当前位置:首页 >> 数学 >>

湖南四大名校高中自主择选招生考试数学试卷(2013年培训资料)


湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

长郡中学 2008 年高一实验班选拔考试试卷
注意: (1) 试卷共有三大题 16 小题,满分 120 分,考试时间 80 分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.

一、 选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)下面每小题给出的四个选项中,只有 一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( (A) 直线 y = –x 上 (C) 直线 y = x 上 (B) 抛物线 y = x 2 上 (D) 双曲线 xy = 1 上 )

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,那 么 k 的值是 ( (A) 35 ) (B) 30
3

(C) 25

(D) 20 )

3.若-1< a <0,则 a, a , 3 a ,

1 一定是 ( a
3

1 3 最小, a 最大 a 1 (C) 最小,a 最大 a
(A)

(B) (D)

a 最小, a 最大
3

1 最小, a

a 最大

4.如图,将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°,得 △ABF,连结 EF 交 AB 于 H,则下列结论错误的是( (A) AE⊥AF (C) AF2 = FH?FE (B)EF:AF = 2 :1 (D)FB :FC = HB :EC
第4题



5.在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 CD 与 BE 相交于点 F,已知△BDF 的面 积为 10, △BCF 的面积为 20, △CEF 的面积为 16, 则四边形区域 ADFE 的面积等于 ( (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 )

6.某医院内科病房有护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班,每 8 小时换班一次,某两人同值 一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( (A)30 (B)35 (C)56 (D) 448 )

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

1

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 7.若 4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则 tanA = ___

段中明 ___ .

8.在某海防观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后,A 船以每小时 12 海浬 的速度往南航行,B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流. 则经过 观测站及 A、B 两船恰成一个直角三角形. 9.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其 长、宽分别为 4、2,则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式 是 .
(第 9 题)

小时后,

10.桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为 20cm,小 球半径 5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离 等于 cm. 11. 物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发, 沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动, 物质 A 按逆时针方向以 l 单位/秒等速运动, 物质 B 按顺时针方向, 2 单位/秒等速运动, 以 则两个物质运动 后的第 11 次相遇地点的坐标是 .
(第 11 题)

12.设 C1 , C 2 , C 3 , ? ? 为一群圆, 其作法如下: C1 是半径为 a 的圆, 在 C1 的圆内作四个 相等的圆 C 2 (如图), 每个圆 C 2 和圆 C1 都内切, 且相邻 的两个圆 C 2 均外切, 再在每一个圆 C 2 中, 用同样的方 法作四个相等的圆 C3 , 依此类推作出 C 4 , C 5 , C 6 , ?? , 则 (1) 圆 C 2 的半径长等于 表示); (2) 圆 C k 的半径为 ( k 为正整数,用 a 表示,不必证明) (用 a
第 12 题

三、解答题(本题有 4 个小题,共 60 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。

2

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

13.(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,DC 与 AB 的延长线相交于 E 点,OC∥AB. (1) 求证 AD = AE; (2) 若 OC=AB = 4,求△BCE 的面积. (1)证 1.∵AD 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, ∴∠ACD = 90?,即 AC⊥DE. 又∵OC∥AE,O 为 AD 中点 ∴AD = AE.
第 13 题

证 2 ∵O 为 AD 中点,OC∥AE,
∴2OC = AE, 又∵AD 是圆 O 的直径, ∴ 2OC = AD, ∴AD = AE.

(2)由条件得 ABCO 是平行四边形, ∴BC∥AD, 又 C 为中点,∴AB =BE = 4, ∵AD = AE,∴BC = BE = 4, 连接 BD,∵点 B 在圆 O 上,∴∠DBE= 90?,∴CE = BC= 4, 即 BE = BC = CE= 4, ∴ 所求面积为 4 3 . 4分

14.(本题满分 14 分)已知抛物线 y = x2 + 2px + 2p –2 的顶点为 M, (1) 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点; (2) 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ABM 面积达到最小. 解:(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , ∴抛物线与 x 轴必有两个不同交点. (2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = ∴|AB| = 2 (p ? 1) 2 ? 1 . 又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得 b = – ( p – 1 )2 – 1 . 当 p =1 时,|b|及|AB|均取最小,此时 S△ABM =
1 |AB||b|取最小值 1 . 2

4分

[4 ( p –1)2 + 4]2, 5分

5分

3

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

15 (本小题满分 16 分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一场 平一场 积分 奖励(元/每人) 3 1500 1 700 负一场 0 0

当比赛进行到 12 轮结束(每队均要比赛 12 场)时,A 队共积 19 分。 (1) 试判断 A 队胜、平、负各几场? (2) 若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元, A 队中一位参赛队员所得的奖金与出 设 场费的和为 W(元) ,试求 W 的最大值. 解: (1)设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场, 得?
? x ? y ? z ? 12 ? y ? 19 ? 3x ,可得: ? ?3x ? y ? 19 ?z ? 2 x ? 7

4分

依题意,知 x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,
?19 ? 3x ? 0 ? ∴ ?2 x ? 7 ? 0 ?x ? 0 ?

解得:

7 19 ≤x≤ 2 3

,∴ x 可取 4、5、6

4分

∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当 x=4 时, y=7,z=1; 当 x=5 时,y= 4,z = 3 ; 当 x=6 时,y=1,z= 5. (2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当 x = 4 时,W 最大,W 最大值= – 60?4+19300=16900(元) 答略. 4分 4分

16(本小题满分 18 分)已知:矩形 ABCD, (字母顺序如图) 的边长 AB=3, AD=2, 将此矩形放在平面直角坐标系 xOy 中, 使 AB 在 x 轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限, 且直线 y =
3 x-1 经过这两个顶点中的一个. 2

(1)求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; (2)以 AB 为直径作⊙M,经过 A、B 两点的抛物线,y = ax2+bx+c 的顶点是 P 点. ① 若点 P 位于⊙M 外侧且在矩形 ABCD 内部,求 a 的取值范围;

4

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

② 过点 C 作⊙M 的切线交 AD 于 F 点,当 PF∥AB 时,试判断抛物线与 y 轴的交点 Q 是位于直线 y =

3 x-1 的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由. 2

解:(1)如图,建立平面直有坐标系,

∵矩形 ABCD 中,AB= 3,AD =2, 设 A(m 0)( m > 0 ), 则有 B(m+3 0);C(m+3 2), D(m 2); 若 C 点过 y =

3 3 x-1;则 2= (m+3)-1, 2 2 3 x-1; 2

m = -1 与 m>0 不合; ∴C 点不过 y= 若点 D 过 y=

3 3 x-1,则 2= m-1, m=2, 2 2
5分

∴A (2, 0), B(5,0),C(5,2 ), D(2,2); (2)①∵⊙M 以 AB 为直径,∴M(3.5 0), 由于 y = ax2+bx+c 过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点, ∴?

?0 ? 4a ? 2b ? c ?b ? ?7a ∴? ?0 ? 25a ? 5b ? c ?c ? 10a

2分

∴y = ax2-7ax+10a ( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x2-7x+10) = ax2-7ax+10a ) ∴y = a(x-

7 2 9 ) - a; 2 4

∴抛物线顶点 P(

7 9 , - a) 2 4

∵顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内部, ∴

3 9 8 2 <- a < 2,∴- <a<– . 2 4 9 3

3分

② 设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF = n, n>0; ∵AD、BC、CF 均为⊙M 切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在 Rt?DCF 中, ∵DF2+DC2=CF2; ∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=

9 9 , ∴F(2, ) 8 8

5

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

9 9 9 1 ;∴- a = ,∴a = - ; 8 4 8 2 1 7 ∴抛物线的解析式为:y= - x2+ x-5 3分 2 2 3 抛物线与 y 轴的交点为 Q(0,-5) ,又直线 y = x-1 与 y 轴交点( 0,-1) ; 2 3 ∴Q 在直线 y= x-1 下方. 3分 2
∴当 PF∥AB 时,P 点纵坐标为

高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、 选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7.

1 . 2

8.2. 11.( –

9. y = –

5 2 1 20 x – x + . 2 12 3

4 ,–2). 3 12.(1) 圆 C 2 的半径 ( 2 ? 1) a ; (2)圆 C k 的半径 ( 2 –1 )n – 1 a .
10.20.

长郡中学 2009 理科实验班招生考试数学试卷
满分:100 时量:70min 一、选择题(本题有 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1.函数 y= ?
y

1 图象的大致形状是 x y


y


y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

2.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内 切圆(阴影)区域的概率为 ( ) A、 1
2

B、 3 π 6
200

C、 3 π
9

D、 3 3 π ( (D)11 )

3.满足不等式 n (A)8

? 5300 的最大整数 n 等于
(C)10

(B)9

4.甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相向而行,相遇

6

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

后甲驶 1 小时到达 B 站,乙再驶 4 小时到达 A 站. 那么, 甲车速是乙车速的 (A)4 倍 (B)3 倍 (C)2 倍 ( (D)1.5 倍

5.图中的矩形被分成四部分,其中三部分面积分别为 2, 3,4,那么,阴影三角形的面积为 (A)5 (B)6 (C)7 ( (D)8 )

6.如图,AB,CD 分别是⊙O 的直径和弦,AD,BC 相交于点 E, ∠AEC= ? ,则△CDE 与△ABE 的面积比为 ( 2 (A)cos ? (B)sin ? (C)cos ? ) 2 (D)sin ?

7.两杯等量的液体,一杯是咖啡,一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混 合液注入到奶油杯里. 这时, 设咖啡杯里的奶油量为 a, 奶油杯里的咖啡量为 b, 那么 a 和 b 的大小为 (A) a ? b (B) a ? b ( ) (C) a ? b (D)与勺子大小有关

8 . 设 A , B , C 是 三 角 形 的 三 个 内 角 , 满 足 3 A ? 5B,3C ? 2 B , 这 个 三 角 形 是 ( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)都有可能 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8 不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式 成立: 1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□ 10.如图,正三角形与正六边形的边长分别为 2 和 1,正六边 形的顶点 O 是正三角形的中心,则四边形 OABC 的面积等 于 ______ . 11.计算:

3? 3 ? 6 2? 2 ? 6

= ________ .

12.五支篮球队举行单循坏赛(就是每两队必须比赛 1 场,并且只比赛一场) ,当赛程进行 到某天时,A 队已赛了 4 场,B 队已赛了 3 场,C 队已赛了 2 场,D 队已赛了 1 场,那么到 这天为止一共已经赛了 __ 场,E 队比赛了 ___ 场. 13.已知∠AOB=30°,C 是射线 OB 上的一点,且 OC=4,若以 C 为圆心,半径为 r 的圆与射线 OA 有两个不同的交点,则 r 的取值范围是_____________ 14.如图,△ABC 为等腰直角三角形,若 AD=

1 1 AC,CE= BC,则∠1 __ ∠2 3 3
(第 14 题)
7

(填“>”“<”或“=” 、 ) 三.解答题(共 38 分)

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

15. (12分)今年长沙市筹备 60 周年国庆,园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A,B 两种园艺造型共 50 个摆放在五一大道两侧, 已知搭配一个 A 种 造型需甲种花卉 80 盆,乙种花卉 40 盆,搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆. (1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的 搭配方案有几种?请你帮助设计出来. (2) 若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元, 搭配一个 B 种造型的成本是 960 元, 试说明 (1) 中哪种方案成本最低?最低成本是多少元?

16. (12分)如图, △ ABC 是 ? O 的内接三角形, AC ? BC , D 为 ? O 中 ? 上一 AB 点,延长 DA 至点 E ,使 CE ? CD . (1)求证: AE ? BD ; (2)若 AC ? BC ,求证: AD ? BD ? 2CD .

C E O A D B

8

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

17. (14分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动;点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动,过点 Q 向上作射线 QK⊥BC,交 折线段 CD-DA-AB 于点 E.点 P、Q 同时开始运动,当点 P 与点 C 重合时停止运动,点 Q 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当点 P 到达终点 C 时,求 t 的值,并指出此时 BQ 的长; (2)当点 P 运动到 AD 上时,t 为何值能使 PQ∥DC ? (3)设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时,S 与 t 的函数关系式; (不必写出 t 的取值范围) (4)△PQE 能否成为直角三角形?若能,写出 t 的取值范围;若不能,请说明理由. K A D P B E Q C

参考答案 选择题 DCDCCCCB

9. 1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2

9

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

10.

3 3

11.

6 2
14.=

12. 6 场,2 场

13. 2 ? r ? 2 3

15. (1)解:设搭配 A 种造型 x 个,则 B 种造型为 (50 ? x) 个,依题意,得:

?80 x ? 50(50 ? x) ≤ 3490 ? x ≤ 33 ,解这个不等式组,得: ? ,? 31 ≤ x ≤ 33 ? ?40 x ? 90(50 ? x) ≤ 2950 ? x ≥ 31
32 33 ? x 是整数,? x 可取 31, , ,? 可设计三种搭配方案:
① A 种园艺造型 31 个 B 种园艺造型 19 个 ② A 种园艺造型 32 个 B 种园艺造型 18 个 ③ A 种园艺造型 33 个 B 种园艺造型 17 个. (2)应选择方案③,成本最低,最低成本为 42720 元 16.证明: (1)在 △ ABC 中, ?CAB ? ?CBA . 在 △ECD 中, ?CAB ? ?CBA . ? ?CBA ? ?CDE , (同弧上的圆周角相等) ??ACB ? ?ECD . , ??ACB ? ?ACD ? ?ECD ? ?ADE .??ACE ? ?BCD . 在 △ ACE 和 △BCD 中,

?ACE ? ?BCD;CE ? CD;AC ? BC ?△ ACE ≌△BCD .? AE ? BD . ? (2)若 AC ⊥ BC, ?ACB ? ?ECD .

??ECD ? 90?, CED ? ?CDE ? 45? . ??

? DE ? 2CD ,又? AD ? BD ? AD ? EA ? ED ? AD ? BD ? 2CD
17.解: (1)t =(50+75+50)÷5=35(秒)时,点 P 到达终点 C. 此时,QC=35?3=105,∴BQ 的长为 135-105=30. (2)如图 8,若 PQ∥DC,又 AD∥BC,则四边形 PQCD 为平行四边形,从而 PD=QC,由 QC=3t,BA+AP=5t 得 50+75-5t=3t,解得 t= 125 .
8

A

P

E

K

D

经检验,当 t= 125 时,有 PQ∥DC.
8

B

Q H 图8 A P K E H Q

C

(3)①当点 E 在 CD 上运动时,如图 9.分别过点 A、D 作 AF⊥BC 于点 F,DH⊥BC 于点 H,则四边形 ADHF 为矩形,且△ABF≌△DCH,从而 FH= AD=75,于是 BF=CH=30.∴DH=AF=40. 又 QC=3t,从而 QE=QC?tanC=3t? DH =4t. CH B

D

G F

C

图9

10

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 (注:用相似三角形求解亦可) QC=6t2; ∴S=S⊿QCE = 1 QE· 2

段中明

②当点 E 在 DA 上运动时,如图 8.过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,由①知 DH=40,CH=30,又 QC=3t,从而 ED=QH=QC-CH=3t-30. ∴S= S 梯形 QCDE = 1 (ED+QC)DH =120 t-600. 2 (4)△PQE 能成为直角三角形.

长郡中学 2010 理科实验班招生考试数学模拟试卷
一.选择题: (每个题目只有一个正确答案,每题 4 分,共 32 分) 1. 已知

1 1 5 xy ? x ? y ? ? 3 ,则 的值等于 3 x ? 3 y ? 4 xy x y



2.计算:20062006?2007+20072007?2008 ? 2006?20072007 ? 2007?20082008

=


时, A

3.函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 ,当 x = y 有最小值,最小值等于 .

4.如图,△ABC 中,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=6 cm, AC=4 cm,∠A=60°,则 AD 的长为 cm.

B

D (第 4 题)

C

5.甲上岳麓山晨练,乙则沿着同一条路线下山,他们同时出发,相遇后甲再上走 16 分钟, 乙再下走 9 分钟,各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于 6.如果关于 x 的方程 x ? 2?a ? 1?x ? 2a ? 1 ? 0 有一个小于 1 的正数根,那么实数 a 的
2

取值范围是

.

7.实数 x、y 满足 x2-2x-4y=5,记 t=x-2y,则 t 的取值范围为___________________.
a

8.两个任意大小的正方形,都可以适当剪开,拼成一个 较大的正方形,如用两个边长分别为 a,b 的正方形
b A B
11

C

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

拼成一个大正方形. 图中 Rt△ABC 的斜边 AB 的长等 于 (用 a,b 的代数式表示). 第8题

二.选择题: (每小题 4 分,本题满分 32 分) 9. 若 x ? x ? x ? 1 ? 0 , x . 则
3 2

?27

? x ?26 + ? + x ?1 ? 1 ? x + ? + x 26 ? x 27 的值是 (
(D)2



(A)1

(B)0

(C)-1

10. 用橡皮筋把直径为 10cm 的三根塑料管紧紧箍住, 这条拉紧的橡皮筋的长度 (精确到 0.1 等于 (A)94.2 cm (C)61.4 cm (B)91.4 cm (D)56.4 cm ( )

11、 李姐在超市买了 4 包酸奶和 4 包鲜奶, 共付款 a 元, 后来她退了 2 包 酸 奶 , 再 买 4 包 鲜 奶 , 收 银 员 找 还 给 她 b 元 ( 0<b<a ) . 每 包 酸 奶 的 价 格 是 ( ) (A)

a 元 6

(B)

b 元 6

(C)

a?b 元 6

(D)

a?b 元 6
E

12.定义:定点 A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点 A 与⊙O 之间的距离.现有一矩形 ABCD 如图,AB=14cm, BC=12cm,⊙K 与矩形的边 AB、BC、CD 分别相切于点 E、F、 G,则点 A 与⊙K 的距离为( (A)4cm (B)8cm ) (D)12cm (C)10cm

B F C

A K

G (第 12 题)

D

13.国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行,比赛规则是:共下 10 局棋,每局胜方得 1 分,负方得 0 分,平局则各得 0.5 分,谁的积分先达到 5.5 分便夺冠,不继续比赛; 若 10 局棋下完双方积分相同,则继续下,直到分出胜负为止.下完 8 局时,甲 4 胜 1 平. 若以前 8 局棋取胜的频率为各自取胜的概率,那么在后面的两局棋中,甲夺冠的概率 是 (A) ( )

1 2

(B)

5 8

(C)

45 64

(D)

49 64

12

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

14.若

a b c ? ? ? t ,则一次函数 y ? tx ? t 2 的图象必定经过的象限是( b?c c?a a?b
(B)第一、二、三象限 (D)第三、四象限 ( )



(A)第一、二象限 (C)第二、三、四象限

15、如图,直线 x=1 是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴,则有 (A)a+b+c>0 (B)b>a+c (C)abc<0 (D)c>2b

16.已知 x、y、z 是三个非负实数,满足 3x+2y+z=5, x+y-z=2, S=2x+y-z, S 的最大值与最小值的和为 若 则 ( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 三.解答题: (每题 12 分,满分 36 分) 17 。通过实验研究,专家们发现:初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而 变化的, 讲课开始时, 学生的兴趣激增, 中间有一段时间, 学生的兴趣保持平稳的状态, 随后开始分散。学生注意力指标数 y 随时间 x (分钟)变化的函数图象如图所示( y 越 大表示学生注意力越集中) :当 0 ? x ? 10 时,图象是抛物线的一部分;当 10 ? x ? 20 和 20 ? x ? 45 时,图象是线段。 (1)当 0 ? x ? 10 时,求 y 关于 x 的函数关系式; (2) 一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟, 问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时, 注意力的指标数都不低于 36。

18.如图,点 P 是圆上一动点,弦 AB= 3 cm,PC 是 ? APB 的平分线, ? BAC=30 ? 。

13

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(1)当 ? PAC 等于多少度时,四边形 PACB 有最大面积?最大面积是多少? (2)当 PA 的长为多少时,四边形 PACB 是梯形?说明你的理由。

19.已知:如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC=a 厘米,AC=b 厘米,a >b,且 a、b 是方程 x2 ? (m ?1) x ? m ? 4 ? 0 的两根, ⑴求 a 和 b 的值; ⑵△ A ' B ' C ' 与△ABC 开始时完全重合, 然后让△ABC 固定不动,
B' B A' A

M C' C

将△ A ' B ' C ' 以 1 厘米/秒的速度沿 BC 所在的直线向左移动. ⅰ)设 x 秒后△ A ' B ' C ' 与△ABC 的重叠部分的面积为 y 平方厘米,求 y 与 x 之 间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; 3 ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于 平方厘米? 8

数学试题 2 参考答案
1、

2 5

2、0 6、 ? 1 ? a ? ?

3、-2,2

5 、3:4

1 2

7、 t ?

9 2

12 3 5 2 a ? b2 8、 a
4、

14

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 9.C 10、C 11、D 12、A 13 D

段中明 14、A 15、D 16、A

17 解: (1)设当 0 ? x ? 10 时,函数的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c 由图象知抛物线过 (0, 20),(5,39),(10, 48) 三点

?c ? 20 ? ? ?25a ? 5b ? c ? 39 ?100a ? 10b ? c ? 48 ?
解得 a ? ? , b ?

1 5

24 , c ? 20 5

? 当 0 ? x ? 10 时, y 关于 x 的函数关系式为 1 24 y ? ? x2 ? x ? 20 ( 0 ? x ? 10 ) 5 5
(2)当 0 ? x ? 20 时, y ? 48 当 20 ? x ? 45 时, y ? ?

6分

28 352 x? 25 5 1 2 24 x ? 20 ? 36 令 y ? 36 ,则由 ? x ? 5 5 解得 x ? 4 或 x ? 20 (舍去) 28 352 5 x? ? 36 解得 x ? 30 由? 12 分 25 5 7 5 ? 在上课 4 分钟后和 30 分钟前,学生注意力的指标数都超过 36 7 ? ? P C ? ?B P C ? A C ? B C A 18.解: (1)? PC 平分 ?APB
由 AB ? 3, ?BAC ? 30? ,求得 AC ? BC ? 1

? S四边形PACB ? S?ABC ? S?PAB
S?ABC 为定值,当 S?PAB 最大时,四边形 PACB 面积最大 此时 PC 应为圆的直径 ?PAC ? 90? ? ?APC ? ?BAC ? 30? ? PC ? 2 AC ? 2 1 ? 四边形 PACB 的最大面积为 ? 3 ? 2 ? 3(cm 2 ) ???????6 分 2 (2)若四边形 PACB 为梯形,则当 AC ∥ PB 时
由(1)知 AC ? BC ? 1, ?CAB ? ?PBC ? 30? ? PA=BC=1 当 PA∥ BC 时,则 ?PAB ? ?ABC ? 30? 在 ?PBA 中, ?APB ? 60? , ?PAB ? ?ABC ? 30? ??8 分

??ABP ? 180? ? 60? ? 30? ? 90?
此时 PA 为圆的直径,由(1)知 PA=2 ??????????12 ? 当 PA=1 或 2 时,四边形 PACB 为梯形 19.解:(1)∵△ABC 是 Rt△且 BC=a,AC=b,AB=5 (a>b) 又 a、b 是方程的两根

15

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

?? ? (m ? 1) 2 ? 4(m ? 4) ? 0 ? ?a ? b ? m ? 1 ? 0 ∴? ?a ? b ? m ? 4 ? 0 ?a 2 ? b 2 ? 25 ?

∴(a+b)2-2ab=25

(m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0????. 得 m1=8 m2=-4 经检验 m=-4 不合舍去 ∴m=8 ∴x2-7x+12=0 x1=3 x2=4 ∴a=4,b=3 (2) ∵△ A ' B ' C ' 以 1 厘米/秒的速度沿 BC 所在直线向左移动。 ∴x 秒后 BB′=x 则 B′C′=4-x ∵C′M∥AC ∴△BC′M∽△BCA ∴
BC ? MC ? ? BC AC

∴ MC ? ? (4 ? x)
1 3 (4 ? x) (4 ? x) 2 4

3 4

∴ S ?BC ?M ? y ?
3 8 3 当 y= 时 8

即 y ? ( 4 ? x) 2

3 8

∴y= x 2 ? 3x ? 6

(0 ? x ? 4)
3 3 ( 4 ? x) 2 = 8 8

x1=3
3 8

x2=5(不合舍去)

∴经过 3 秒后重叠部分的面积等于 平方厘米。

2011 年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷 (初试)
考生注意:本试卷全卷共 28 小题,分值 100 分,将答案写在答题卡上,考试时间 90 分 钟。 一、本大题共 5 小题,每小题 2 分,满分 10 分。 1. 把抛物线 y ? ? x 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的解析
2

式为 2. 函数 y ? 3.已知



3? x 中,自变量 x 的取值范围是 x ?1



1 1 2 x ? 14 xy ? 2 y ? ? 3 ,则代数式 的值为 x y x ? 2 xy ? y
1 1 1 , a2 ? 1 ? , a3 ? 1 ? ,? 则 a2011 的值为 m a1 a2



4. 若 a1 ? 1 ?

。 (用含 m 的

代数式表示) 5. 如图,等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,BE∥AD, 梯形 ABCD 的周长为 26,DE=4,则△BEC 的周长为 。 二、本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分。

16

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 6. 双曲线 y1 、 y2 在第一象限的图像如图, y1 ?

段中明

4 , x

过 y1 上的任意一点 A ,作 x 轴的平行线交 y2 于 B , 交 y 轴于 C ,若 S?AOB ? 1,则 y2 的解析式是 。

7. 若 2x 2 ? 6 y 2 ? xy ? kx ? 6 能分解为两个一次因式的积,则整数 k 的值是___________。
2 2 2 8. 若 实 数 a, b 满 足 a ? b ? 1 , 则 2a ? 7b 的 最 小 值

C

B





B?
A

9. 如图,边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30 ? 到正方形 C ? AB ?C ? ? ,则图中阴影部分的面积为 D 。 10. 一青蛙在如图 8 ? 8 的正方形(每个小正方形的边长为 1)网格的格 点(小正方形的顶点)上跳跃,青蛙每次所跳的最远距离为 5 ,青蛙 从点 A 开始连续跳六次正好跳回到点 A ,则所构成的封闭 图形的面积的最大值是 。

D

D? A

11. 如图,依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形,再依 ... 次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形,按此方法继续下去. 若第一个正方形边长为1,则第 n 个正方形的面积是 ? 。

D
12.如图,直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B ,点 A、 C 到直线 l 的距离分别 是 1 和 2,则正方形的边长是 。 ??
C

13.如图,小亮从 A 点出发,沿直线前进 10 米后向左转 30? ,再沿直线前进 10 米,又向左转 30? ,??,照这样走下去,他第一次回到出发地 A 点时, 一共走了
3

A
1

2
l

B
米。

14. 化简

2? 5 1? 5

的结果是



3

15. 计算:

1 1 1 1 + + +?+ 2? 2 3 2 ?2 3 4 3 ?3 4 2006 2005 ? 2005 2006

。 A

30?

三、本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 16. 汽车从甲地开往乙地,每小时行 u 1 千米, t 小时可以到达,如果每小时多行驶 u 2 千米, 那么可以提前达到的小时数是 17. 已知关于 x 的不等式组 ? 。 。

? 2a ? 3 x ? 0 恰有 3 个整数解,则 a 的取值范围是 ?3a ? 2 x ? 0

17

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

18.已知 xyz ? 1, x ? y ? z ? 2, x ? y ? z ? 16, 则
2 2 2

1 1 1 ? ? ? xy ? 2 z yz ? 2 x zx ? 2 y
____.



19. 若△ABC 的三条中线长为 3、4、5,则 S△ABC 为________

20. 若直线 323x ? 457y ? 1103与直线 177x ? 543y ? 897 的交点坐标是( a , b ) ,则

a 2 ? 2004 2 的值是 b
21. 函数 y= x2 ? 4x ? 5 ?

. B A O F C

四、本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分

x2 ? 4x ? 8 的最小值是___________

22. 如图,以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形 BCEF, 设正方形的中心为 O,连结 AO,如果 AB=4,AO= 6 2 ,那么 AC 的长等 于 。

E

23.设 i=1,2,3,...,n, 且 0< x i <1, x1 ? x2 ? ...? xi ? 19 ? x1 ? x2 ? ...? xi , 则 n 的最小 整数解为______。 24. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c , 交 y 轴于一点 A(0,1),交 x 轴于 M( x1 ,0 ),N ( x2 ,0) , 且

0 ? x1 ? x2 ,过点 A 的直线交 x 轴于点 C, 交抛物线于另一点 B,且 S△ BMN ?
CAN 为等腰直角三角形,则抛物线的解析式为______。

5 S△ AMN . 若△ 2

阅读下面材料,完成第 25—28 题。
0°—360°间的角的三角函数 在初中,我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数,即在图 1 所示的直角三 角形 ABC,∠A 是锐角,那么 sinA=

?A的对边 ?A的邻边 ?A的对边 ?A的邻边 ,cosA= ,tanA= ,cotA= 斜边 斜边 ?A的邻边 ?A的对边
B

y P(x、y) r

A

C

o

α 图2

x

图1

为了研究需要,我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义: 设有一个角α ,我们以它的顶点作为原点,以它的始边作为 x 轴的正半轴 ox,建立直角坐 标系(图 2) ,在角α 的终边上任取一点 P,它的横坐标是 x,纵坐标是 y ,点 P 和原点(0, 0)的距离为 r ?

x 2 ? y 2 (r 总是正的) ,然后把角α 的三角函数规定为:

18

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

sinα =

y x y x ,cosα = ,tanα = ,cotα = r r x y

我们知道,图 1 的四个比值的大小与角 A 的大小有关,而与直角三角形的大小无关,同 样图 2 中四个比值的大小也仅与角α 的大小有关,而与点 P 在角α 的终边位置无关. 比较图 1 与图 2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的,根据 第二种定义回答下列问题,每题 4 分,共 16 分 25.若 27 0 <α <36 0 ,则角α 的三角函数值 sinα 、cosα 、tanα 、cotα ,其中取正值的 是 26.若角α 的终边与直线 y=2x 重合,则 sinα + cosα = 27.若角α 是钝角,其终边上一点 P(x, 5 ) ,且 cosα =
? ? ? ?

2 x ,则 tanα 4

28.若 0 ≤α ≤9 0

,则 sinα +cosα 的取值范围是

长郡中学高一招生数学试题(2011 年)
(时间 60 分钟 满分 100 分) 一、选择题:(本题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题只有一个符合题意的答案) 1. 下列四个图形中,每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色 都一样,那么不可能是这一个正方体的展开图的是( ) 红 黄 绿 黄 A. 红 绿 绿 黄 红 黄 红 B. 绿 红 红 黄 绿 黄 C. 绿 绿 黄 红 黄 红 D.
19

绿

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的 产值增长了 x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( ) A、2x% B、1+2x% C、 x%)x% (1+ D、 (2+x%)x%

3.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条 a 元,又从另—个鱼摊上买了两条鱼,平均每条 b 元, 后来他又以每条 A、a>b

a?b 元的价格把鱼全部卖给了乙, 结果发现赔了钱, 原因是 ( 2
C、a=b D、与 a 和 b 的大小无关



B、a<b

4.若 D 是△ABC 的边 AB 上的一点,∠ADC=∠BCA,AC=6,DB=5,△ABC 的面积是 S,则△BCD 的面积是 ( ) A、

3 S 5

B、

4 S 7

C、

5 S 9

D、

6 S 11

5.如图,AE⊥AB 且 AE=AB,BC⊥CD 且 BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算 图中实线所围成的图形的面积 S 是( ) A、50 B、62 C、65 D、68

6.如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子 上方的箭头各指着轮子上的一个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为 a, 右图轮子上方的箭头指着的数字为 b,数对(a,b)所有可能的个数为 n,其中 a+b 恰为偶数的不同数对的参数为 m,则 m/n 等于 ( ) A、

1 2

B、

1 6

C、

5 12

D、

3 4

7.如图,甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点,A、C 同时沿正方形的边开始移动,甲 点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的 4 倍,则它们 第 2000 次相遇在边 ( ) A、AB 上 B、BC 上 C、CD 上 D、DA 上 8.已知实数 a 满足 | 2006 ? a | ? a ? 2007 ? a ,那么 a ? 2006 的值是(
2



A、2005

B、2006

C、2007

D、2008

二、填空题:(本题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。) 9.小明同学买了一包弹球,其中

1 1 1 是绿色的, 是黄色的,余下的 是蓝色的。如果有 12 4 8 5
)个弹球

个蓝色的弹球,那么,他总共买了( 符合条件的点 P 共有( )个.

10.已知点 A(1,1)在平面直角坐标系中,在坐标轴上确定点 P 使△AOP 为等腰三角形.则 11.不论 m 取任何实数,抛物线 y=x2+2mx+m2+m-1 的顶点都在一条直线上,则这条直线的 函数解析式是( ) . 12.将红、白、黄三种小球,装入红、白、黄三个盒子中,?每个盒子中装有相同颜色的小

20

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 球.已知: (1)黄盒中的小球比黄球多; (2)红盒中的小球与白球不一样多; (3)白球比白盒中的球少.

段中明

则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是(

).

13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC.BD 相交于点 O,若 AC=5,BD=12,中位线长为 的面积为 S1,△COD 的面积为 S2,则 S1 ? S 2 =( )

13 ,△AOB 2

14.已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b,如果总有另一矩形 B,使得矩形 B 与矩形 A 的周长 之比与面积之比都等于 k,则 k 的最小值为( ) 15.已知 x、y 均为实数,且满足 xy+x+y=17,x2y+xy2=66, 则 x4+x3y+x2y2+xy3+y4=( ) 别在半径

16.如图 5,已知在圆 O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分 OM,OP 以及圆 O 上,并且∠POM=45°,则 AB 的长为( ) 三、解答题:(本题有 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分。)

17.甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训,甲班学生步行 速度为 4km/h,乙班学生步行速度为 5km/h,学校有一辆汽车,该车空车速度为 40km/h, 载人时的速度为 20km/h,且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生,现在要求两个班的 学生同时到达军营,问他们至少需要多少时间才能到达? 18.如图,已知矩形 ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P 在 CD 上移动,AP 与 DM 交于点 E, PN 交 CM 于点 F,设四边形 MEPF 的面积为 S,求 S 的是大值.
A M F N B

E

D

P

C

21

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2011 年雅礼中学自主招生考试数学试卷
一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.飞形棋中有一正方体骰子,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从 不同的角度观察的结果如图所示.如果记 6 的对面的数字为 a,2 的对面的数字为 b, 那么 a+b 的为( )

A.11

B.7

C.8

D.3

2.如图是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象(收支差额=车票收入﹣ 支出费用) .由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出两条建议:建议(1)是不改变 车票价格,减少支出费用;建议(2)是不改变支出费用,提高车票价格.下面给出四 个图象(如图所示)则( )

A.① 反映了建议(2) 反映了建议(1) ,③ B.① 反映了建议(1) 反映了 ,③ 建议(2) C.② 反映了建议(1) 反映了建议(2) ,④ D.④ 反映了建议 (1) 反映了建议(2) ,② 3.已知函数 y=3﹣(x﹣m) (x﹣n) ,并且 a,b 是方程 3﹣(x﹣m) (x﹣n)=0 的两 个根,则实数 m,n,a,b 的大小关系可能是( ) A.m<n<b<a B.m<a<n<b C.a<m<b<n D.a<m<n <b

22

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

4.记 Sn=a1+a2+…+an,令

,称 Tn 为 a1,a2,…,an 这列数的“理

想数”.已知 a1,a2,…,a500 的“理想数”为 2004,那么 8,a1,a2,…,a500 的“理想数” 为( ) A.2004 B.2006 C.2008 D.2010 5.以半圆中的一条弦 BC(非直径)为对称轴将弧 BC 折叠后与直径 AB 交于点 D,若 ,且 AB=10,则 CB 的长为( )

A.

B.

C.

D.4

6.某汽车维修公司的维修点环形分布如图.公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维 修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别 调整为 40、45、54、 件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整, 61 最少的调动件次 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n) ( (n 为 )

A.15

B.16

C.17

D.18

二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分) 7.若[x]表示不超过 x 的最大整数(如 等) ,则 = _________ .

8.在△ ABC 中,D、E 分别是 BC、AC 上的点,AE=2CE,BD=2CD,AD、BE 交于点 F, 若 S△ABC=3,则四边形 DCEF 的面积为 _________ .

9.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面,在每种颜色的旗帜上分别标有号码 1、2、3,现 任意抽取 3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 _________ .

23

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

10.已知抛物线

经过点 A(4,0) .设点 C(1,﹣3) ,请在抛物线的对称轴上

确定一点 D,使得|AD﹣CD|的值最大,则 D 点的坐标为 _________ . 11.三角形纸片内有 100 个点,连同三角形的顶点共 103 个点,其中任意三点都不共线.现 以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为 _________ . 的图象上.正方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴 的图象又经过 A、E 两点,则点 E 的横

12.如图,已知点(1,3)在函数 上,点 E 是对角线 BD 的中点,函数 坐标为 _________ .

13.按下列程序进行运算(如图)

规定:程序运行到“判断结果是否大于 244”为一次运算.若 x=5,则运算进行 _________ 次才停止;若运算进行了 5 次才停止,则 x 的取值范围是 _________ . 三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 14.如图,在 Rt△ ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC=a 厘米,AC=b 厘米,a>b,且 a、b 是方 2 程 x ﹣(m﹣1)x+m+4=0 的两根,

(1)求 a 和 b 的值; (2)若△ B′ 与△ A′ C′ ABC 开始时完全重合,然后让△ ABC 固定不动,将△ B′ 沿 BC 所 A′ C′ 在的直线向左移动 x 厘米. ① A′ C′ ABC 有重叠部分,其面积为 y 平方厘米,求 y 与 x 之间的函数关系式,并 设△ B′ 与△ 写出 x 的取值范围; ② 若重叠部分的面积等于 平方厘米,求 x 的值.

24

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

15. (2006?宁波)已知⊙ 过点 D(4,3) O ,点 H 与点 D 关于 y 轴对称,过 H 作⊙ 的切线 O 交 y 轴于点 A(如图 1) . (1)求⊙ 半径; O (2)sin∠ HAO 的值; (3)如图 2,设⊙ 与 y 轴正半轴交点 P,点 E、F 是线段 OP 上的动点(与 P 点不重合) O , 连接并延长 DE,DF 交⊙ 于点 B,C,直线 BC 交 y 轴于点 G,若△ O DEF 是以 EF 为底的等 腰三角形,试探索 sin∠ CGO 的大小怎样变化?请说明理由.

16.青海玉树发生 7.1 级强震,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作 战的作风.刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:一分队立即出发前往距营地 30 千米 的 A 镇,二分队因疲劳可在营地休息 a(0≤a≤3)小时再往 A 镇参加救灾.一分队出发后得 知,唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用 1 小时打通道路.已知一分队的行进速度为 b 千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时. (1)若二分队在营地不休息,问要使二分队在最短时间内赶到 A 镇,一分队的行进速度至 少为多少千米/时? (2)若 b=4 千米/时,二分队和一分队同时赶到 A 镇,二分队应在营地休息几小时? 17.如图 1、2 是两个相似比为 1: 的等腰直角三角形,将两个三角形如图 3 放置,小直 角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合. (1)在图 3 中,绕点 D 旋转小直角三角形,使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E,F,如 图 4.求证:AE +BF =EF ; (2)若在图 3 中,绕点 C 旋转小直角三角形,使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 2 2 2 E、F,如图 5,此时结论 AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,
2 2 2

请说明理由.

25

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(3)如图 6,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,满足△ CEF 的周长等于 正方形 ABCD 的周长的一半,AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N,试问线段 BM、MN、 DN 能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理 由. 18.定义:在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面向量可以用有向线 段表示, 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 其中大小相等, 方向相同的向量叫做相等向量. 如以正方形 ABCD 的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8 个 不同的向量: 、 、 、 、 、 、 、 (由于 和 是相等向量,因此只算

一个) . (1) 作两个相邻的正方形 (如图一) 以其中的一个顶点为起点, . 另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f(2) ,试求 f(2)的值;

(2)作 n 个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开.以其中的一个顶点为起点,另一个顶 点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f(n) ,试求 f(n)的值;

(3)作 2×3 个相邻的正方形(如图三)排开.以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终 点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f(2×3) ,试求 f(2×3)的值;

26

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(4)作 m×n 个相邻的正方形(如图四)排开.以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终 点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f(m×n) ,试求 f(m×n)的值.

2011 年湖南省长沙市雅礼中学自主招生考试数学试 卷 参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.飞形棋中有一正方体骰子,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同 的角度观察的结果如图所示.如果记 6 的对面的数字为 a,2 的对面的数字为 b,那么 a+b 的为( )

A.11 B.7 C.8 D.3 分析:由图一和图二可看出看出 1 的相对面是 5;再由图二和图三可看出看出 3 的相对面是 6,从而 2 的相对面是 4. 解答:解:从 3 个小立方体上的数可知, 与写有数字 1 的面相邻的面上数字是 2,3,4,6, 所以数字 1 面对数字 5, 同理,立方体面上数字 3 对 6. 故立方体面上数字 2 对 4. 则 a=3,b=4, 那么 a+b=3+4=7. 故选 B. 2.如图是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象(收支差额=车票收入﹣支出费 用) .由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出两条建议:建议(1)是不改变车票价格, 减少支出费用;建议(2)是不改变支出费用,提高车票价格.下面给出四个图象(如图所 示)则( )

27

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

A.① 反映了建议(2) 反映了建议(1) ,③ B.① 反映了建议(1) 反映了建议 ,③ (2) C.② 反映了建议(1) 反映了建议(2) ,④ D.④ 反映了建议(1) 反 ,② 映了建议(2) 分析:观察函数图象可知,函数的横坐标表示乘客量,纵坐标表示收支差额,根据题意得; (1)不改变车票价格,减少支出费用,则收支差额变大, 解答:解:∵ 建议(1)是不改变车票价格,减少支出费用;也就是 y 增大,车票价格不变, 即平行于原图象, ∴反映了建议(1) ① , ∵ 建议(2)是不改变支出费用,提高车票价格,也就是图形增大倾斜度,提高价格, ∴反映了建议(2) ③ . 故选 B. 3.已知函数 y=3﹣(x﹣m) (x﹣n) ,并且 a,b 是方程 3﹣(x﹣m) (x﹣n)=0 的两个根, 则实数 m,n,a,b 的大小关系可能是( ) A.m<n<b<a B.m<a<n<b C.a<m<b<n D.a<m<n<b 分析:首先把方程化为一般形式,由于 a,b 是方程的解,根据根与系数的关系即可得到 m, n,a,b 之间的关系,然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断. 解答:解:由 3﹣(x﹣m) (x﹣n)=0 变形得(x﹣m) (x﹣n)=3, ∴ x﹣m>0 x﹣n>0 或 x﹣m<0 x﹣n<0, ∴ x>m x>n 或 x<m x<n ∵ b 是方程的两个根,将 a b 代入,得:a>m a>n,b<m b<n 或 a<m a<n,b>m b>n, a 综合一下,只有 D 可能成立. 故选 D. 4. Sn=a1+a2+…+an, 记 令 , Tn 为 a1, 2, an 这列数的“理想数”. 称 a …, 已 )

知 a1,a2,…,a500 的“理想数”为 2004,那么 8,a1,a2,…,a500 的“理想数”为( A.2004 B.2006 C.2008 D.2010

28

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

分析:本题需先根据

得出 n×Tn=(S1+S2+…+Sn) ,再根据 a1,a2,…,

a500 的“理想数”为 2004,得出 T500 的值,再设出新的理想数为 Tx ,列出式子,把得数代入,即可求出结果. 解答:解:∵ ∴ n=(S1+S2+…+Sn) n×T T500=2004 设新的理想数为 Tx 501×Tx=8×501+500×T500 Tx=(8×501+500×T500)÷501 = =8+500×4 =2008 故选 C 5. 以半圆中的一条弦 BC (非直径) 为对称轴将弧 BC 折叠后与直径 AB 交于点 D, 若 且 AB=10,则 CB 的长为( ) ,

A. B. C. D.4 分析:作 AB 关于直线 CB 的对称线段 A′ B,交半圆于 A′ ,连接 AC、CA′ ,构造全等三角 形,然后利用勾股定理、割线定理解答. 解答:解:如图,若 ,且 AB=10,

∴ AD=4,BD=6, 作 AB 关于直线 BC 的对称线段 A′ B,交半圆于 D′ ,连接 AC、CA′ , 可得 A、C、A′ 三点共线,AC=A′ C,AD=A′ =4,A′ D′ B=AB=10. 而 A′ C?A′ A=A′ ?A′ D′ B,即 A′ C?2A′ C=4×10=40. 2 则 A′ =20, C 2 2 2 又∵ C =A′ ﹣CB , A′ B 2 ∴ 20=100﹣CB , ∴ CB=4 . 故选 A.

29

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

6.某汽车维修公司的维修点环形分布如图.公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某 种配件各 50 件.在使用前发现需将 A、 B、C、 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、 D 54、61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n)为( )

A.15 B.16 C.17 D.18 分析:现根据题意设未知数,再根据公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配件 各 50 件,在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40,45,54, 61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行列方程组求解. 解答:解:设 A 到 B 调 x1 件,B 到 C 调 x2 件,C 到 D 调 x3 件,D 到 A 调 x4 件,这里若 xi(i=1,2,3,4)为负数,则表明调动方向改变.

则由题意得:



解得:



则调动总件数为|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1﹣10|, 它的最小值为 16. 故选 B. 二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分) 7.若[x]表示不超过 x 的最大整数(如 等) ,则 = 分析:根据[x]表示不超过 x 的最大整数,[ [ [ ]=[ ]=1,… ]=[ ]=1,从而得出答案. ]=[ 2000 . ]=1,

]=[1+

解答:解:∵ [x]表示不超过 x 的最大整数, ∴ =[ ]+[ ]+…+[ ],

30

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

=[1+

]+[1+

]+…+[1+

],

=1+1+…+1, =2000. 故答案为:2000. 8.在△ ABC 中,D、E 分别是 BC、AC 上的点,AE=2CE,BD=2CD,AD、BE 交于点 F,

若 S△ABC=3,则四边形 DCEF 的面积为



分析:连接 DE,根据相似三角形的判定定理得出△ DCE∽ABC,进而判断出 AB∥ △ CD、 △ DEF∽ABF,再根据相似三角形的性质即可进行解答. △ 解答:解:连接 DE, ∵ AE=2CE,BD=2CD, ∴ = ,且夹角∠ 为公共角, C

∴DCE∽ABC, △ △ ∴CED=∠ ∠ CAB, ∴ DE, AB∥ 则 = = ,

且∠ EDA=∠ BAD,∠ BED=∠ ABE, ∴DEF∽ABF, △ △ ∴ = = ,

∴ S△DEF=x,则 S△AEF=S△BDF=3x,S△ABF=9x, 设 ∴ x+3x+3x+9x=3﹣ , 解得:x= , ∴ △DEF= , S ∴ △DEF+S△CDE= + = . S 故答案为: .

31

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

9.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面,在每种颜色的旗帜上分别标有号码 1、2、3,现 任意抽取 3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 .

分析:抽取 3 面旗,总共的情况计算思路为:第一面旗有 9 种,第二面有(9﹣1)即 8 种, 第三面有(9﹣1﹣1)即 7 种,则总的情况有 9 乘以 8 乘以 7 等于 504 种; 要求颜色和号码都不同的情况计算思路为:第一面旗还是有 9 种情况; 第二面旗的情况为:除去第一面已选的颜色外,还剩另外 2 种颜色本来是 6 种情况,但是第 一面旗肯定能确定一个号码, 所以剩下的 2 种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样, 则选 了第一面旗后,第二面旗的选择就只有 4 种情况了; 而第一面旗和第二面旗选定后,第三 面旗就已经确定唯一了, 即轮到第三面旗的时候就没的选了, 前面 2 面旗已经把颜色和号码 都定死了. 解答:解:根据乘法公式可知: 任意抽取 3 面旗,一共有 9×8×7=504 种情况, 三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有 9×4×1=36 种情况∴ 它们的颜色与号码均不相同的 概率是 = . .

故答案为:

10.已知抛物线

经过点 A(4,0) .设点 C(1,﹣3) ,请在抛物线的对称轴上

确定一点 D,使得|AD﹣CD|的值最大,则 D 点的坐标为 (2,﹣6) . 分析:首先利用待定系数法求得抛物线的解析式,然后可求得抛物线的对称轴方程 x=2,又 由作点 C 关于 x=2 的对称点 C′ ,直线 AC′ x=2 的交点即为 D,求得直线 AC′ 与 的解析式, 即可求得答案. 解答:解:∵ 抛物线 ∴ ×4 +4b=0, ∴ b=﹣2, ∴ 抛物线的解析式为:y= x ﹣2x= (x﹣2) ﹣2, ∴ 抛物线的对称轴为 x=2, ∵ C(1,﹣3) 点 , ∴ 作点 C 关于 x=2 的对称点 C′ (3,﹣3) , 直线 AC′ x=2 的交点即为 D, 与 因为任意取一点 D 都可以构成一个△ ADC.而在三角形中,两边之差小于第三边,即|AD﹣ CD|<AC.所以最大值就是在 D 是 AC′ 延长线上的点的时候取到|AD﹣C′ D|=AC′ .把 A, C′ 两点坐标代入,得到过 AC′ 的直线的解析式即可; 设直线 AC′ 的解析式为 y=kx+b, ∴ ,
2 2 2

经过点 A(4,0) ,

32

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 解得: ,

段中明

∴ 直线 AC′ 的解析式为 y=3x﹣12, 当 x=2 时,y=﹣6, ∴ 点的坐标为(2,﹣6) D . 故答案为: (2,﹣6) .

11.三角形纸片内有 100 个点,连同三角形的顶点共 103 个点,其中任意三点都不共线.现 以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为 201 . 分析:根据题意可以得到当三角形纸片内有 1 个点时,有 3 个小三角形;当有 2 个点时,有 5 个小三角形;当 n=3 时,有 7 个三角形,因而若有 n 个点时,一定是有 2n+1 个三角形. 解答:解:根据题意有这样的三角形的个数为:2n+1=2×100+1=201, 故答案为:201.

12.如图,已知点(1,3)在函数 上,点 E 是对角线 BD 的中点,函数 坐标为 .

的图象上.正方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴 的图象又经过 A、E 两点,则点 E 的横

分析:把已知点的坐标代入函数解析式即可求出 k 的值,把 k 的值代入得到函数的解析式, 然后根据正方形的性质设出 A 和 E 的坐标,因为函数图象过这两点,把设出的两点坐标代 入到函数解析式中得到① ,联立即可求出 a 和 b 的值,得到 E 的坐标. 和② 解答:解:把(1,3)代入到 y= 得:k=3, 所以函数解析式为 y= ,

33

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

设 A(a,b) ,根据图象和题意可知,点 E(a+ , ) , 因为 y= 的图象经过 A、E,所以分别把点 A 和 E 代入到函数解析式中得: ab=3① (a+ )=3② , , 由② 得: + =3, =3,

把① 代入得: +
2

即 b =6,解得 b=± , 因为 A 在第一象限,得到 b>0, 所以 b= , 把 b= 代入① 求得:a= , .

所以点 E 的横坐标为 a+ = 故答案为: .

13.按下列程序进行运算(如图)

规定: 程序运行到“判断结果是否大于 244”为一次运算. x=5, 若 则运算进行 4 次才停止; 若运算进行了 5 次才停止,则 x 的取值范围是 2<x≤4 . 分析:把 x=5 代入代数式求值,与 244 比较,若大于 244,就停止计算,若结果没有大于 244,重新计算直至大于 244 为止, 根据运算顺序得到第 4 次的运算结果和第 5 次的运算结果,让第 4 次的运算结果小于 244, 第 5 次的运算结果大于 244 列出不等式求解即可. 解答:解: (1)x=5. 第一次:5×3﹣2=13 第二次:13×3﹣2=37 第三次:37×3﹣2=109 第四次:109×3﹣2=325>244→→→停止 (2)第 1 次,结果是 3x﹣2; 第 2 次,结果是 3×(3x﹣2)﹣2=9x﹣8; 第 3 次,结果是 3×(9x﹣8)﹣2=27x﹣26; 第 4 次,结果是 3×(27x﹣26)﹣2=81x﹣80; 第 5 次,结果是 3×(81x﹣80)﹣2=243x﹣242; ∴

34

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

由(1)式子得:x>2, 由(2)式子得:x≤4 2<x≤4. 即:5 次停止的取值范围是:2<x≤4. 故答案为:4;2<x≤4. 三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 14.如图,在 Rt△ ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC=a 厘米,AC=b 厘米,a>b,且 a、b 是方 程 x ﹣(m﹣1)x+m+4=0 的两根,
2

(1)求 a 和 b 的值; (2)若△ B′ 与△ A′ C′ ABC 开始时完全重合,然后让△ ABC 固定不动,将△ B′ 沿 BC 所 A′ C′ 在的直线向左移动 x 厘米. ① A′ C′ ABC 有重叠部分,其面积为 y 平方厘米,求 y 与 x 之间的函数关系式,并 设△ B′ 与△ 写出 x 的取值范围; ② 若重叠部分的面积等于 平方厘米,求 x 的值. 分析: (1)首先根据一元二次方程根与系数的关系,得出用含 m 的式子表示 a+b 与 ab 的式 子,然后由勾股定理得出一个关于 m 的方程,求出 m 的值,进而得出 a 和 b 的值; (2)① 由于 S△BCM= ×BC′ ×CM,即 y= x×CM.所以首先用含 x 的代数式表示 CM,然后代 入,即可求出 y 与 x 之间的函数关系式,并根据题意求出 x 的取值范围; ② y= 代入函数解析式,即可求出 x 的值. 把 解答:解: (1)∵ a、b 是方程 x ﹣(m﹣1)x+m+4=0 的两根, ∴ a+b=m﹣1,ab=m+4, 又∵ a、b 是直角△ ABC 的两直角边, 2 2 2 ∴ +b =c =25, a 2 ∴ (m﹣1) ﹣2(m+4)=25, 解得 m1=8,m2=﹣4(舍去) . 2 ∴ 原方程为 x ﹣7x+12=0, 解得 a=4,b=3. (2)① 与 x 之间的函数关系式为: y y= (4﹣x) , (0≤x≤4) . ② 代入 = (4﹣x) , 得 x1=3,x2=5(舍去) . ∴ 的值为 3. x
2 2 2

35

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

15. (2006?宁波)已知⊙ 过点 D(4,3) O ,点 H 与点 D 关于 y 轴对称,过 H 作⊙ 的切线 O 交 y 轴于点 A(如图 1) . (1)求⊙ 半径; O (2)sin∠ HAO 的值; (3)如图 2,设⊙ 与 y 轴正半轴交点 P,点 E、F 是线段 OP 上的动点(与 P 点不重合) O , 连接并延长 DE,DF 交⊙ 于点 B,C,直线 BC 交 y 轴于点 G,若△ O DEF 是以 EF 为底的等 腰三角形,试探索 sin∠ CGO 的大小怎样变化?请说明理由.

分析: (1)因为点 D 在圆上,根据点 D 的坐标利用勾股定理即可求得 OD 的长,即半径; (2)连接 HD 交 OA 于 Q,则 HD⊥ OA,连接 OH,则 OH⊥ AH,根据同角的余角相等可得 到∠ HAO=∠ OHQ,根据已知可求得 sin∠ OHQ 的值,则 sin∠ HAO 的值也就求得了; (3)设点 D 关于 y 轴的对称点为 H,连接 HD 交 OP 于 Q,则 HD⊥ OP,根据角平分线的性 质及垂径定理可得到∠ CGO=∠ OHQ,则求得 sin∠ OHQ 的值 sin∠ CGO 也就求得了. 解答:解: (1)点 D(4,3)在⊙ 上, O ∴O 的半径 r=OD=5; 分) ⊙ (1 (2)如图 1,连接 HD 交 OA 于 Q,则 HD⊥ OA,连接 OH,则 OH⊥ AH, ∴HAO=∠ ∠ OHQ ∴ HAO=sin∠ sin∠ OHQ= = ;

(3)连接 DH 交 y 轴于点 Q,连接 OH 交 BC 于点 T(如图 2) . ∵ 与 H 关于 y 轴对称, D ∴ EF, DH⊥ 又∵DEF 为等腰三角形, △ ∴ 平分∠ DH BDC, ∴ BC, OT⊥ ∴CGO=∠ ∠ QHO, ∴ E、F 两点在 OP 上运动时,sin∠ 当 CGO 的值不变.

36

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

16.青海玉树发生 7.1 级强震,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作 战的作风.刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:一分队立即出发前往距营地 30 千米 的 A 镇,二分队因疲劳可在营地休息 a(0≤a≤3)小时再往 A 镇参加救灾.一分队出发后得 知,唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用 1 小时打通道路.已知一分队的行进速度为 b 千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时. (1)若二分队在营地不休息,问要使二分队在最短时间内赶到 A 镇,一分队的行进速度至 少为多少千米/时? (2)若 b=4 千米/时,二分队和一分队同时赶到 A 镇,二分队应在营地休息几小时? 分析: 根据二分队的行进速度为 (1) (4+a) 千米/时与路程为 10, 得出二分队到达塌方处 (距 离营地 10KM)需要 小时,又一分队用 1 小时打通道路,所以一分队需要至少( ﹣

1)小时(以前)到达塌方处,即可得出一分队的行进速度; (2) 根据要使二分队和一分队同时赶到 A 镇, 二分队应在营地休息 a 小时, 得出等式方程, 进而分析得出符合要求的答案. 解答:解: (1)根据塌方地形复杂,必须由一分队用 1 小时打通道路一个小时后道路畅通, 那么我们再看二分队,二分队到达塌方处(距离营地 10KM)需要 经过 小时,那么在二分队

小时后到达塌方处的时候,一分队必须清理好塌方,也就是说一分队至少提前一小

时到达塌方处(距离营地 10KM)而一分队只要保证比二分队提前一个小时到达塌方处再利 用一个小时打通塌方,那么当二分队到达塌方处才不会影响时间,而后二分队按照(4+a) 千米/时的速度前行与一分队无关,这样就很好算了,路程 10KM,二分队速度: (a+4)KM 每小时,那么二分队到达塌方处需要 前)到达塌方处, 这样路程 10KM,一分队所用时间( 一分队的行进速度至少为 = ﹣1)小时, 千米/时; 小时,所以一分队需要至少( ﹣1)小时(以

当 a=0 时,一分队的行进速度至少为

千米/时;

37

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(2)要使二分队和一分队同时赶到 A 镇,二分队应在营地休息 a 小时. 根据题意得: +1= +a, +9)/4 或 a= (不合题意舍去)

解得:a=(

这样 a=( +9)/4 大于 3,不符合题意. ∴ 当二队不休息, 也就是 = ,

解得:a=0, ∴ 二分队应在营地休息 0 小时. 17.如图 1、2 是两个相似比为 1: 的等腰直角三角形,将两个三角形如图 3 放置,小直 角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合. (1)在图 3 中,绕点 D 旋转小直角三角形,使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E,F,如 图 4.求证:AE +BF =EF ; (2)若在图 3 中,绕点 C 旋转小直角三角形,使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 2 2 2 E、F,如图 5,此时结论 AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,
2 2 2

请说明理由.

(3)如图 6,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,满足△ CEF 的周长等于 正方形 ABCD 的周长的一半,AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N,试问线段 BM、MN、 DN 能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理 由. 分析: 1) CD, ( 连 由条件得到点 D 为 AB 的中点, CD=AD, 4=∠ 则 ∠ A=45°, 易证△ CDF≌ADE, △ 2 2 2 △ CED≌BFD,得到 CF=AE,CE=BF,而 CE +CF =EF ,因此得到结论. △ (2)把△ CFB 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到△ CGA,根据旋转的性质得到 CF=CG,AG=BF, 2 2 2 ∠ 1,∠ GAC=45°,易证△ 4=∠ B=∠ CGE≌CFE,得到 GE=EF,即可得到结论 AE +BF =EF 仍然 △ 成立;

38

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(3)把△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ ABP,点 N 的对应点为 Q,根据旋转的性质得到 ∠ 2,∠ 3+∠ 4=∠ 1+∠ 4=90°,BP=DF,BQ=CN,AF=AP,又△ CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周 长的一半,得到 EF=BE+DF,则 EF=EP,证得△ AMQ≌AMN,得到 MN=QM,易证得 △ 2 2 2 2 2 2 ∠ QBN=90°,于是有 BQ +BM =QM ,从而得到 BM +DN =MN . 解答:证明: (1)连 CD,如图 4, ∵ 两个等腰直角三角形的相似比为 1: , 而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边,

∴ D 为 AB 的中点,∴ 点 CD=AD,∠ A=45°, 4=∠ 又∵1+∠ 2+∠ ∠ 2=∠ 3=90°,∴3=∠ ∠ 1, ∴CDF≌ADE,∴ △ △ CF=AE, 同理可得△ CED≌BFD,∴ △ CE=BF,而 CE +CF =EF ,∴ +BF =EF ; AE 2 2 2 (2)结论 AE +BF =EF 仍然成立.理由如下: 把△ CFB 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到△ CGA,如图 5 ∴ CF=CG,AG=BF,∠ 1,∠ GAC=45°, ∴GAE=90°, 而∠ 4=∠ B=∠ ∠ 3=45°, ∴2+∠ ∠ 4=90°﹣45°=45°, ∴1+∠ ∠ 2=45°, ∴CGE≌CFE, ∴ △ △ GE=EF, 在 Rt△ AGE 中,AE +AG =GE ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴ +BF =EF ; AE

2

2

2

(3)线段 BM、MN、DN 能构成直角三角形的三边长.理由如下: 把△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ ABP,点 N 的对应点为 Q,如图

∴4=∠ ∠ 2,∠ 3+∠ 1+∠ 4=90°,BP=DF,BQ=DN,AF=AP, ∵CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半, △ ∴ EF=BE+DF,∴ EF=EP, ∴AEF≌AEP,∴1=∠ 4, △ △ ∠ 3+∠ 而 AQ=AN, ∴AMQ≌AMN, △ △ ∴ MN=QM, 而∠ ADN=∠ QBA=45°,∠ ABD=45°,

39

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 ∴QBN=90°, ∠

段中明

∴ +BM =QM , BQ 2 2 2 ∴ +DN =MN . BM 点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角 等于旋转角; 也考查了三角形全等的判定与性质、 等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应 用. 18.定义:在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面向量可以用有向线 段表示, 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 其中大小相等, 方向相同的向量叫做相等向量. 如以正方形 ABCD 的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8 个 不同的向量: 、 、 、 、 、 、 、 (由于 和 是相等向量,因此只算

2

2

2

一个) . (1) 作两个相邻的正方形 (如图一) 以其中的一个顶点为起点, . 另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f(2) ,试求 f(2)的值;

(2)作 n 个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开.以其中的一个顶点为起点,另一个顶 点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f(n) ,试求 f(n)的值;

(3)作 2×3 个相邻的正方形(如图三)排开.以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终 点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f(2×3) ,试求 f(2×3)的值;

(4)作 m×n 个相邻的正方形(如图四)排开.以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终 点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f(m×n) ,试求 f(m×n)的值.

40

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

分析: (1)根据图形,即可求得 f(2)的值; (2)首先求 f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,所以得到规律为:f(n)=6n+2; (3)根据图形,即可求得 f(2×3)的值; (4)先分析特殊情况,再求得规律:f(m×n)=2(m+n)+4mn. 解答: (1) 解: 作两个相邻的正方形, 以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数 f(2)=14; (2)分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形(如图 1) .以其中的一个顶点为起点,另 一个顶点为终点作向量,可以作出不同的向量个数,找出规律, ∵ f(1)=6×1+2=8,f(2)=6×2+2=14,f(3)=6×3+2=20,f(4)=6×4+2=26, ∴ f(n)=6n+2; (3)f(2×3)=34; (4)∵ f(2×2)=24,f(2×3)=34,f(2×4)=44,f(3×2)=34,f(3×3)=48,f(3×4)=62 ∴ f(m×n)=2(m+n)+4mn.

2012 年雅礼中学理科实验班招生试题 数 学

(本卷原名:长沙市雅礼优生毕业测试卷) 考生注意:本卷满分 120 分,考试时间 150 分钟。 一、填空题(请将最后答案填写在横线上。每小题 3 分,本大题满分 60 分) 1.在一次数学活动中, 黑板上画着如图所示的图形, 活动前老师在准备的四张纸片上分别写 有如下四个等式中的一个等式:①AB=DC;②∠ABE=∠DCE;③AE=DE;④∠A=∠D;小明同 学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张, 再从剩下的纸片中随机抽取另一张, 则以已经抽 取的两张纸片上的等式为条件,使△BEC 不能构成等腰三角形的概率是______________.

2.如图, “L”形纸片由六个边长为 1 的小正方形组成,过 A 点切一刀,刀痕是线段 EF.若 阴影部分面积是纸片面积的一半,则 EF 的长为________ ______. 3. 如图,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半圆的半径为 1, 则梯形 ABCD 周长的最大值是 。

41

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

4. 已知 25-x 2- 15-x 2=2 ,则 25 x 2+ 15 x 2 的值为 - -



5. 一次函数 y=kx+b 的图象过点 P(1,4) ,且分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于点 A,B. 点 O 为坐标原点.当△AOB 面积最小时,k 和 b 的值分别为 。 6. 如图,直线 y1 ? kx ? b 过点 A(0,2) ,且与直线 y2 ? mx交于点 P(1,m) ,则关于 x 的不等式组 mx>kx+b>mx-2 的解集是______________。

y
B

O

A

x
2

7. 已知实数 a 满足 2008 ? a + a ? 2009 = a ,那么 a -2008 值是



8. 如图, Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形 BCEF, 以 设正方形的中心为 O, 连结 AO,如果 AB=4,AO= 6 2 ,那么 AC 的长等于 。

9.设 x1,x2,x3, , x2007 为实数,且满足 x1 x2 x3 ? x2007 = x1 ? x2 x3 ? x2007 = x1 x2 ? x3 ? ?

x2007 =?= x1 x2 x3 ? x2006 ? x2007 =1,则 x2000 的值是
B A C



O F 0 10. 在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,AC=3,BC=4. 心, r 为半径 所作的圆与斜边 AB 只有一个 E 的取值范围是___________ .
2

若以 C 点为圆 公共点,则 r

? ( + 11. 已知 a、b、c 满足 a+b+c+(a +1) b-6) 10-2b =2 ,则代数式 a+c 的
值是 。

12. 如果三位数 abc(表示百位数字为 a,十位数字为 b,个位数字为 c 的三位数),且满足 b< a 或 b<c,则称这个三位数为“凹数” 。那么,从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数” 的概率是 13. 如图,已知在圆 O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM,OP 以及圆 O 上,并且∠POM=45°,则 AB 的长为 . 14. 直 线 y ? ax(a ? 0) 与 双 曲 线 y ?

3 交 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两 点 , 则 代 数 式 x

4 x1 y2 ? 3x2 y1 的值是
2 2

.

15. 设 a ? b ? 0 ,且 a ? b ? 3ab ,

a?b 那么的值为_________。 a?b

16. 如图,△ABC 中,BE,DC 是△ABC 的内角平分线,DE=3,A,D,F,E 四点共圆,则△DEF 的内
42

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 接圆半径为______。

段中明

17. 如图, 正方形 ABCD 中, AB=AG,EF⊥AG, 若 EG=4, FG=6, BM= 3 2 , 则 MN=__ ____。 18. 设 i=1,2,3,...,n, 且 0< x i <1, x1 ? x2 ? ...? xi ? 19 ? x1 ? x2 ? ...? xi , 则 n 的最小整数 解为______。 19. 抛 物 线 y ? ax2 ? bx ? c , 交 y 轴 于 一 点 A(0,1), 交 x 轴 于 M( x1 ,0 ),N ( x2 ,0) , 且

0 ? x1 ? x2 ,过点 A 的直线交 x 轴于点 C, 交抛物线于另一点 B,且 S△ BMN ?
CAN 为等腰直角三角形,则抛物线的解析式为______。 20. x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 29 的整数解共有______组。

5 S△ AMN . 若△ 2

二、解答题(请写出详细的解答或证明过程。本大题共 4 小题,满分 60 分) 21. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 关 于 x 的 方 程 x ? cx ? a ? 0 的 两 整 数 根 恰 好 比 方 程
2

x 2 ? ax ? b ? 0 的两根都大 1,求 a ? b ? c 的值。
22. 本小题满分 10 分) ( 如图(6),已知抛物线 C : y ? x ? 2 x ? 4 和
2

直线 l : y ? ?2 x ? 8 .直线 y ? kx(k ? 0) 与抛物线 C 交于两个不同 的点 A 、 B ,与直线 l 交于点 P ,分别过 A 、 B 、 P 作 x 轴的垂线, 设垂足分别为 A1 , B1 , P . 1 (1)证明:

1 1 2 ? ? ; OA1 OB1 OP 1

(2)是否存在实数 k ,使 A1 A ? B1 B ? 8 ,如果存在,求出此时 k 的值, 如果不存在,请说明理由.

43

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

23.(本小题满分10分)已知 a、b、c 均为正数,且满足如下两个条件: ?a ? b ? c ? 32 ? ?b ? c ? a c ? a ? b a ? b ? c 1 ? bc ? ac ? ab ? 4 ? 证明:以 a 、 b 、 c 为三边长可构成一个直角三角形.

24.(本小题满分 15 分)已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB, EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF. C E

G A D O F B

44

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

25.(本小题满分 15 分)在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别 在 y 轴、x 轴的正半轴上,点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针针旋转,旋转角为 θ ,当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转.旋转过程中,AB 边交直线 y=x 于点 M,BC 边交轴于点 N(如图). (1)求边 AB 在旋转过程中所扫过的面积; (2)设△MBN 的周长为 p,在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的 结论; (3)当旋转角θ 为多少度时,△OMN 的面积最小,并求出此时△BMN 内切圆的半径.

45

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

师大附中 2011 年高一自主招生考试
本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 三 1 2 3 4 5

数学测试题

题号 得分 阅卷 教师





总 分

复 核

一、选择题(每小题 6 分,共 30 分。每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其 中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错 填均得 0 分) 1、下列图中阴影部分面积与算式 ?

3 ?1? ? ? ? ? 2?1 的结果相同的是??????【 4 ?2?

2



2、下列命题中正确的个数有???????????????????????【 】 ① 实数不是有理数就是无理数;② a<a+a;③121 的平方根是 ±11;④在实数范围 内, 非负数一定是正数;⑤两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知:父母买全票, 女儿按 半价优惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费。若这两家旅行 社每人的原标价相同,那么?????????????????????????? 【 】 A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关

4、如图,∠ACB=60○,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右 滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为【 】

A、2π B、π C、 2 3 D、4 5、平面内的 9 条直线任两条都相交,交点数最多有 m 个,最少有 n 个,则 m ? n 等于?????????????????????????????【 】 A、36 B、37 C、38 D、39
46

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

二、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时,则经过 小时,两人相遇。 2 、 若 化 简 1 ? x ? x 2 ? 8 x ? 16 的 结 果 为 2x ? 5 , 则 x 的 取 值 范 围 是 。 3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计 入学期总评成绩,90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表, 学期总评成绩优秀的学生是 。 笔试 甲 乙 丙 90 88 90 实践能力 83 90 88 成长记录 95 95 90

2 的图像在第一象限内的交点, x 点 B 在 x 轴 的 负 半 轴 上 , 且 OA ? OB ( O 为 坐 标 原 点 ) 则 ?AOB 的 面 积 ,
4、已知点 A 是一次函数 y ? x 的图像与反比例函数 y ? 为 。
2 5 、 如 果 多 项 式 x ? px ? 12 可 以 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 , 那 么 整 数 p 的 值

是 。 6、如右图所示,P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点,从 P 向 AB 作垂线 PQ, Q 为垂足。延长 QP 与 AC 的延长线交于 R,设 BP= x ( 0 ? x ? 1 ) ,△BPQ 与△CPR 的 面积之和为 y ,把 y 表示为 x 的函数是 。 7、已知 x1,x2 为方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两实根,
2

则 x13 ? 14 x2 ? 55 ?



8、小明、小林和小颖共解出 100 道数学题,每人都解出了其中的 60 道, 如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题,2 人解出的题叫做中档题,3 人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道。

三、解答题(本大题 6 小题,共 72 分) 1、 (10 分)在 ?ABC中, AB ? AC , ?A ? 45? 。 AC 的垂直平分线分别交 AB 、 AC 于 D 、 E 两点,连结 CD ,如果 AD ? 1 ,求: tan ?BCD的值。 2、 (12 分)某公司为了扩大经营,决定购买 6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机 器供选择,其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算,本 次购买机器所需的资金不能超过 34 万元。 甲 价格(万元/台) 每台日产量(个) ⑴ 按该公司的要求,可以有几种购买方案?
47

乙 5 60

7 100

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

⑵ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个,为了节约资金,应选择哪 种购买方案?

3、 (12 分)如图所示,已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 AF ? 2 , BF ? 1 。 为了合理利用这块钢板. 将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP, 使点 P 在 AB 上, 且要求面积最大,求钢板的最大利用率。

4、 (12 分)如图所示等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? CB ,对角线 AC 与 BD 交 于 O , ?ACD ? 60 , 点 S、P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点。
?

求证:△ PQS 是等边三角形。

5、 (12 分)如右图,直线 OB 是一次函数 y ? 2 x 的图像,点 A 的坐标是(0,2) , 点 C 在直线 OB 上且△ACO 为等腰三角形,求 C 点坐标。

6、 (14 分)已知关于 x 的方程 (m ? 1) x ? 3(3m ? 1) x ? 18 ? 0 有两个正整数根(m 是整
2 2

数) 。 △ABC 的三边 a、b、c 满足 c ? 2 3 , m ? a m ? 8a ? 0 , m ? b m ? 8b ? 0 。
2 2 2 2

求:⑴ m 的值;⑵ △ABC 的面积。

48

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

师大附中 2011 年高一自主招生考试
数学试题参考答案
一、1、B,2、B,3、B,4、C,5、B 二、1、2 2、 1 ? x ? 4 8、20 三 1、有已知可得 ?ADE 和?CDE 均为等腰直角三角形,计算得 BD ? 角形 BCD 中, tan ?BCD ? 3、甲、乙 4、 2 5、 ?7, ?8, ?13 6、

3 (3x 2 ? 4 x ? 2) 8

7、7

2 ? 1,在直角三

BD ? 2 ? 1。 CD

2、 (1)设购买 x 台甲机器,则 7 x ? 5(6 ? x) ? 34 ,所以 x ? 2 。即 x 取 0、1、2 三个值, 有三种购买方案:①不购买甲机器,购 6 台乙机器;②购买 1 台甲机器,5 台乙机器;③购 买 2 台甲机器,购 4 台乙机器。 (2)按方案①,所需资金 6 ? 5 ? 30 (万元) ,日产量为 6 ? 60 ? 360 (个) ;按方案②, 所需资金 1 ? 7 ? 5 ? 5 ? 32 (万元) ,日产量为 1 ? 100 ? 5 ? 60 ? 400 (个) ;按方案③,所 需资金为 2 ? 7 ? 5 ? 4 ? 34 (万元) ,日产量为 2 ? 100 ? 4 ? 60 ? 440 (个) 。所以,选择 方案②。 3、如图所示,为了表达矩形 MDNP 的面积,设 DN=x,PN=y,则面积 S=xy, ① 因为点 P 在 AB 上,由△APQ∽△ABF 得

4? y 1 ? ,即 x ? 10? 2 y . 2 ? ( 4 ? x) 2
代入①,得 S ? (10 ? 2 y) y ? ?2 y 2 ? 10y , 即 S ? ?2( y ? ) ?
2

E M

A P

Q F B

5 2

25 . 2

D

N

C

因为 3≤y≤4,而 y=

5 5 不在自变量的取值范围内,所以 y= 不是最值点, 2 2

当 y=3 时,S=12;当 y=4 时,S=8.故面积的最大值是 S=12. 此时,钢板的最大利用率是 80%。 4、连 CS。 ∵ABCD 是等腰梯形,且 AC 与 BD 相交于 O, ∴AO=BO,CO=DO. ∵∠ACD=60°,∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是 OD 的中点,∴CS⊥DO. 1 在 Rt△BSC 中,Q 为 BC 中点,SQ 是斜边 BC 的中线,∴SQ= BC. 2 同理 BP⊥AC. 1 在 Rt△BPC 中,PQ= BC. 2 1 1 又 SP 是△OAD 的中位线,∴SP= AD= BC. 2 2
49

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形. 5、若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 A 为顶点,则 AO=AC1=2.
8 8 16 设 C1( x, 2 x ) ,则得 x 2 ? (2 x ? 2)2 ? 22 ,解得 x ? ,得 C1( , ) 5 5 5

若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 O 为顶点,则 OC2=OC3=OA=2. 设 C2( x ' , 2 x ' ) ,则得 x'2 ? (2 x' )2 ? 22 ,解得 x ' ? 又由点 C3 与点 C2 关于原点对称,得 C3( ?
4 2 4 .得 C2( 5, 5) 5 5 5

2 4 5, ? 5) 5 5

1 1 若此等腰三角形以 OA 为底边,则 C4 的纵坐标为 1,从而其横坐标为 ,得 C4( ,1 ). 2 2 所以,满足题意的点 C 有 4 个,坐标分别为: 1 8 16 2 4 2 4 ( , )( , , ,C 5, 5 )( ? 5, ? 5 ) 4( ,1 ) 2 5 5 5 5 5 5

6、 (1)方程有两个实数根,则 m ? 1 ? 0 ,解方程得
2

x1 ?

?m ? 1 ? 1, 2,3,6, 6 3 , x2 ? .由题意,得 ? m ?1 m ?1 ?m ? 1 ? 1,3,

即?

?m ? 0,1,2,5, ?m ? 2,4.

故m ? 2. (2)把 m ? 2 代入两等式,化简得 a ? 4a ? 2 ? 0 , b ? 4b ? 2 ? 0 ,
2 2

当 a ? b 时, a ? b ? 2 ? 2 .
2 当 a ? b 时, a 、 b 是方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,而△>0,由韦达定理得,

a ? b ? 4 >0, ab ? 2 >0,则 a >0、 b >0.
2 2 2 2 ① a ? b , c ? 2 3 时,由于 a ? b ? (a ? b) ? 2ab ? 16? 4? 12? c

故△ABC 为直角三角形,且∠C=90° △ABC= ,S

1 ab ? 1 . 2

② a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) ? 2 3 ,故不能构成三角形,不合题 意,舍去. ③ a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) > 2 3 ,故能构成三角形.
1 S△ABC= ? 2 3 ? (2 ? 2)2 ? ( 3)2 ? 9 ? 12 2 2

综上,△ABC 的面积为 1 或 9 ? 12 2 .

50

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2010 年长沙一中重点中学自主招生数学模拟试题一
答题时注意: 1、试卷满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2、试卷共三大题,计 16道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、 选择题 (共 5 小题, 每题 6 分, 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 共 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的 括号内.不填、多填或错填均不得分)
1、如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(
2 2



A、 ? 2 ? a ? 2

B、 3 ? a ? 2

C、 ? 3 ? a ? 2

D、 ? 3 ? a ? 2

2、 如图, 已知: E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 点 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG 的 面 积 等 于????????( ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G 3 、设 x、 y、 z 是两两不等的实数,且满足下列等式:
6 3 6 3 x ( y ? x) ? 6 x ( z ? x) ? 6 y ? x ? x ? z ,则代数式 3 3

F H

3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是??????? (



D

C

A、0

B、1

C、3

D、条件不足,无法计算
D

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知:

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5
是??????? ( A、 89 B、7 3 ) C、4+3 3 D、3+4 3
B C A

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 是??????? ( ) A、296 B、221 C、225 D、641

二、填空题: (共 5 小题,每题 6 分,共 30 分)
6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin ? ? b cos ? ? c ? 0 ; ⑵ a cos ? ? b sin ? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是:

51

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明 。

7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是



8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚 过的部分的面积是 。 9、已知: x ?

3 5? 2

,则 2 可用含 x 的

有理系数三次多项式来表示为: 2 = 。 10、设p、q、r 为素数,则方程 p 3 ? p 2 ? q 2 ? r 2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数 组( p, q, r )是 。

三、解答题(共 6 题,共 90 分)
11、 (本题满分 12 分) 赵岩, 徐婷婷, 韩磊不但是同班同学, 而且是非常要好的朋友, 三个人的学习成绩不相伯仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学. 后来三 个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密码把英

?? , 3, 26 文按字母分解,英文中的 a,b,c, ,z 26 个字母(不论大小写)依次用1 2,?, 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

? x ? [ ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示 y?? 2 x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q ,再 不超过 x 的最大整数;将英文字母转化成密码,如 8 ? [ 2 11 如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。

52

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

12、 (本题满分 15 分) 如果有理数 m 可以表示成 2 x 2 ? 6 xy ? 5 y 2(其中 x、 y 是任意有理数) 的形式, 我们就称 m 为“世博数” 。 ⑴ 个“世博数” a、 b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑵ 证明:两个“世博数” a、 b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。

13、 (本题满分 15 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 3 7k 2 ? 20 的值; ⑵若点 H 分线段 BE 成

BG DE ? ?k。 GD EA

BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE

式表示△ ABD 三边长的平方和。

A

H B C G

E

53

D

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

14、 (本题满分 16 分) 观察下列各个等式: 1 ? 1,1 ? 2 ? 5,1 ? 2 ? 3 ? 14,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30,??? 。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程;
2 2 2 2 2

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知:如图,抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA
2

分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An?1 , 分别过这 n ? 1 个点作 x ? n 等分, 轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、Bn?1 ,设△ OBA1 、 ? △ A1 B1 A2 、 △ A2 B2 A3 、 △ A3 B3 A4 、 ? 、 △ An?1 Bn?1 A 的 面 积 依 次 为

S1、S 2、S 3、S 4、 、Sn 。 ?
①当 n ? 2010 时,求 S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? S5 ? ? ? S2010 的值;

54

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

15、 (本题满分 16 分) 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36 ? 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120 ? 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
J A C M P S

N B K L

O

Q

R

W

Z

X

Y

55

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

16、 (本题满分 16 分) 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ? IC 于 点D。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB ? AC ? 5, BC ? 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m , 分别以

DE ? n ,试作出 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

D

C I E

A B F

56

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2010 年重点中学自主招生数学模拟试题一
参考答案与评分标准
一、 选择题 (共 5 小题, 每题 6 分, 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 共 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的 括号内.不填、多填或错填均不得分)
1、 如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根, 则实数 a 的取值范围是 ( C )
2 2

A、 ? 2 ? a ? 2

B、 3 ? a ? 2

C、 ? 3 ? a ? 2

D、 ? 3 ? a ? 2

2、 如图, 已知: E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 点 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG 的 面 积 等 于????????( B ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G 3 、设 x、 y、 z 是两两不等的实数,且满足下列等式:
6

x ( y ? x) ? x ( z ? x) ?
3 3 6 3 3

6

y ? x ? x ? z ,则代数式
6

F H

3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是??????? ( A )

D

C

A、0

B、1

C、3

D、条件不足,无法计算
D

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知:

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5
是??????? ( D ) A、 89 B、7 3 C、4+3 3 D、3+4 3
B C A

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数

57

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 是??????? ( B ) A、296 B、221

段中明

C、225

D、641

二、填空题: (共 5 小题,每题 6 分,共 30 分。不设中间分)
6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin ? ? b cos ? ? c ? 0 ; ⑵ a cos ? ? b sin ? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是:

a2 ? b2 ? c2 ? d 2

。 8 。

7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是

8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚 过的部分的面积是 9、已知: x ? 84— ? 。

3 5? 2

,则 2 可用含 x 的

有理系数三次多项式来表示为: 2 =

?

1 3 11 x ? x 6 6



10、设p、q、r 为素数,则方程 p 3 ? p 2 ? q 2 ? r 2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数 组( p, q, r )是

(3,3,3)



三、解答题(共 6 题,共 90 分。学生若有其它解法,也按标准给分)
11、 (本题满分 12 分) 赵岩, 徐婷婷, 韩磊不但是同班同学, 而且是非常要好的朋友, 三个人的学习成绩不相伯仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学, 后来三 个人应母校邀请给全校学生作一次报告。 报告后三个人还出了一道数学题: 有一种密码把英 ?? , 3, 26 文按字母分解,英文中的 a,b,c, ,z 26 个字母(不论大小写)依次用1 2,?, 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

? x ? [ ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示 y?? 2 x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q ,再 不超过 x 的最大整数。将英文字母转化成密码,如 8 ? [ 2 11 如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地
58

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 写出翻译过程。

段中明

略解:由题意,密码 etwcvcjw 对应的英语单词是 interest, ej 对应的英语单词是 is, ncjw 对 应的英语单词是 best, wcabqcv对应的英语单词是 teacher. (9 分)

所以,翻译出来的一句英语是 Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师” 。 (3 分) 12、 (本题满分 15 分) 如果有理数 m 可以表示成 2 x 2 ? 6 xy ? 5 y 2(其中 x、 y 是任意有理数) 的形式, 我们就称 m 为“世博数” 。 ⑴ 个“世博数” a、 b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑵ 证明:两个“世博数” a、 b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。 略解:?m ? 2 x 2 ? 6 xy ? 5 y 2 = ( x ? 2 y) 2 ? ( x ? y) 2 ,其中 x、 y 是有理数, “世博数”m ? p 2 ? q 2(其中 p、q 是任意有理数) 只须 p ? x ? 2 y, q ? x ? y 即 , ? 可。 (3 分)

? 对于任意的两个两个“世博数” a、 b ,不妨设 a ? j 2 ? k 2 , b ? r 2 ? s 2 , 其中 j、k、
r、s 为任意给定的有理数, (3 分)

则 ab ? ( j 2 ? k 2 )(r 2 ? s 2 ) ? ( jr ? ks) 2 ? ( js ? kr) 2 是“世博数”(3 分) ;

a j 2 ? k 2 ( j 2 ? k 2 )(r 2 ? s 2 ) ( jr ? ks) 2 ? ( js ? kr) 2 ? ? (3分) ? b r 2 ? s2 (r 2 ? s 2 ) 2 (r 2 ? s 2 ) 2
=(

jr ? ks 2 js ? kr 2 ) ?( 2 ) 也是“世博数” 。 2 2 r ?s r ? s2

(3 分)

13、 (本题满分 15 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 3 7k 2 ? 20 的值; ⑵若点 H 分线段 BE 成

BG DE ? ?k。 GD EA

BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE

式表示△ ABD 三边长的平方和。

59

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

略 解 : ⑴ 不 妨 设 △ ABC 、 △ BCD 、 AD 的面积分别为 3、 △ C 4, ∵

1、 ∴△ ABD 的面积是 6,△ BDE 的面积是

BG DE ? ?k, GD EA

6k , k ?1

△ CDG 的面积是

1 4k 6k , △ CDE 的面积为 ,△ DEG 的面积是 。 k ?1 k ?1 (k ? 1) 2 1 4k 6k 2 + = ,即 4k ? 3k ? 1 ? 0 ,∴ k ? 1 (3 分) 2 k ? 1 (k ? 1) k ? 1
(1 分)

(3 分)由此可得:

∴ 3 7k 2 ? 20 =3

⑵由⑴知: E、G 分别为 AD、BD 的中点,又∵点 H 分线段 BE 成

BH ? 2 的两段, HE

∴点 H 是△ ABD 的重心。 (2 分) 而当延长 BE 到 K ,使得 BE ? EK ,连结 AK、DK 后便得到平行四边形 ABDK , 再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:

?2( BD 2 ? AD 2 ) ? AB 2 ? 4 DM 2 ,其 2( AB ? BD ) ? AD ? 4BE ,类似地有 ? 2 2 2 2 ? 2( AB ? AD ) ? BD ? 4 AG
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 中点 M 为边 AB 的中点。∴ 3( AB ? BD ? AD ) ? 4( BE ? DM ? AG ) 。 (3

分)∵ AH ?

2 2 2 AG , BH ? BE , DH ? DM , AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,∴ 3 3 3 9 2 BE 2 ? DM 2 ? AG 2 ? p ,∴ AB2 ? BD2 ? AD2 ? 3p 2 。 分) (3 4

14、 (本题满分 16 分) 观察下列各个等式: 1 ? 1,1 ? 2 ? 5,1 ? 2 ? 3 ? 14,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30,??? 。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程;
2 2 2 2 2

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知:如图,抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA
2

n 等分, 分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An?1 , 分别过这 n ? 1 个点作 x ?

60

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、Bn?1 ,设△ OBA1 、 ? △ A1 B1 A2 、 △ A2 B2 A3 、 △ A3 B3 A4 、 ? 、 △ An?1 Bn?1 A 的 面 积 依 次 为

S1、S 2、S 3、S 4、 、Sn 。 ?
①当 n ? 2010 时,求 S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? S5 ? ? ? S2010 的值; ②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

略解:⑴∵ n ? (n ? 1) ? 3n ? 3n ? 1,∴当式中的 n 从 1、2、3、…依次取到 n 时,就可
3 3 2

得下列 n 个等式:

(2 分)

13 ? 03 ? 3 ? 3 ? 1,23 ? 13 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1,33 ? 23 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1,??, n 3 ? (n ? 1) 3 ? 3n 2 ? 3n ? 1,将这 n 个等式的左右两边分别相加得: n 3 ? 3 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n (2 分)
即1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n =
2 2 2 2 2

n 3 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n n(n ? 1)(2n ? 1) ? 。 分) (3 3 6

(0 ⑵先求得 A、B 两点的坐标分别为 (3,0)、 ,3) ,∴点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An?1 ?
3 6 9 3(n ? 1) ,点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、Bn?1 的纵坐标 ? n n n n 3 2 3 6 2 6 3(n ? 1) 2 3(n ? 1) ? ? ? ] ? 2? ?3。 分别为 ? ( ) ? 2( ) ? 3、 ( ) ? 2( ) ? 3、 、 [ n n n n n n ? 的横坐标分别为 、 、 、 、
(3 分)∴

61

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

S1 ?


9 9(n 2 ? 2n ? 3) 9(n 2 ? 4n ? 12) 9[n 2 ? 2(n 2 ? n) ? 3(n ? 1) 2 ] , S2 ? , S3 ? ,? , S n ? 2n 2n 3 2n 3 2n 3

S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?

9{n 3 ? 2n(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? 3[12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ]} 2n 3

n(n ? 1) n(n ? 1)(2n ? 1) ? 3? 9(2n 2 ? n ? 1) 2 6 = 。 ? 2n 3 4n 2 ∴①当 n ? 2010 时, 9[n 3 ? 2n ?
S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? S5 ? ? ? S 2008 =
②∵ S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?

(3 分)

9(2 ? 20102 ? 2009) 72739881 ? ; 16160400 4 ? 20102

9(2n 2 ? n ? 1) 9 9 9 ? ? ? 2 2 2 4n 4 n 4n
9 9 ,即所有三角形的面积和等于 。 (3 分) 2 2

∴当 n 取到无穷无尽时,上式的值等于

15、 (本题满分 16 分) 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36 ? 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120 ? 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

略解:⑴由题意可知四边形 PQRS 必然是等腰梯形, 分)不妨设 (2
62

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

QS ? PR ? QR ? 4, PQ ? PS ? RS = x ,分别过点 S、Q 作 QR、RS 的垂线,垂足为

4? x RI RS x I、 F ,则由△ QRF ∽△ RSI 得到 ,即 2 ? ,解得 x ? 2 5 ? 2 。 ? x RF QR 4 2
∴ SI ?

RS 2 ? IR2 ? x 2 ? (

4? x 2 ) ? 10 ? 2 5 <2.4, 2

∴第④种塑料板“可操作” 。 (5 分) ⑵如上图所示,分别作直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AH 、等腰三角形 JKL 的腰 JL 上 的高 KE 、等腰三角形 OMN 底边上的高 MG ,易求得: AH =2.4, MG =2.5. (2 分) 又由⑴可得等腰梯形 PQRS 的锐角底角是 72 ? ,△ JKL ≌△ PQR ,∴ KE = SI . 而黄金矩形 WXYZ 的宽等于 4 ?

5 ?1 ? 2 5 ? 2 >2.4, (4 分) 2
7 。 分) (3 10

∴第①②④三种塑料板“可操作” ;而第③⑤两种塑料板“不可操作” 。 ∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率 P ?

16、 (本题满分 16 分) 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ? IC 于 点D。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB ? AC ? 5, BC ? 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m , 分别以

DE ? n ,试作出 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

63

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

略解:⑴结论: D、E、F 三点是同在一条直线上。 分) (1 证明:分别延长 AD、BC 交于点 K ,由旁切圆的定义及题中已知条件得:

AD ? DK , AC ? CK ,再由切线长定理得: AC ? CE ? AF, BE ? BF , 分) (3
∴ KE ? AF 。 ∴ (3 分) ⑵∵ AB ? AC ? 5, BC ? 6, ∴ A、E、I 三点共线, CE ? BE ? 3, AE ? 4 ,连结 IF ,则 △ ABE ∽△ AIF ,△ ADI ∽△ CEI , A、F、I、D 四点共圆。 分) (2 设⊙ I 的半径为 r ,则:

KD AF BE ? ? ? 1 ,由梅涅劳斯定理的逆定理可证 D、E、F 三点共线。 DA FB EK

3 4 AD 3 ? , r ? 6, ∴ AI ? 10, ? , 即 AD ? 2 5 , ID ? 4 5 , r 8 ID 6

∴ 由 △ AEF ∽ △ DEI 得 : m ? (

4 5 2 5 DE 4 5 5 ) ? , ? ? , DE ? 2 5 , 8 4 AE 8 2

5 IE 5 12 ? , EF ? 5 ,∴ n ? 。 (4 分) 6 EF 2 5

? m n 13 ? ? ? 6 m n ∴?n m ,因此,由韦达定理可知:分别以 、 为两根且二次项系数为 6 的一个 m n n m ? ? ?1 ? n m
一元二次方程是 6 x ? 13x ? 6 ? 0 。
2

(3 分)

64

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2010 年湖南省长沙市江华一中高中提前 招生考试数学试卷(湘教版)
一、选择题: (本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)将下列各题唯一正确的答案代号 A、 B、C、D 填到题后的括号内.&amp;amp;amp;shy; 1. 分)上升 5cm,记作+5cm,下降 6cm,记作( (3 ) A.6cm B.﹣6cm C.+6cm D.负 6cm 2. 分)在平面直角坐标系中,属于第二象限的点是( (3 ) A.(2,3) B.(2,﹣3) C.(﹣2,3) 3. 分)在 Rt△ (3 ABC 中,∠ C=90°,c=5,a=4,则 cosA 的值是( A. B. C.

D.(﹣2,﹣3) ) D.

4. 分)关于 x 的方程 2x +mx﹣n=0 的二根是﹣1 和 3,则 2x +mx﹣n 因式分解的结果是 (3 ( ) A.(x+1) (x﹣3) B.2(x+1) (x﹣3) C.(x﹣1) (x+3) D.2(x﹣1) (x+3) 5. 分)⊙ 1 和⊙ 2 半径分别为 4 和 5,O1O2=7,则⊙ 1 和⊙ 2 的位置关系是( (3 O O O O A.外离 B.相交 C.外切 D.内含 6. 分)圆锥的母线长为 3,底圆半径为 1,则圆锥的侧面积为( (3 ) A.3π B.4π C.π D.2π 7. 分)一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为 200 米,小军先走了一段路 (3 程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程 s(米)与登 山所用的时间 t(分钟)的函数关系(从爸爸开始登山时计时) .根据图象,下列说法错误的 是( ) )

2

2

A.爸爸开始登山时,小军已走了 50 米 B. 爸爸走了 5 分钟,小军仍在爸爸的前面 C. 小军比爸爸晚到山顶 D.10 分钟后小军还在爸爸的前面

65

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

二、填空题: (本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)&amp;amp;amp;shy; 8. 分)|﹣1|的结果是 _________ . (3 9. 分)方程 x ﹣2x﹣3=0 的解是 _________ . (3 10. 分)函数 y= (3 中,自变量 x 的取值范围是 _________ .
2

11. 分)圆心角为 30°,半径为 6 的扇形的弧长为 (3

_________ .

12. 分)如图,PC 是⊙ 的切线,切点为 C,PAB 为⊙ 的割线,交⊙ 于点 A、B,PC=2, (3 O O O PA=1,则 PB 的长为 _________ .

13. 分)若 a∥ (3 b,b∥ c,证明 a∥ c.用反证法证明的第一步是 _________ . 14. 分)设 α 和 β 是方程 x ﹣4x+5=0 的二根,则 α+β 的值为 (3
2

_________ .

三、解答题(共 6 小题,满分 58 分) 15. 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,已知∠ (8 B=44°,上底 AD 长为 4,梯形的高为 2,求 梯形底边 BC 的长(精确到 0.1) .

16. 分)已知关于 x 的方程 x + kx+k ﹣k+2=0,为判别这个方程根的情况,一名同学 (8 的解答过程如下: 2 2 “解:△ =( k) ﹣4×1×(k ﹣k+2) 2 =﹣k +4k﹣8 2 =(k﹣2) +4. 2 2 ∵ (k﹣2) ≥0,4>0,∴=(k﹣2) +4>0. △ ∴ 原方程有两个不相等的实数根.” 请你判断其解答是否正确,若有错误,请你写出正确解答. 17. (10 分) (2002?长沙)某花木园,计划在园中栽 96 棵桂花树,开工后每天比原计划多 栽 2 棵,结果提前 4 天完成任务.问原计划每天栽多少棵?

2

2

66

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

18. (10 分)已知反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+m 的图象相交于点(2,1) . (1)分别求出这两个函数的解析式; (2)试判断点 P(﹣1,﹣5)是否在一次函数 y=kx+m 的图象上,并说明原因. 19. (10 分)如图,平行四边形 ABCD 中,以 A 为圆心,AB 为半径的圆分别交 AD、BC 于 F、G,延长 BA 交圆于 E.求证:EF=FG.

20. (12 分)当今,青少年视力水平的下降已引起全社会的广泛关注,为了了解某初中毕业 年级 300 名学生的视力情况,从中抽出了一部分学生的视力情况作为样本,进行数据处理, 可得到的频率分布表和频率分布直方图如下. 分组 频数 频率 2 0.04 3.95~4.25 6 0.12 4.25~ 23 ~4.85 4.85~5.15 1 0.02 5.15~5.45 1.00 合计 (1)填写频率分布表中部分数据; (2)在这个问题中,总体是 _________ ;所抽取的样本的容量是 _________ ; (3)若视力在 4.85 以上属正常,不需矫正,试估计毕业年级 300 名学生中约有多少名学生 的视力不需要矫正.

四、解答题(共 3 小题,满分 20 分) 21. 分)蛇的体温随外部环境温度的变化而变化.图表现了一条蛇在两昼夜之间体温变 (6 化情况.问题: (1)第一天,蛇体温的变化范围是什么?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? (2)第一天什么时间范围内蛇的体温是上升的?在什么时间范围内蛇的体温是下降的? (3)如果以后一天环境温度没有什么变化,请你画出这条蛇体温变化的大致图象.

67

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

22. 分)如图,以△ (6 ACF 的边 AC 为弦的圆交 AF、CF 于点 B、E,连接 BC,且满足 AC =CE?CF.求证:△ ABC 为等腰三角形.
2

23. 分)已知二次函数的图象是经过点 A(1,0) (8 ,B(3,0) ,E(0,6)三点的一条抛 物线. (1)求这条抛物线的解析式; (2) 如图, 设抛物线的顶点为 C, 对称轴交 x 轴于点 D, y 轴正半轴上有一点 P, 在 且以 A、 O、P 为顶点的三角形与△ ACD 相似,求 P 点的坐标.

68

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2010 年湖南省长沙市江华一中高中提前 招生考试数学试卷(湘教版)
参考答案与试题解析
一、选择题: (本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)将下列各题唯一正确的答案代号 A、 B、C、D 填到题后的括号内.&amp;amp;amp;shy; 1. 分)上升 5cm,记作+5cm,下降 6cm,记作( (3 ) A.6cm B.﹣6cm C.+6cm D.负 6cm 考点: 正数和负数。 分析: 首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答. 解答: 解:根据题意可知上升为+,则下降为﹣,所以下降 6cm,记作﹣6cm.故选答案 B. 点评: 解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具 有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
1459786

2. 分)在平面直角坐标系中,属于第二象限的点是( (3 ) A.(2,3) B.(2,﹣3) C.(﹣2,3)

D.(﹣2,﹣3)

考点: 点的坐标。 专题: 分类讨论。 分析: 点在第二象限的条件是:横坐标是负数,纵坐标是正数,直接得出答案即可. 解答: 解:∵ 点在第二象限, ∴ 点的横坐标是负数,纵坐标是正数, ∴ 只有 C 符合要求. 故选:C. 点评: 此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征, 记住各象限内点的坐标的符号是解决 的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+) ;第二象限(﹣,+) ;第三 象限(﹣,﹣) ;第四象限(+,﹣) .
1459786

3. 分)在 Rt△ (3 ABC 中,∠ C=90°,c=5,a=4,则 cosA 的值是( A. B. C.

) D.

考点: 锐角三角函数的定义。 分析: 根据勾股定理求得 b 的值,根据三角函数的定义求 cosA 的值. 解答: 解:∵ ABC 中,∠ Rt△ C=90°,c=5,a=4,
1459786

∴ b= ∴ cosA= = .

=3.

69

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

故选 A. 点评: 本题可以考查锐角三角函数的定义:在直角三角形中,锐角的余弦为邻边比斜边. 4. 分)关于 x 的方程 2x +mx﹣n=0 的二根是﹣1 和 3,则 2x +mx﹣n 因式分解的结果是 (3 ( ) A.(x+1) (x﹣3) B.2(x+1) (x﹣3) C.(x﹣1) (x+3) D.2(x﹣1) (x+3) 考点: 解一元二次方程-因式分解法。 2 分析: 根据一元二次方程根与系数的关系,先求出 m,n 的值,再代入 2x +mx﹣n,分解因 式即可. 2 解答: 解:∵ 关于 x 的方程 2x +mx﹣n=0 的二根是﹣1 和 3,
1459786

2

2

∴ ﹣1+3=﹣ ,﹣1×3=﹣ , ∴ m=﹣4,n=6. ∴ ﹣4x﹣6=2(x ﹣2x﹣3)=2(x+1) 2x (x﹣3) . 故选 B. 点评: 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及多项式的因式分解.此外,本题还可 以利用因式分解与整式乘法的关系,直接得出结果. 5. 分)⊙ 1 和⊙ 2 半径分别为 4 和 5,O1O2=7,则⊙ 1 和⊙ 2 的位置关系是( (3 O O O O A.外离 B.相交 C.外切 D.内含 )
2 2

考点: 圆与圆的位置关系。 分析: 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距, 根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可 直接得结果. 解答: 解:知道两圆的圆心距、半径,
1459786

则 1<O1O2=7<4+5=9, 故两圆相交. 故选 B. 点评: 两圆外离,则 P>R+r;外切,则 P=R+r;相交,则 R﹣r<P<R+r;内切,则 P=R﹣r; 内含,则 P<R﹣r. (P 表示圆心距,R,r 分别表示两圆的半径) . 6. 分)圆锥的母线长为 3,底圆半径为 1,则圆锥的侧面积为( (3 ) A.3π B.4π C.π D.2π 考点: 圆锥的计算。 分析: 圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长,把相应数值代入即可求解. 解答: 解:圆锥的侧面积=π×1×3=3π,故选 A. 点评: 本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用,掌握公式是关键.
1459786

7. 分)一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为 200 米,小军先走了一段路 (3 程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程 s(米)与登

70

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

山所用的时间 t(分钟)的函数关系(从爸爸开始登山时计时) .根据图象,下列说法错误的 是( )

A.爸爸开始登山时,小军已走了 50 米 B. 爸爸走了 5 分钟,小军仍在爸爸的前面 C. 小军比爸爸晚到山顶 D.10 分钟后小军还在爸爸的前面 考点: 函数的图象。 专题: 数形结合。 分析: 根据函数图象和爸爸登山的速度比小明快进行判断. 解答: 解:由图象可知,小明和爸爸离开山脚登山的路程 S(米)与登山所用时间 t(分钟) 的关系都是一次函数关系,因而速度不变. 可知:爸爸前 10 分钟前在小军的后面,10 分钟后小军在爸爸的后面. 故选 D. 点评: 本题考查函数的图象,关键是要正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的 过程,能够通过图象得到函数是随自变量的增大,知道函数值是增大还是减小.
1459786

二、填空题: (本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)&amp;amp;amp;shy; 8. 分)|﹣1|的结果是 1 . (3 考点: 绝对值。 分析: 根据负数的绝对值等于它的相反数解答. 解答: 解:|﹣1|=1.故应填 1. 点评: 本题主要考查绝对值的性质,熟练记忆是解题关键.
1459786

9. 分)方程 x ﹣2x﹣3=0 的解是 x1=3,x2=﹣1 . (3 考点: 解一元二次方程-因式分解法。 分析: 先方程左边因式分解,然后根据“两式相乘值为 0,这两式中至少有一式值为 0.”进 行求解. 2 解答: 解:方程 x ﹣2x﹣3=0 左边因式分解,得 (x﹣3) (x+1)=0 解得 x1=3,x2=﹣1. 点评: 本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方 法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因 式分解法.
1459786

2

71

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 10. 分)函数 y= (3

段中明

中,自变量 x 的取值范围是 x>﹣2 .

考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件。 分析: 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于 0,分母不等于 0,列不等式 求解. 解答: 解:根据题意得:x+2>0, 解得 x>﹣2. 点评: 函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
1459786

11. 分)圆心角为 30°,半径为 6 的扇形的弧长为 π . (3 考点: 弧长的计算。 分析: 根据弧长的公式 l=
1459786

,代入直接求解即可. ,得 l=π. 是解题的关键.

解答: 解:根据弧长的公式 l=

点评: 本题考查有关扇形弧长的计算.正确记准这个公式 l=

12. 分)如图,PC 是⊙ 的切线,切点为 C,PAB 为⊙ 的割线,交⊙ 于点 A、B,PC=2, (3 O O O PA=1,则 PB 的长为 4 .

考点: 切割线定理。 分析: 已知了切线 PC 的长,可直接根据切割线定理求出割线 PB 的值. 2 解答: 解:由切割线定理知:PC =PA?PB,
1459786

故 PB=PC ÷PA=4÷1=4, 即 PB 的长为 4. 点评: 此题主要利用了切割线定理求解. 13. 分)若 a∥ (3 b,b∥ c,证明 a∥ c.用反证法证明的第一步是 假设 a 与 c 不平行 . 考点: 反证法。 分析: 反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立,可据此进行填空. 解答: 解:用反证法证明 a∥ 时,应先假设:a 与 c 不平行. c
1459786

2

72

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 点评: 解此题关键要懂得反证法的意义及步骤. 反证法的步骤是: (1)假设结论不成立; (2)从假设出发推出矛盾; (3)假设不成立,则结论成立.

段中明

14. 分)设 α 和 β 是方程 x ﹣4x+5=0 的二根,则 α+β 的值为 (3 考点: 根与系数的关系。 专题: 计算题。 分析: 根据根与系数的关系得出 α+β=﹣ ,代入求出即可.
1459786

2

4 .

解答: 解:∵ 和 β 是方程 x ﹣4x+5=0 的二根, α ∴ α+β=﹣ =﹣ =4,

2

故答案为:4. 点评: 本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握, 能熟练地根据根与系数的关系进行计 算是解此题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 58 分) 15. 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,已知∠ (8 B=44°,上底 AD 长为 4,梯形的高为 2,求 梯形底边 BC 的长(精确到 0.1) .

考点: 解直角三角形;全等三角形的判定;等腰梯形的性质。 分析: 根据题中所给的条件,在直角三角形中解题,根据角边之间的关系解出所求边长. 解答: 解:过 A、D 两点分别作 AE⊥ BC,DF⊥ BC,垂足为 E、F. ∵ 梯形 ABCD,∴ BC, AD∥ 又∵ BC,DF⊥ AE⊥ BC, ∴ DF,∴ AE∥ 四边形 AEFD 是矩形. ∴ AD=EF,AE=DF=2. 又∵ 等腰梯形 ABCD,∴ AB=CD,∠ C, B=∠ ∴ABE≌DCF,∴ △ △ BE=CF.
1459786

∵ Rt△ 在 ABE 中,cotB=



∴ BE=AEcotB=2cot44°, ∴ BC=2BE+AD=4cot44°+4≈8.1. 答:梯形底边 BC 的长为 8.1.

73

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

点评: 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系 16. 分)已知关于 x 的方程 x + (8 的解答过程如下:
2 2 2

kx+k ﹣k+2=0,为判别这个方程根的情况,一名同学

2

“解:△ =( k) ﹣4×1×(k ﹣k+2) 2 =﹣k +4k﹣8 2 =(k﹣2) +4. 2 2 ∵ (k﹣2) ≥0,4>0,∴=(k﹣2) +4>0. △ ∴ 原方程有两个不相等的实数根.” 请你判断其解答是否正确,若有错误,请你写出正确解答. 考点: 根的判别式。 专题: 阅读型。 分析: 此题注意在配方时别丢负号;一元二次方程根的情况取决于判别式△ ,当△ >0 时,方 程有两个不相等的实数根,当△ 时,方程有两个相等的实数根,当△ =0 <0 时,方程无 实数根. 解答: 解:解答过程不正确, 2 2 △ =﹣k +4k﹣8=﹣(k ﹣4k+8) 2 =﹣[(k﹣2) ﹣4+8] 2 =﹣(k﹣2) ﹣4 2 ∵ (k﹣2) ≥0, 2 ∴ ﹣(k﹣2) ≤0 2 ∴ ﹣(k﹣2) ﹣4<0 即△ <0,所以方程没有实数根. 点评: 本题考查一元二次方程根的判别式与配方的知识. 解题时要注意解题过程中的负号别 漏掉.
1459786

17. (10 分) (2002?长沙)某花木园,计划在园中栽 96 棵桂花树,开工后每天比原计划多 栽 2 棵,结果提前 4 天完成任务.问原计划每天栽多少棵? 考点: 分式方程的应用;解一元二次方程-因式分解法。 专题: 应用题。 分析: 利用分式方程解应用题时,一般题目中会有两个相等关系,在本题中“开工后每天比 原计划多栽 2 棵”和“提前 4 天完成任务”,就是两个相等关系.而总工程÷工效=时间, 这时可根据题目所要解决的问题,选择第二个相等关系作为列方程的依据,而另一个 则用来设未知数. 解答: 解:设原计划每天栽 x 棵.
1459786

则:



74

湖南省四大名校自主招生考试数学试题
2

段中明

整理得:x +2x﹣48=0. 解得:x1=6,x2=﹣8(舍去) . 经检验:x=6 是原分式方程的解. 答:原计划每天栽 6 棵. 点评: 列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样,重点在于准确地找出相等关系,这 是列方程的依据.

18. (10 分)已知反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+m 的图象相交于点(2,1) . (1)分别求出这两个函数的解析式; (2)试判断点 P(﹣1,﹣5)是否在一次函数 y=kx+m 的图象上,并说明原因. 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题: 计算题。 分析: (1) (2, 代入 y= , 将点 1) 求出 k 的值, 再将 k 的值和点 (2, 代入解析式 y=kx+m, 1)
1459786

即可求出 m 的值,从而得到两个函数的解析式; (2)将 x=﹣1 代入(1)中所得解析式,若 y=﹣5,则点 P(﹣1,﹣5)在一次函数 图象上,否则不在函数图象上. 解答: 解: (1)∵ 经过(2,1) y= , ∴ 2=k. ∵ y=kx+m 经过(2,1) , ∴ 1=2×2+m, ∴ m=﹣3. ∴ 反比例函数和一次函数的解析式分别是:y= 和 y=2x﹣3. (2)当 x=﹣1 时,y=2x﹣3=2×(﹣1)﹣3=﹣5. ∴ P(﹣1,﹣5)在一次函数图象上. 点 点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 解题的关键是知道函数图象的交点坐 标符合两个函数的解析式. 19. (10 分)如图,平行四边形 ABCD 中,以 A 为圆心,AB 为半径的圆分别交 AD、BC 于 F、G,延长 BA 交圆于 E.求证:EF=FG.

考点: 圆心角、弧、弦的关系;平行四边形的性质;圆周角定理。 专题: 证明题。 分析: 要证明 EF=FG,则要证明∠ GAF=∠ EAF,由题干条件能够证明之.
1459786

75

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

解答: 证明:连接 AG. ∵ 为圆心,∴ A AB=AG, ∴ABG=∠ ∠ AGB, 分) (2 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ BC,∠ AD∥ AGB=∠ DAG,∠ EAD=∠ ABG, 分) (4 ∴DAG=∠ ∠ EAD, 分) (5 ∴ EF=FG. 分) (6 点评: 本题涉及的考点有圆、弧、弦的关系,还考查了平行四边形的性质,不是很难. 20. (12 分)当今,青少年视力水平的下降已引起全社会的广泛关注,为了了解某初中毕业 年级 300 名学生的视力情况,从中抽出了一部分学生的视力情况作为样本,进行数据处理, 可得到的频率分布表和频率分布直方图如下. 分组 频数 频率 2 0.04 3.95~4.25 6 0.12 4.25~ 23 ~4.85 4.85~5.15 1 0.02 5.15~5.45 1.00 合计 (1)填写频率分布表中部分数据; (2)在这个问题中,总体是 某初中毕业年级 300 名学生的视力情况 ;所抽取的样本的 容量是 50 ; (3)若视力在 4.85 以上属正常,不需矫正,试估计毕业年级 300 名学生中约有多少名学生 的视力不需要矫正.

考点: 频数(率)分布直方图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;频数(率) 分布表。 专题: 图表型。 分析: (1)首先利用其中一组一组数据可以求出抽取的人数(2÷0.04) ,然后利用总人数即 可补全频率分布表中部分数据; (2)根据总体是考查对象的全体可以得到总体,根据样本容量的定义可以确定样本 容量; (3)首先根据表格可以得到视力在 4.85 以上的频率,然后乘以 300 即可得到毕业年 级 300 名学生中约有多少名学生的视力不需要矫正. 解答: (1)频率分布表: 解:
1459786

76

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

分组 频数 频率 2 0.04 3.95~4.25 6 0.12 4.25~ 23 0.46 ~4.85 18 0.36 4.85~5.15 1 0.02 5.15~5.45 50 1.00 合计 (2)总体某初中毕业年级 300 名学生的视力情况,样本容量:50; (3)依题意估计毕业年级 300 名学生中约有 ×300=114(名) ,

答:300 名学生中约有 114 名不需矫正. 点评: 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力, 利用统计图获取信 息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题. 四、解答题(共 3 小题,满分 20 分) 21. 分)蛇的体温随外部环境温度的变化而变化.图表现了一条蛇在两昼夜之间体温变 (6 化情况.问题: (1)第一天,蛇体温的变化范围是什么?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? (2)第一天什么时间范围内蛇的体温是上升的?在什么时间范围内蛇的体温是下降的? (3)如果以后一天环境温度没有什么变化,请你画出这条蛇体温变化的大致图象.

考点: 函数的图象。 专题: 图表型。 分析: (1)找到第一天中最高点与最低点的坐标,进而可得蛇体温的变化范围与它的体温 从最低上升到最高需要时间; (2)观察图象,找函数图象上升与下降的区域,对应的就是蛇的体温上升与下降的 时间. (3)环境没有发生变化,其体温的变化趋势与前两天完全相同. 解答: (1)变化范围是:35℃ 解: ~40℃ ,12 小时; (2)4 时~16 时蛇的体温是上升的,16 时~24 时蛇的体温是下降的.
1459786

77

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(3) 点评: 本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理 解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决. 22. 分)如图,以△ (6 ACF 的边 AC 为弦的圆交 AF、CF 于点 B、E,连接 BC,且满足 AC =CE?CF.求证:△ ABC 为等腰三角形.
2

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;圆心角、弧、弦的关系。 专题: 证明题。 2 分析: 连接 AE,根据 AC =CE?CF 及∠ ACE=∠ FCA,可求出△ ACE∽FCA,再根据相似三角 △ 形的对应角相等及圆周角定理可求出弧 AC=弧 BC,AC=BC 即可解答. 解答: 证明:连接 AE, 2 ∵ =CE?CF, AC
1459786





又∵ACE=∠ ∠ FCA. ∴ACE∽FCA, △ △ ∴AEC=∠ ∠ FAC. ∵ AC=弧 BC, 弧 ∴ AC=BC, ∴ABC 为等腰三角形. △

点评: 此题涉及到圆周角定理及相似三角形判定与性质,解答此题的关键是连接 AE,构造

78

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

出相似三角形,再根据相似三角形的性质及圆周角定理即可解答. 23. 分)已知二次函数的图象是经过点 A(1,0) (8 ,B(3,0) ,E(0,6)三点的一条抛 物线. (1)求这条抛物线的解析式; (2) 如图, 设抛物线的顶点为 C, 对称轴交 x 轴于点 D, y 轴正半轴上有一点 P, 在 且以 A、 O、P 为顶点的三角形与△ ACD 相似,求 P 点的坐标.

考点: 二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的性质。 专题: 综合题;数形结合。 分析: (1)由抛物线与 x 轴的两交点坐标(1,0) (3,0)设出解析式 y=a(x﹣1) (x﹣3) , 再把(0,6)代入求解 a 值即可. (2)由抛物线的解析式先确定 C、D 两点坐标,再由△ AOP∽ACD,求得 P 点坐标. △ 解答: (1)设抛物线解析式为:y=a(x﹣1) 解: (x﹣3) , ∵ E(0,6) 6=a×3, 过 ,∴ ∴ a=2, 2 ∴ 抛物线的解析式为:y=2x ﹣8x+6.
1459786

(2)y=2x ﹣8x+6=2(x ﹣4x+3)﹣2=2(x﹣2) ﹣2, ∴ C(2,﹣2) ,对称轴直线 x=2,D(2,0) . △ ACD 为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1. 当△ AOP∽ACD 时, △ , ,∴ OP=2.

2

2

2

∵ 在 y 轴正半轴上,∴ P P(0,2) . 当△ PAO∽ACD 时, △ , ,OP=1,

P 在 y 轴正半轴上,∴ P(0,1) . 点评: 本题考查了二次函数解析式的求法以及数形结合的思想.

79

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2010 年长沙一中重点中学自主招生数学模拟试题一
答题时注意: 1、试卷满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2、试卷共三大题,计 16道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、 选择题 (共 5 小题, 每题 6 分, 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 共 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的 括号内.不填、多填或错填均不得分)
1、如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(
2 2


80

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 A、 ? 2 ? a ? 2 B、 3 ? a ? 2

段中明 C、 ? 3 ? a ? 2 D、 ? 3 ? a ? 2

2、 如图, 已知: E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 点 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG 的 面 积 等 于????????( ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G 3 、设 x、 y、 z 是两两不等的实数,且满足下列等式:
6

x ( y ? x) ? x ( z ? x) ?
3 3 6 3 3

6

y ? x ? x ? z ,则代数式
6

F H

3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是??????? (



D

C

A、0

B、1

C、3

D、条件不足,无法计算
D

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知:

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5
是??????? ( A、 89 B、7 3 ) C、4+3 3 D、3+4 3
B C A

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 是??????? ( ) A、296 B、221 C、225 D、641

二、填空题: (共 5 小题,每题 6 分,共 30 分)
6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin ? ? b cos ? ? c ? 0 ; ⑵ a cos ? ? b sin ? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是: 。 7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是 。

8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚 过的部分的面积是 。 9、已知: x ?

3 5? 2

,则 2 可用含 x 的

有理系数三次多项式来表示为: 2 = 。

81

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

10、设p、q、r 为素数,则方程 p 3 ? p 2 ? q 2 ? r 2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数 组( p, q, r )是 。

三、解答题(共 6 题,共 90 分)
11、 (本题满分 12 分) 赵岩, 徐婷婷, 韩磊不但是同班同学, 而且是非常要好的朋友, 三个人的学习成绩不相伯仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学. 后来三 个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密码把英

?? , 3, 26 文按字母分解,英文中的 a,b,c, ,z 26 个字母(不论大小写)依次用1 2,?, 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

? x ? [ 2 ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示 y?? x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q ,再 不超过 x 的最大整数;将英文字母转化成密码,如 8 ? [ 2 11 如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。

12、 (本题满分 15 分) 如果有理数 m 可以表示成 2 x ? 6 xy ? 5 y (其中 x、 y 是任意有理数) 的形式, 我们就称 m
2 2

82

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

为“世博数” 。 ⑶ 个“世博数” a、 b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑷ 证明:两个“世博数” a、 b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。

13、 (本题满分 15 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 3 7k 2 ? 20 的值; ⑵若点 H 分线段 BE 成

BG DE ? ?k。 GD EA

BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE

式表示△ ABD 三边长的平方和。

A

H B C G

E

D

83

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

14、 (本题满分 16 分) 观察下列各个等式: 12 ? 1,12 ? 2 2 ? 5,12 ? 2 2 ? 32 ? 14,12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 30,??? 。 ⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程;
2 2 2 2 2

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知:如图,抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA 分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An?1 , 分别过这 n ? 1 个点作 x ? n 等分, 轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、Bn?1 ,设△ OBA1 、 ? △ A1 B1 A2 、 △ A2 B2 A3 、 △ A3 B3 A4 、 ? 、 △ An?1 Bn?1 A 的 面 积 依 次 为

S1、S 2、S 3、S 4、 、Sn 。 ?
①当 n ? 2010 时,求 S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? S5 ? ? ? S2010 的值; ②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

84

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

15、 (本题满分 16 分) 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36 ? 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120 ? 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
J A C M P S

N B K L

O

Q

R

W

Z

X

Y

85

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

16、 (本题满分 16 分) 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ? IC 于 点D。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB ? AC ? 5, BC ? 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m , 分别以

DE ? n ,试作出 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

D

C I E

A B F

86

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

2010 年重点中学自主招生数学模拟试题一
参考答案与评分标准
一、 选择题 (共 5 小题, 每题 6 分, 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 共 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的 括号内.不填、多填或错填均不得分)
1、 如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根, 则实数 a 的取值范围是 ( C )
2 2

A、 ? 2 ? a ? 2

B、 3 ? a ? 2

C、 ? 3 ? a ? 2

D、 ? 3 ? a ? 2

2、 如图, 已知: E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 点 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG 的 面 积 等 于????????( B ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G x、y、 z 是两两不等的实数,且满足下列等式: 3 、设
6

x ( y ? x) ? x ( z ? x) ?
3 3 6 3 3

6

y ? x ? x ? z ,则代数式
6

F H

3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是??????? ( A )

D

C

A、0

B、1

C、3

D、条件不足,无法计算
D

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知:

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5
是??????? ( D ) A、 89 B、7 3 C、4+3 3 D、3+4 3
B C A

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 是??????? ( B ) A、296 B、221 C、225 D、641

二、填空题: (共 5 小题,每题 6 分,共 30 分。不设中间分)
6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin ? ? b cos ? ? c ? 0 ; ⑵ a cos ? ? b sin ? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是:

a2 ? b2 ? c2 ? d 2

。 8 。

7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是

8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚

87

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 过的部分的面积是 9、已知: x ? 84— ? 。

段中明

3 5? 2

,则 2 可用含 x 的

有理系数三次多项式来表示为: 2 =

?

1 3 11 x ? x 6 6



10、设p、q、r 为素数,则方程 p 3 ? p 2 ? q 2 ? r 2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数 组( p, q, r )是

(3,3,3)



三、解答题(共 6 题,共 90 分。学生若有其它解法,也按标准给分)
11、 (本题满分 12 分) 赵岩, 徐婷婷, 韩磊不但是同班同学, 而且是非常要好的朋友, 三个人的学习成绩不相伯仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学, 后来三 个人应母校邀请给全校学生作一次报告。 报告后三个人还出了一道数学题: 有一种密码把英

?? , 3, 26 文按字母分解,英文中的 a,b,c, ,z 26 个字母(不论大小写)依次用1 2,?, 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

? x ? [ ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示 y?? 2 x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q ,再 不超过 x 的最大整数。将英文字母转化成密码,如 8 ? [ 2 11 如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。 略解:由题意,密码 etwcvcjw 对应的英语单词是 interest, ej 对应的英语单词是 is, ncjw 对 应的英语单词是 best, wcabqcv对应的英语单词是 teacher. (9 分)

所以,翻译出来的一句英语是 Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师” 。 (3 分) 12、 (本题满分 15 分) 如果有理数 m 可以表示成 2 x ? 6 xy ? 5 y (其中 x、 y 是任意有理数) 的形式, 我们就称 m
2 2

为“世博数” 。
88

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

⑶ 个“世博数” a、 b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑷ 证明:两个“世博数” a、 b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。 略解:?m ? 2 x 2 ? 6 xy ? 5 y 2 = ( x ? 2 y) 2 ? ( x ? y) 2 ,其中 x、 y 是有理数, “世博数”m ? p 2 ? q 2(其中 p、q 是任意有理数) 只须 p ? x ? 2 y, q ? x ? y 即 , ? 可。 (3 分)

? 对于任意的两个两个“世博数” a、 b ,不妨设 a ? j 2 ? k 2 , b ? r 2 ? s 2 , 其中 j、k、
r、s 为任意给定的有理数, (3 分)

则 ab ? ( j 2 ? k 2 )(r 2 ? s 2 ) ? ( jr ? ks) 2 ? ( js ? kr) 2 是“世博数”(3 分) ;

a j 2 ? k 2 ( j 2 ? k 2 )(r 2 ? s 2 ) ( jr ? ks) 2 ? ( js ? kr) 2 ? 2 ? (3分) ? b r ? s2 (r 2 ? s 2 ) 2 (r 2 ? s 2 ) 2
=(

jr ? ks 2 js ? kr 2 ) ?( 2 ) 也是“世博数” 。 2 2 r ?s r ? s2

(3 分)

13、 (本题满分 15 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 3 7k 2 ? 20 的值; ⑵若点 H 分线段 BE 成

BG DE ? ?k。 GD EA

BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE

式表示△ ABD 三边长的平方和。

略解:⑴不妨设△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积分别为 3、1、4, ∵

BG DE ? ?k, GD EA

∴△ ABD 的面积是 6,△ BDE 的面积是

6k , k ?1

△ CDG 的面积是

1 4k 6k , △ CDE 的面积为 ,△ DEG 的面积是 。 k ?1 k ?1 (k ? 1) 2

89

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

(3 分)由此可得:

1 4k 6k 2 + = ,即 4k ? 3k ? 1 ? 0 ,∴ k ? 1 (3 分) 2 k ? 1 (k ? 1) k ? 1
(1 分)

∴ 3 7k 2 ? 20 =3

⑵由⑴知: E、G 分别为 AD、BD 的中点,又∵点 H 分线段 BE 成

BH ? 2 的两段, HE

∴点 H 是△ ABD 的重心。 (2 分) 而当延长 BE 到 K ,使得 BE ? EK ,连结 AK、DK 后便得到平行四边形 ABDK , 再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:

?2( BD 2 ? AD 2 ) ? AB 2 ? 4 DM 2 ,其 2( AB2 ? BD2 ) ? AD2 ? 4BE 2 ,类似地有 ? 2 2 2 2 ? 2( AB ? AD ) ? BD ? 4 AG
中点 M 为边 AB 的中点。∴ 3( AB2 ? BD2 ? AD2 ) ? 4( BE 2 ? DM 2 ? AG2 ) 。 (3 分)∵ AH ?

2 2 2 AG , BH ? BE , DH ? DM , AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,∴ 3 3 3 9 BE 2 ? DM 2 ? AG 2 ? p 2 ,∴ AB2 ? BD2 ? AD2 ? 3p 2 。 分) (3 4

14、 (本题满分 16 分) 观察下列各个等式: 12 ? 1,12 ? 2 2 ? 5,12 ? 2 2 ? 32 ? 14,12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 30,??? 。 ⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程;
2 2 2 2 2

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知:如图,抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA
2

n 等分, 分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An?1 , 分别过这 n ? 1 个点作 x ? 轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、Bn?1 ,设△ OBA1 、 ? △ A1 B1 A2 、 △ A2 B2 A3 、 △ A3 B3 A4 、 ? 、 △ An?1 Bn?1 A 的 面 积 依 次 为

S1、S 2、S 3、S 4、 、Sn 。 ?
①当 n ? 2010 时,求 S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? S5 ? ? ? S2010 的值; ②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

90

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

略解:⑴∵ n 3 ? (n ? 1) 3 ? 3n 2 ? 3n ? 1,∴当式中的 n 从 1、2、3、…依次取到 n 时,就可 得下列 n 个等式: (2 分)

13 ? 03 ? 3 ? 3 ? 1,23 ? 13 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1,33 ? 23 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1,??, n 3 ? (n ? 1) 3 ? 3n 2 ? 3n ? 1,将这 n 个等式的左右两边分别相加得: n 3 ? 3 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n (2 分)
即1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n =
2 2 2 2 2

n 3 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n n(n ? 1)(2n ? 1) ? 。 分) (3 3 6

(0 ⑵先求得 A、B 两点的坐标分别为 (3,0)、 ,3) ,∴点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An?1 ?
3 6 9 3(n ? 1) ,点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、Bn?1 的纵坐标 ? n n n n 3 2 3 6 2 6 3(n ? 1) 2 3(n ? 1) ? ? ? ] ? 2? ?3。 分别为 ? ( ) ? 2( ) ? 3、 ( ) ? 2( ) ? 3、 、 [ n n n n n n ? 的横坐标分别为 、 、 、 、
(3 分)∴

S1 ?


9 9(n 2 ? 2n ? 3) 9(n 2 ? 4n ? 12) 9[n 2 ? 2(n 2 ? n) ? 3(n ? 1) 2 ] , S2 ? , S3 ? ,? , S n ? 2n 2n 3 2n 3 2n 3

9{n 3 ? 2n(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? 3[12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ]} S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 2n 3

91

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

n(n ? 1) n(n ? 1)(2n ? 1) ? 3? 9(2n 2 ? n ? 1) 2 6 = 。 ? 2n 3 4n 2 ∴①当 n ? 2010 时, 9[n 3 ? 2n ?
S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? S5 ? ? ? S 2008 =
②∵ S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?

(3 分)

9(2 ? 20102 ? 2009) 72739881 ? ; 16160400 4 ? 20102

9(2n 2 ? n ? 1) 9 9 9 ? ? ? 2 2 2 4n 4 n 4n
9 9 ,即所有三角形的面积和等于 。 (3 分) 2 2

∴当 n 取到无穷无尽时,上式的值等于

15、 (本题满分 16 分) 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36 ? 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120 ? 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

略解:⑴由题意可知四边形 PQRS 必然是等腰梯形, 分)不妨设 (2

QS ? PR ? QR ? 4, PQ ? PS ? RS = x ,分别过点 S、Q 作 QR、RS 的垂线,垂足为

RI RS I、 F ,则由△ QRF ∽△ RSI 得到 ? ,即 RF QR

4? x 2 ? x ,解得 x ? 2 5 ? 2 。 x 4 2
92

湖南省四大名校自主招生考试数学试题

段中明

∴ SI ?

RS 2 ? IR2 ? x 2 ? (

4? x 2 ) ? 10 ? 2 5 <2.4, 2

∴第④种塑料板“可操作” 。 (5 分) ⑵如上图所示,分别作直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AH 、等腰三角形 JKL 的腰 JL 上 的高 KE 、等腰三角形 OMN 底边上的高 MG ,易求得: AH =2.4, MG =2.5. (2 分) 又由⑴可得等腰梯形 PQRS 的锐角底角是 72 ? ,△ JKL ≌△ PQR ,∴ KE = SI . 而黄金矩形 WXYZ 的宽等于 4 ?

5 ?1 ? 2 5 ? 2 >2.4, (4 分) 2
7 。 分) (3 10

∴第①②④三种塑料板“可操作” ;而第③⑤两种塑料板“不可操作” 。 ∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率 P ?

16、 (本题满分 16 分) 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ? IC 于 点D。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB ? AC ? 5, BC ? 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m , 分别以

DE ? n ,试作出 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

略解:⑴结论: D、E、F 三点是同在一条直线上。 分) (1 证明:分别延长 AD、BC 交于点 K ,由旁切圆的定义及题中已知条件得:

AD ? DK , AC ? CK ,再由切线长定理得: AC ? CE ? AF, BE ? BF , 分) (3
∴ KE ? AF 。 ∴

KD AF BE ? ? ? 1 ,由梅涅劳斯定理的逆定理可证 D、E、F 三点共线。 DA FB EK
93

湖南省四大名校自主招生考试数学试题 (3 分)

段中明

⑵∵ AB ? AC ? 5, BC ? 6, ∴ A、E、I 三点共线, CE ? BE ? 3, AE ? 4 ,连结 IF ,则 △ ABE ∽△ AIF ,△ ADI ∽△ CEI , A、F、I、D 四点共圆。 分) (2 设⊙ I 的半径为 r ,则:

3 4 AD 3 ? , r ? 6, ∴ AI ? 10, ? , 即 AD ? 2 5 , ID ? 4 5 , r 8 ID 6

∴ 由 △ AEF ∽ △ DEI 得 : m ? (

4 5 2 5 DE 4 5 5 ) ? , ? ? , DE ? 2 5 , 8 4 AE 8 2

5 IE 5 12 ? , EF ? 5 ,∴ n ? 。 (4 分) 6 EF 2 5

? m n 13 ? ? ? 6 m n ∴?n m ,因此,由韦达定理可知:分别以 、 为两根且二次项系数为 6 的一个 m n n m ? ? ?1 ? n m
一元二次方程是 6 x ? 13x ? 6 ? 0 。
2

(3 分)

94


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签: