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最新人教A版数学必修二同步练习1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(含答案解析)

棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.对有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体,以下说法正确的是( A.棱柱 C.棱台 棱柱、棱锥 2.下列说法正确的是 ( ) ) B.棱锥 D. 一 定 不 是 A.棱锥的侧面不一定是三角形 B.棱锥的各侧棱长一定相等 C.棱台的各侧棱的延长线交于一点 D.用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台 3.四棱柱的体对角线的条数为 A.6 B.7 ) ( ) C.4 D.3 4.下列叙述,其中正确的有 ( ①两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱台; ②如图所示,截正方体所得的几何体是棱台; ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. A.0 个 5.下列说法中正确的是 ( B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 A.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱中所有的棱长都相等 C.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.以下所示几何体中是棱柱的有________ (填序号). 7.下列四个平面图形都是正方体的展开图,还原成正方体后,数字排列规律完全一样的两个是 ________. 8.(2013·临沂高一检测)如图,在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点,这些几何体是________. ①矩形;②不是矩形的平行四边形 ;③每个面都是等边三角形的四面体 ;④每个面都是直角三 角形的四面体. 三、解答题(9 题,10 题 14 分,11 题 18 分) 9.试用两个平面将如图所示的三棱台分成三个三棱锥. 10.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,BB1=1,由 A 到 C1 在长方体表面上的最 短距离是多少? 11.(能力挑战题)如图,图①是正方体木块,把它截去一块,可能得到的几何体有②,③,④,⑤的木 块. (1)我们知道,正方体木块有 8 个顶点、12 条棱、6 个面,请你将图②,③,④,⑤的木块的顶点数、 面数填入下表: 图号 ① ② ③ ④ ⑤ (2)观察你填出的表格,归纳出上述各种木块的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间的关系. (3)看图⑥中正方体的切法,请验证你所得的数量关系是否正确. 顶点数 8 棱数 12 面数 6 答案解析 1.【解析】选 D.有两个面互相平行,故此多面体一定不是棱锥,其余各面都是梯形,所以也不是 棱柱,棱柱的侧面都是平行四边形. 2.【解析】选 C.棱锥的侧面是有公共顶点的三角形,但是各侧棱不一定相等,故 A,B 不正确; 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,故各个侧棱的延长线一定交于一点,C 正确;D 中只有用一平行于底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,才能一个是棱锥,一个是棱台,故 D 不正确. 3.【解析】选 C.共有 4 条体对角线,一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成 一条体对角线. 4.【解析】选 A.①不正确,因为不能保证各侧棱的延长线交于一点.②不正确,因为侧棱延长后 不能交于一点,还原后也并非棱锥.③不正确,如图,用一个过顶点的平面截四棱锥得到的是两 个三棱锥. 【拓展提升】棱台定义的应用 除了用它作判定之外,至少还有三项用途: ①为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画棱台; ②如果解棱台问题遇到困难,可以将它还原为棱锥去看,因为它是由棱锥截来的; ③可以利用两底是相似多边形进行有关推算. 5.【解析】选 D.棱柱的两底面平行,所以棱柱的面中,至少有两个面互相平行. 6.【解析】由棱柱的定义知,①,③,⑤正确. 答案:①③⑤ 7. 【解析】 (2)(3)中,①④为相对的面,②⑤为相对的面,③⑥为相对的面,故它们的排列规律完全 一样. 答案:(2)(3) 8.【解析】①正确,如四边形 A1D1CB 为矩形;②不正确,任选四个顶点若组成平面图形,则一定 为矩形;③正确,如四面体 A1-C1BD;④正确,如四面体 B1-ABD. 答案:①③④ 9.【解题指南】在原棱台中适当添加辅助线是正确分割此几何体的关键. 【解析】过 A′,B,C 三点作一个平面,再过 A′,B,C′作一个平面,就把三棱台 ABC-A′B′ C′分成三部分,形成的三个三棱锥分别是 A′-ABC,B-A′B′C′, A′-BCC′(答案不惟一). 【变式备选】用两个平面将三棱柱分为三个三棱锥. 【解析】 10.【解析】长方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面可如下图中的三种方法展开,表面展开后 A 与 C1 两点间的距离分别为 =3 =2 , ,三者比较得 3 = , 为由 A 到 C1 在长方体表面上的最短距离. 11.【解题指南】可从顶点数 V+面数 F 的和与棱数 E 的关系考虑. 【解析】(1)通过观察各几何体,得到表格: 图号 ① 顶点数 8 棱数 12 面数 6 ② ③ ④ ⑤ 6 8 8 10 9 12 13 15 5 6 7 7 (2)由特殊到一般,归纳猜想得到:顶点数 V+面数 F-棱数 E=2. (3) 该木块的顶点数为 10, 面数为 7, 棱数为 15, 有 10+7-15=2, 与 (2) 中归纳的数量关系式 “V+F-E=2”相符.

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