江苏省扬州中学2014届高三开学检测 数学 Word版含答案

扬州中学 2013—2014 学年高三开学检测 数 学 试 卷
一．填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分） 1．在复平面内，复数

2013.8 象限．

1? i （其中 i 为虚数单位）对应的点位于第 2?i

▲

2．已知集合 M ? ?a, 0? ， N ? x 2 x ? 3 x ? 0, x ? Z ，如果 M ? N ? ? ，则 a ?
2

?

?

▲ ．

3．已知 ? ? (?

?
2

,0) ， cos? ?

3 ? ，则 tan(? ? ) ? 5 4

▲

．

4．设等比数列 {an } 的各项均为正数，其前 n 项和为 S n ．若 a1 ? 1 ， a3 ? 4 ， S k ? 63 ，则

k ? ___▲___．
5．设 m ， n 是两条不同的直线， ? ， ? 是两个不同的平面，则下列正确命题的序号
是

▲ ．

m ①.若 m // n ， ? ? ， 则 n ? ? ；
③.若 m // ? ， m // ? ，则 ? // ? ；

m ②.若 m // n ， // ? ， 则 n // ? ；
④.若 n ? ? ， n ? ? ，则 ? ? ? ．

6．根据如图所示的伪代码，最后输出的 S 的值为 ▲ ． 7．已知正方形 ABCD 的边长为 1，若点 E 是 AB 边上

的动点，则 DE ? DC 的最大值为

▲

.

8．已知 ? ＝ {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} ， A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ，若向区 域 ? 上随机投掷一点 P ，则点 P 落入区域 A 的概率为 9．函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

▲

．

?
2

)的

部分图像如图所示，则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位后，得到的图像解析式为____▲____．

? 个 6

1 ，则 x ? y ? ___▲___． 3 3 x 4 x 3 x 4 x 11．求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路：设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ，则 f ( x) 在 R 上单 5 5 5 5
10．已知 0 ? y ? x ? ? ，且 tan x tan y ? 2 ， sin x sin y ? 调递减，且 f(2) 1 所以原方程有唯一解 x?2 ．类比上述解题思路，方程 ? ，

x6 ? x 2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 的解集为

▲

．

12．已知实数 p ? 0 ，直线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线 x ? 2 py 和圆 x 2 ? ( y ? )2 ?
2

p 2

p2 从左 4

到右的交点依次为 A、B、C、D, 则

AB 的值为 CD

▲

．

?2 x ( x ? 0) 13．设函数 f ( x ) ? ? ，函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为 ?log 2 x( x ? 0)

▲

．

14．设实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 均不小于 1，且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 729 ，则 max{x1 x2 , x2 x3 ,

x3 x4 , x4 x5 }的最小值是

▲

．（ max{a, b, c, d } 是指 a 、 b 、 c 、 d 四个数中最大的一个）

二．解答题： （本大题共 6 小题，计 90 分） 15． （本小题满分 14 分） 在 ?ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 f ( A) ? 2cos

A A sin( ? ? ) 2 2

? sin 2

A A ? cos 2 ． 2 2

（Ⅰ）求函数 f ( A) 的最大值； （Ⅱ）若 f ( A) ? 0 ， C ?

5? ， a ? 6 ，求 b 的值． 12

16． （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，侧棱 PA 丄底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，E 为 PD 上 一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE． （I）若 F 为 PE 的中点，求证 BF∥平面 ACE； （II）求三棱锥 P﹣ACE 的体积．

17． （本小题满分 15 分） 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折 后价格每满 500 元再减 100 元．如某商品标价为 1500 元，则购买该商品的实际付款额为 1500× 0.8-200=1000（元） ．设购买某商品得到的实际折扣率＝
实际付款额 ．设某商品标价为 x 商品的标价

元，购买该商品得到的实际折扣率为 y． （Ⅰ）写出当 x∈ ?0,1000 时，y 关于 x 的函数解析式，并求出购买标价为 1000 元商品得到的 ? 实际折扣率； （Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣 率低于
2 ？ 3

18． （本小题满分 15 分） 如图，已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A、B ，点 P 在椭圆上，且异于点 4

A、B ，直线 AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M、N ，
（Ⅰ）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ，求证： k1 ? k 2 为定值； （Ⅱ）求线段 MN 的长的最小值； （Ⅲ）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

P

19． （本小题满分 16 分） 已知 a ， b 是实数，函数 f ( x) ? x ? ax ， g ( x) ? x ? bx ， f ( x) 和 g ( x) 分别是
3 2 / /

则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上 f ( x) ，g ( x) 的导函数，若 f / ( x) g / ( x) ? 0 在区间 I 上恒成立， 单调性一致． （Ⅰ）设 a ? 0 ，若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致，求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）设 a ? 0 且 a ? b ，若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a ， b 为端点的开区间上单调性一致，求

| a ? b | 的最大值．

20． （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的两个无穷数列 {an } 、 {bn } 满足 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) ．
*

（Ⅰ）当数列 {an } 是常数列（各项都相等的数列） ，且 b1 ?

1 时，求数列 {bn } 的通项公式； 2

（Ⅱ）设 {an } 、 {bn } 都是公差不为 0 的等差数列，求证：数列 {an } 有无穷多个，而数列 {bn } 惟一确定； （Ⅲ）设 an ?1 ?
2n 2an 2 ? an S (n ? N * ) ， Sn ? ? bi ，求证： 2 ? n ? 6 ． an ? 1 n2 i ?1

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

高三数学开学检测答题纸
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分） 1． 6． 11． 2． 7． 12． 3． 8． 13． 4． 9． 14． 成绩 5． 10．

二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分） 15．解：

姓名_____________ 学号 高三___________

16．解：

17．解：

18．解：

19．解：

（20 题做在反面）

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

数学附加题
1． （本小题满分 10 分） 求 ( x 2 ? )6 展开式中的常数项．

1 x

2． （本小题满分 10 分） 某舞蹈小组有 2 名男生和 3 名女生．现从中任选 2 人参加表演，记 X 为选取女生的 人数，求 X 的分布列及数学期望．

姓名_____________ 学号

高三___________

3． （本小题满分 10 分） 如图（1） ，等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4，点 D 在线段 AC 上，DE⊥AB 于 E，现将△ ADE 沿 DE 折起到△ PDE 的位置（如图（2）． ） （Ⅰ）求证：PB⊥DE； （Ⅱ）若 PE⊥BE，直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ，求 PE 长．

4． （本小题满分 10 分） 数列 {2 ? 1} 的前 n 项组成集合 An ? {1,3, 7, ???, 2 ? 1}(n ? N ) ，从集合 An 中任取 k
n
n *

（ k ? 1 ，2，3，…， n ）个数，其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk （若只取一个数，规定 乘积为此数本身） ，记 Sn ? T1 ? T2 ? ??? ? Tn ．例如：当 n ? 1 时，A1={1}，T1=1，S1=1；当 n=2 时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1× 3，S2=1+3+1× 3=7． （Ⅰ）求 S 3 ； （Ⅱ）猜想 S n ，并用数学归纳法证明．

高三数学开学检测参考答案
1．一 2．1 3． ?

2013.8 7．1 8．

9． y ? sin(2 x ? 10．

?
6

1 7

4．6

5．①

6 ． 145

2 9

)
12．

? 3

11．{﹣1，2}

1 16

13．2 = ．

14．9 ．

15． （Ⅰ） 因为 0＜A＜π，所以 则所以当 （Ⅱ）由题意知 又知 ， 所以 ， 则 ，即

时，f（A）取得最大值，且最大值为 ，所以 ． 因为 ， 所以

． ． ， 则 ．

由

得，

．

16．I） F 为 PE 的中点， （ 若 由于底面 ABCD 为矩形， 为 PD 上一点， E AD=2AB=2AP=2， PE=2DE， 故 E、F 都是线段 PD 的三等分点． 设 AC 与 BD 的交点为 O，则 OE 是△ BDF 的中位线，故有 BF∥OE，而 OE 在平面 ACE 内， BF 不在平面 ACE 内，故 BF∥平面 ACE． （II）由于侧棱 PA 丄底面 ABCD，且 ABCD 为矩形，故有 CD⊥PA，CD⊥AD，故 CD⊥平面 PAE． 三棱锥 P﹣ACE 的体积 VP﹣ACE=VC﹣PAE= S△ PAE?CD= ?（ ?S△ PAD）?AB= （ ? ?PA?PD） ?AB= ?PA?PD?AB= ?1?2?1= ．
0.8, ? ? ∴ y ? ? 0.8x ? 100 , ? x ? 0 ? x ? 625, 625 ? x ? 1000 .

17． （Ⅰ）∵500÷ 0.8＝625

当 x＝1000 时，y＝

0.8 ?1000? 100 ＝0.7 1000

即购买标价为 1000 元的商品得到的实际折扣率为 0.7． （Ⅱ）当 x∈［2500,3500］时，0.8x∈［2000,2800］ ①当 0.8x∈ ?2000,2500? 即 x∈ ?25003125 时， ? , ∴2500≤x<3000; …10 分
0.8x ? 400 2 ? x 3 0.8x ? 500 2 ? x 3

解得 x<3000

? , ? , ②当 0.8x∈ ?25002800 即 x∈ ?31253500 时，

解得 x<3750 ∴3125≤x≤3500; ……13 分 综上，2500≤x<3000 或 3125≤x≤3500 即顾客购买标价在 ? 2500,3000 ? ? ?3125,3500? 间的商品，可得到的实际折扣率低于 18．解（Ⅰ）? A(0,1) ， B (0,?1) ，令 P ( x0 , y0 ) ，则由题设可知 x0 ? 0 ，
2 ． 3

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 ， PB 的斜率 k 2 ? 0 ，又点 P 在椭圆上，所以 x0 x0

2 2 y ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 x0 1 2 （ ，从而有 k1k 2 ? 0 ? ? ?? 。 ? y0 ? 1 ， x0 ? 0 ） 2 x0 x0 x0 4 4

（Ⅱ）由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) ， 直线 BP 的方程为 y ? ( ?1) ? k 2 ( x ? 0) ，

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 ， 由? ?? y ? ?2 ? ? y ? ?2 ?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 ， 由? ?? y ? ?2 ? ? y ? ?2 ?

? 1 ? ? 3 ? ? 直线 AP 与直线 l 的交点 N ? ? ,?2 ? ，直线 BP 与直线 l 的交点 M ? ? ,?2 ? 。 ? k ? ? k ? ? 2 ? ? 1 ?
又 k1k 2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? ? 4 | k1 |? 2 ? 4 | k1 | ? 4 3 ， ，?| MN |? k1 k 2 k1 | k1 | | k1 | 4

等号当且仅当

3 3 ，故线段 MN 长的最小值是 4 3 。 ? 4 | k1 | 时取到，即 k1 ? ? 2 | k1 |

19．由已知，f '(x)=3x2+a，g'(x)=2x+b，a，b?R；

⑴由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)?0 在区间[－1,+?)上恒成立， 即，(3x2+a)(2x+b)?0 在区间[－1,+?)上恒成立， 因 a>0，所以，3x2+a>0，所以，2x+b?0 在区间[－1,+?)上恒成立， 即，b?－2x 在区间[－1,+?)上恒成立，而 y=－2x 在[－1,+?)上最大值 ymax=－2(－1)=2， 所以，b?2，即 b?[2,+?)； ⑵由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)?0 在以 a，b 为端点的开区间上恒成立， 即，(3x2+a)(2x+b)?0 在以 a，b 为端点的开区间上恒成立， 因 a<0，所以，由(3x2+a)(2x+b)=0，得 x1=－ a － ，x2= 3 a b － ，x3=－ ； 3 2

①若 b>0，则开区间为(a,b)，取 x=0，由 f '(0)g'(0)=ab<0 知，f(x)和 g(x)在区间(a,b)上单调性不 一致，不符合题设； ②若 b?0，因 x2，x3 均为非负，故不在以 a，b 为端点的开区间内；所以，只有 x1 在区间上； 由 f '(x)g'(x)?0 在以 a，b 为端点的区间上恒成立，知 x1=－ 要么不大于 a，b 中的小者； 因为 a， 都不大于 0， b 所以， (2x+b)?0， 所以， f '(x)g'(x)?0 知(3x2+a)?0， 由 所以－ 当 0>a>b?－ a － ?x?0； 3 a － 要么不小于 a，b 中的大者， 3

a － 时，由 f '(x)g'(x)?0 在区间(b,a)上恒成立，即(3x2+a)(2x+b)?0 在区间(b,a)上 3 a － |，而由 a>－ 3 a 1 － 解得 a>－ ； 3 3

恒成立，知|a－b|最大值为|a+ 此时，|a+ 当 0?b>a?－

a 1 － |=|－( －a)2+ －a|，配方后知，取不到最大值； 3 3 a － 时，显然，此时，当 b=0，a=－ 3 a 1 － ，即 b=0，a=－ 时，|a－b|取得最大 3 3

1 1 值|0－(－ )|= ； 3 3 1 综上，|a－b|的最大值为 ； 3 20．

附加题参考答案
1．展开式的通项公式为 Tr+1= ?x
12﹣2r

?x =

﹣r

?x

12﹣3r

，

令 12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为 2．依题意，X 所有取值 0，1，2． P（X=0）= X 的分布列为： X P EX= ． 0 1 ，P（X=1）=

=

=15．

= ，P（X=2）=

=

．

2

3.（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE， ∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面 PEB， 又∵PB?平面 PEB，∴BP⊥DE； （Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE， ∴分别以 DE、BE、PE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图） ， 设 PE=a，则 B（0，4﹣a，0） ，D（a，0，0） ，C（2，2﹣a，0） ， P（0，0，a） ，…（7 分） 可得 设面 PBC 的法向量 ， ， ，

∴

令 y=1，可得 x=1，z=

因此 ∵

是面 PBC 的一个法向量， ，PD 与平面 PBC 所成角为 30° ，

∴

，即

，

解之得：a= ，或 a=4（舍） ，因此可得 PE 的长为 ．

4.（Ⅰ）当 n=3 时，A3={1，3，7}， T1=1+3+7=11，T2=1× 3+1× 7+3× 7=31，T3=1× 7=21， 3× 所以 S3=11+31+21=63； （Ⅱ）由 S1=1=2 ﹣1= 猜想
1

﹣1，S2=7=2 ﹣1=

3

﹣1，S3=63=2 ﹣1=

6

﹣1，

﹣1，下面证明：

（1）易知 n=1 时成立； （2）假设 n=k 时 ﹣1，

则 n=k+1 时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1 =[T1′+（2
k+1

﹣1）]+[T2′+（2

k+1

﹣1）T1′]+[T3′+（2

k+1

﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2

k+1

﹣1）

]（其

中 Ti′，i=1，2，…，k，为 n=k 时可能的 k 个数的乘积的和为 Tk） ， =（ =Sk+（2 =2
k+1 k+1

）+（2 ﹣1）+（2
k+1

k+1

﹣1）+（2

k+1

﹣1） （

）

﹣1）Sk
k+1

（

﹣1）+（2

﹣1）

=

﹣1=

﹣1，即 n=k 时

﹣1 也成立，

综合（1） （2）知对 n∈N

*

﹣1 成立．

所以

﹣1．