ?

1 ( x ? 1) 然后分别令 x=0,y=0,得到与坐标轴交点的纵坐标和横坐标,然后利用 2 25 4
4 ,由点斜式方程得直线 l 的方程为 4x-3y-1=0. 3

三角形面积公式解得为 22.4x-3y-1=0.

【解析】依题意直线 l 的斜率为 23. x ? ( y ? 1) ? 1
2 2

【解析】 试 题 分 析 : 圆 心 ?1,0? 关 于 直 线 y ? ? x 对 称 的 点 为 ?0,?1? , 所 以 圆 C 的 方 程 为

x 2 ? ? y ? 1? ? 1,故填: x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1
2

考点:圆的方程 24.4x-3y-1=0. 【解析】略 25. x ? y ? 3x ? 2 ? 0 .
2 2

答案第 5 页,总 6 页

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【解析】 试题分析: 方法一:将 x 2 ? y 2 ? 4 化为一般式 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 ,所求圆经过两圆的交点,则可设所求 圆 的 方 程 为

?x

2

? y2 ? 6x ? ? ? ? x2 ? y 2 ? 4? ? 0











(1 ? ? ) x2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 6x ? 4? ? 0 ;
此圆经过(2,-2) ,代入上述方程得 4(1 ? ? ) ? 4(1 ? ? ) ? 12 ? 4? ? 0 ,解得 ? ? 1 , 所以该圆的方程为 2x2 ? 2 y 2 ? 6x ? 4 ? 0 ,即 x2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 . 方法二:圆 x ? y ? 6 x ? 0 与 x ? y ? 4 的交点为 ? , ?
2 2
2 2

?2 ?3 ?

4 2? ? ,因为圆心在 x 轴上 3 ? ?

2 2 3 ?? 2 ? ? 4 2? ? 2 a? ? ? ? a ? ? ? r ? ? 2 ? ?? ? ? 2 2 2 3 ? 设所求圆的方程为 ? x ? a ? ? y ? r ,则 ?? 3 ,解得 ? ,所 ? ? ? 17 2 ? ? 2 2 r ? 2 ? ? ? 4 ? ? 2 ? a ? ? ? ?2 ? ? r

求圆的方程为 ? x ?
2 2

? ?

3? 17 2 2 2 ? ? y ? ,化为一般式为 x ? y ? 3x ? 2 ? 0 . 2? 4

2

故答案为 x ? y ? 3x ? 2 ? 0 . 考点:圆的方程.

答案第 6 页,总 6 页


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