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2012高三数学一轮复习单元练习题:函数与数列(Ⅰ)


高三数学一轮复习单元练习题: 函数与数列( 2012 高三数学一轮复习单元练习题: 函数与数列(Ⅰ)
填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卷相 应位置上。 1、函数 y =

? x 2 ? 3 x + 4 的定义域为 x

▲ ▲

。 条件。 ▲ 。 ▲ 。

2、 “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的

3、在等比数列 {an } 中, a2 = 8 , a1 = 64 ,则公比 q 为

a 4、在等差数列 { a n } 中, a 5 = 3, 6 = ?2 ,则 a 3 + a 4 + L + a8 =

5、设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ,曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 ,则曲线 y = f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a


b



6、设 a > 0, b > 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则

1 4 + 的最小值为 a b



。 ▲ 。

7、等差数列 {an } 的公差不为零, a1 = 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an =

8、一个等差数列的前 12 项的和为 354,在这 12 项中,若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为 32:27, 则公差 d= ▲ 。 9、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ,则 f(2009)的值为= ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0

▲ 。 10、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要 用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业 在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ▲ B 。 11、已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 + a4 + a6 =99,以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和,则使得 Sn 达 到最大值的 n 是 ▲ 。 ▲ 。 12、等差数列 {a n } 中,若 s20 = 50 , s50 = 20 ,则 s70 =

= 13、已知函数 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的偶函数,若对于 x ≥ 0 ,都有 f ( x + 2) f ( x ) ,且当 x ∈ [0, 2) 时, f ( x) = log 2 ( x + 1) ,则 f ( ?2008) + f (2009) 的值为
14、设 a1 = 2 , an +1 = ▲ 。

2 an + 2 , bn = , n ∈ N * ,则数列 {bn } 的通项公式 bn = an + 1 an ? 1





第1页

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15、设 sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 S3 , S4 的等比中项是 S5 ; S3 , S4 的等差中项是 1,求数列
1 3 1 4 1 5 1 3 1 4

{an } 的通项公式。
16、设函数 f ( x) =

ex x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k > 0 ,求不等式 f ' ( x ) + k (1 ? x ) f ( x ) > 0 的解集.

1a 17、已知数列 {an } 满足, a1= ’ 2 = 2, an+2=

an + an +1 ,n∈ N*. 2

(1)令 bn = an +1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列; (2)求 {an } 的通项公式。 x米

18、围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的 造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m),修建此矩形场地的总费用为 y(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用 y 最小,并求出最小总费用。 19、 已知点 (1, ) 是函数 f ( x ) = a x ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f ( n) ? c , 数列 {bn } (bn > 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ≥ 2 ).(1)求数列 {an } 和

1 3

{bn } 的通项公式;
(2)若数列{

1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 1000 的最小正整数 n 是多少? . bn bn+1 2009 1 3 x + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3

20、设函数 f ( x ) = ?

1 1 处的切线斜率 (1)当 m = 1时, 曲线 y = f ( x)在点( ,f( ))
(2)求函数的单调区间与极值; 且 若对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x ) > f (1) (3) 已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 < x 2 。 恒成立,求 m 的取值范围。

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参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题 卷相应位置上。 1、函数 y =

? x 2 ? 3 x + 4 的定义域为 x

▲ ▲

。 [ ?4, 0) U (0, 1] 条件。必要不充分 ▲ 。

2、 “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的

3、在等比数列 {an } 中, a2 = 8 , a1 = 64 ,则公比 q 为

1 8
▲ 。3

a 4、在等差数列 { a n } 中, a 5 = 3, 6 = ?2 ,则 a 3 + a 4 + L + a8 =

5、设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ,曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 ,则曲线 y = f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a


b

。4

6、设 a > 0, b > 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则

1 4 + 的最小值为 a b



。9 ▲ 。2n

7、等差数列 {an } 的公差不为零, a1 = 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an =

8、一个等差数列的前 12 项的和为 354,在这 12 项中,若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为 32:27, 则公差 d= ▲ 。5 9、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ,则 f(2009)的值为= ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0



。1

10、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要 用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业 在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ▲ B 。 27 11、已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 + a4 + a6 =99,以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和,则使得 Sn 达 到最大值的 n 是 ▲ 。 n = 20 ▲ 。-70 12、等差数列 {a n } 中,若 s20 = 50 , s50 = 20 ,则 s70 =

= 13、已知函数 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的偶函数,若对于 x ≥ 0 ,都有 f ( x + 2) f ( x ) ,且当 x ∈ [0, 2) 时, f ( x) = log 2 ( x + 1) ,则 f ( ?2008) + f (2009) 的值为
▲ 。1

第3页

14 、 设 a1 = 2 , an +1 =

2 an + 2 , bn = , n ∈ N * , 则 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 bn = an + 1 an ? 1





bn = 4 ? 2n ?1 = 2n +1
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15、设 sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 S3 , S4 的等比中项是 S5 ; S3 , S4 的等差中项是 1,求数列
1 3 1 4 1 5 1 3 1 4

{an } 的通项公式。
16、 (2009 江西卷理) (本小题满分 12 分)

ex 设函数 f ( x ) = x
求函数 f ( x ) 的单调区间; 若 k > 0 ,求不等式 f ' ( x ) + k (1 ? x ) f ( x ) > 0 的解集. 解: (1)

f ' ( x) = ?

1 x 1 x x ?1 x e + e = 2 e , 由 f ' ( x) = 0 ,得 x = 1 . x2 x x

因为 当 x < 0 时, f ' ( x ) < 0 ; 当 0 < x < 1 时, f ' ( x ) < 0 ; 当 x > 1 时, f ' ( x ) > 0 ;

(0,1] 所以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, +∞ ) ; 单调减区间是: ( ?∞, 0), .


f ' ( x) + k (1 ? x) f ( x) =

x ? 1 + kx ? kx 2 x ( x ? 1)(?kx + 1) x e >0, e = x2 x2

得: ( x ? 1)( kx ? 1) < 0 . 故:当 0 < k < 1 时, 解集是: {x 1 < x < } ; 当 k = 1 时,解集是: ? ; 当 k > 1 时, 解集是: {x

1 k

1 < x < 1} . 21 世纪 k an + an +1 ,n∈ N*. 2

17、 (2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

1a 已知数列 {an } 满足, a1= ’ 2 = 2, an+2=

( Ι ) 令 bn = an+1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;

第4页

(Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 (1)证 b1 = a2 ? a1 = 1, 当 n ≥ 2 时, bn = an +1 ? an = 所以 {bn } 是以 1 为首项, ?

an ?1 + an 1 1 ? an = ? (an ? an ?1 ) = ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn = an +1 ? an = ( ? ) , 2
n? 2 当 n ≥ 2 时, an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( an ? an ?1 ) = 1 + 1 + ( ? ) + L + ( ? )

1 2

1 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 = 1+ = 1 + [1 ? (? ) n? 2 ] = ? (? ) n?1 , 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n = 1 时, ? ( ? ) = 1 = a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an = ? ( ? ) ( n ∈ N ) 。 3 3 2
18、围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的 造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m),修建此矩形场地的总费用为 y(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用 y 最小,并求出最小总费用。 x米 解: (1)设矩形的另一边长为 a m 则 y 2 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 , x
.

所以 y=225x+

360 2 ? 360( x f 0) x

(II)Q x f 0,∴ 225 x +

360 2 ≥ 2 225 × 360 2 = 10800 4、已知函数 f ( x) 是 (?∞, +∞) 上的偶函数,若 x

= ) 对于 x ≥ 0 ,都有 f ( x + 2) f ( x ) ,且当 x ∈ [0, 2) 时, f ( x ) = log 2 ( x + 1 ,则 f ( ?2008) + f (2009) 的
值为 ▲ 。1

第5页

∴ y = 225 x +

360 2 360 2 时,等号成立. ? 360 ≥ 10440 .当且仅当 225x= x x

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. . 19、 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) = a x ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f ( n) ? c , 数列 {bn } (bn > 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ≥ 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 1000 的最小正整数 n 是多少? . bn bn+1 2009 1 ?1? ,∴ f ( x ) = ? ? 3 ? 3?
x

【解析】 (1) Q f (1) = a =

1 2 a1 = f (1) ? c = ? c , a2 = ? f ( 2 ) ? c ? ? ? f (1) ? c ? = ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 = ? f ( 3) ? c ? ? ? f ( 2 ) ? c ? = ? . ? ? ? ? 27 4 2 a 81 = ? 2 = 1 ? c ,所以 c = 1 ; 又数列 {an } 成等比数列, a1 = 2 = a3 ? 2 3 3 27
又公比 q =
n ?1 n a2 1 = ,所以 an = ? 2 ? 1 ? = ?2 ? 1 ? ? ? ? ? a1 3 3?3? ?3?

n∈ N*



Q S n ? S n ?1 =

(

S n ? S n ?1

)(

S n + S n ?1 = S n + S n ?1

)

( n ≥ 2)

又 bn > 0 , S n > 0 , ∴ S n ? S n ?1 = 1 ; 数列

{ S } 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn =1+ ( n ?1) ×1 = n , S n = n 2

当 n ≥ 2 , bn = S n ? S n ?1 = n 2 ? ( n ? 1) = 2n ? 1 ;

∴ bn = 2n ? 1 ( n ∈ N * );
(2) Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 = + + +K + + + +L + (2n ? 1) × ( 2n + 1) b1b2 b2b3 b3b4 bn bn +1 1× 3 3 × 5 5 × 7

第6页

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n = ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + K + ? ? ; ? = ?1 ? ?= 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n + 1 ? 2 ? 2n + 1 ? 2n + 1
由 Tn =

n 1000 1000 1000 > 得n > ,满足 Tn > 的最小正整数为 112. 2n + 1 2009 9 2009

20、 (2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ?

1 3 x + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3

1 1 处的切线斜率 (Ⅰ)当 m = 1时, 曲线 y = f ( x)在点( ,f( ))
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ) 已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 < x 2 。 且 若对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x ) > f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。 【答案】 (1)1(2) f (x ) 在 ( ?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 ? m,1 + m) 内增函数。函数 f (x ) 在

2 1 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) = m 3 + m 2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x ) 在 x = 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m + m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解:当 m = 1时,f ( x ) = x + x , f ( x ) = x + 2 x, 故f (1) = 1 3

1 1 处的切线斜率为 1. 所以曲线 y = f ( x)在点( ,f( ))
(2)解: f ' ( x) = ? x 2 + 2 x + m 2 ? 1 ,令 f ' ( x) = 0 ,得到 x = 1 ? m, x = 1 + m 因为 m > 0, 所以1 + m > 1 ? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f (x)

(?∞,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 + m)
-

1+ m
0 极大值

(1 + m,+∞)
+

f (x) 在 (?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 ? m,1 + m) 内增函数。
函数 f (x) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) =

2 3 1 m + m2 ? 3 3

第7页

函数 f (x ) 在 x = 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? (3)解:由题设, f ( x ) = x ( ? 所以方程 ?

2 3 1 m + m2 ? 3 3

1 2 1 x + x + m 2 ? 1) = ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 2 4 x + x + m 2 ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 + x 2 = 3 ,且 ? = 1 + (m 2 ? 1) > 0 ,解 3 3 1 1 得 m < ? (舍),m > 2 2 3 因为 x1 < x 2 , 所以2 x 2 > x1 + x 2 = 3, 故x 2 > > 1 2 1 若 x1 ≤ 1 < x 2 , 则f (1) = ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ≥ 0 ,而 f ( x1 ) = 0 ,不合题意 3
若 1 < x1 < x2 , 则对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ≥ 0, x ? x 2 ≤ 0, 则 f ( x ) == ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ≥ 0 又 f ( x1 ) = 0 ,所以函数 f (x) 在 x ∈ [ x1 , x 2 ] 的最小值为 0,于是对 3 1 3 3 < 0 ,解得 ? <m< 3 3 3

2 任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x ) > f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) = m ?

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

第8页


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