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2013-2014国际体系高一、高二数学寒假作业安排


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2013-2014 国际体系高一、高二数学寒假作业安排
高一高二学生必须完成以下选项中的一项: 1、参加命题大赛 命制一至两个数学思维题并附详细解答,要求原创。 命题要求:见深中官网《深圳中学关于开展第二届数学思维命题大赛的通 知》,命题大纲及范例见《通知》后面的附件。 提交方式:1月28日前,进入龙创系统,点击相关链接,按要求登陆并上传。 2、邀请并指导学弟学妹参加命题大赛 为把研究性学习的精神与方法传递给学弟学妹,你可利用寒假社会实践的机 会, 指导一至二名母校 (或其他学校) 的学弟学妹, 让他们分享我们的比赛活动。 命题要求:见深中官网《深圳中学关于邀请校外中小学生参加我校第二届数 学思维命题大赛的公告》。 提交方式:2月7日前,进入深中官网首页,点击相关链接,按要求注册并上 传。 认定方式:你指导的学弟学妹参加命题大赛时,需将你的姓名填上,如果他 获奖,你将获“小指导员”奖。 3. 参加国际体系的数学论文(根据指定数学问题)比赛(资料见第2页)。 提交方式:按第2页书面模板打印提交。 4.参加学校的数学论文(根据指定数学问题)比赛(资料见 3、4 页),根据 数学组提出的设想进行研究,写出一篇论文。 提交方式: 开学前进入龙创教学管理系统,点击相关链接,按要求登陆并上传;或发电 子版至邮箱shenzhonggaosan@126.com。 以上项目可以同时多选。 对完成项目的同学, 数学组将组织评选, 对获奖同学给予学期成绩加分奖励, 并作为“积点”计入成长评价系统。对于特别优秀的论文将推荐发表,或指导获 奖同学参加“参加丘成桐中学数学奖” 。

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(此页开学交回各班数学老师)
一、书面提交(请将相关内容填入下表,此页开学后交回各班数学老师) 提交人参与活动信息 姓名 联系电话 米 山 学校 深圳中学 邮箱 年级 高一 班级 21

15768875707

muskansz@outlook.com

邀请并指导学弟、学妹参与我校命题大赛活动的基本情况 序 号 1 2 国际体系数学小问题研究(以下两个问题,可以单选或全选进行研究) 1. 如果 P、 Q 分别是空间两条异面直线 l1 , l2 上的两动点, 试猜想当 PQ 线段与 l1 , l2 满足何种位置关系时,PQ 长度最短,证明你的结论。 2. 试用坐标法证明任意三角形的外心 (外接圆的圆心) 、 重心 (三条中线的交点) 、 垂心(三条高的交点)在一条直线上。 研究小论文(需加页另附) 姓名 所在学校 年级 性别 联系电话 被邀请人 签字

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附件:学校命题论文比赛资料
命题论文之一: 《定比分直线公式的研究》 (曾劲松提供) 请你阅读下列内容,对问题进行研究,给出证明,形成小论文。 为了便于描述,我们不妨下一个定义: 己知直线 l1 : f ( x, y ) ? 0, l 2 : g ( x, y) ? 0 ,点 P(a, b) 是不在这两条直线上的点,过点 P 的直线 l 交 l1 于点 M, 交 l 2 于点 N, 若点 P 分有向线段 MN 的比为 ? ( ? ? 0, ? ? ?1 ,? 为 常数) ,即 MP ? ? PN ,则称 l 为( l1 , l 2 , P, ? )的定比分直线. y M P N O l l1 l2 x O P l1 l2 l x

y

图2 图1 显然,当 l1 与 l 2 相交时, ( l1 , l 2 , P, ? )的定比分直线 l 是唯一确定的(图 1) ;

能否用 g ( x, y) , f ( x, y ) , g (a, b) , f (a, b) , ? 等元素,写出( l1 , l 2 , P, ? )的定比分直 线 l 的方程? 命题论文之二: 《拐角长廊中的数学问题》 (黄军华提供) 请你阅读下列内容,可以选择一个问题进行研究,给出证明,形成小论文。 拐角长廊常见于一些大型建筑群中,如某些学校将教学楼、实验大楼、图书馆、办公室 等建成四合院的形式,其走廊近似于一个“回”字,这就形成了拐角走廊.而在建设工地, 我们常看到这样的场景:建筑工人杠着木杆,拉着板车,小心翼翼地通过那些拐角长廊,我 们不禁会想到如下的问题:满足什么条件的木杆,板车与玻璃能够通过拐角,通过的最佳方 式又是什么?下面我们来探究这些问题. 一、预备知识 1.已知函数 f ( x) 在期间 [a, b] 满足: x ? [a, c) 时, f ?( x) ? 0, x ? (c, b] 时 f ?( x) ? 0 , 且 f ?(c) ? 0 ,则 f min ( x) ? f (c)

当 l1 // l 2 时, ( l1 , l 2 , P, ? )的定比分直线过点 P 且与 l1 , l 2 相交的所有直线(图 2) . 问题: 己知两相交直线 l1 : f ( x, y ) ? 0 , l 2 : g ( x, y ) ? 0 ,点 P(a, b) ,定比 ? 满足定义,你

1 cos x ? f ?( x) ? ? 2 sin x sin x 1 sin x 3. f ( x) ? ? f ?( x) ? cos x cos 2 x
2. f ( x) ? 一、木杆通过拐角 问题 1.宽为 a 的走廊与另一宽为 b 走廊垂直相连,如果长为 l 的木杆能水平地通过拐 角,则 l 的最大值为 b ? a b ? a ? a b
2 3 2 4 2 3 4 2

问题 2:宽为 a 的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为 l 的木杆能水平地通过拐角,则 另一走廊的宽度至少是 l ? a l ?
2 3 2 4 3

l 2 a 4 ? a 2 (l ? a ) .
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二、平板车通过拐角 在医院或一些物流公司,我们经常看到如图所 示的矩形平板车,那么满足什么条件的平板车能够 通过拐角呢? 设矩形平板车的长为 m,宽为 n (m≥n), 对于互相垂直的拐角长廊,设其宽分别为 a 与 b, 我们不妨设 a≥b,当 b≥m 时,平板车显然可以通 过拐角,易知,当平板车的宽 n>b 时,平板车 显然不能通过长廊,当然也不能通过拐角,故我 们只考虑在 b≥n 的情况. 问题 1. 等宽且垂直相连的走廊其宽为 a, 一辆矩形平板车的长为 m,宽为 n(m≥n),平板车能水平地通过拐角,则 m,n 满足:m+2n≤ 2 2 a. 问题 2:宽为 a 的走廊与另一宽为 b 走廊垂直相连,一辆矩形平板车的长 m= a ? b ,
2 2

宽为 n(m≥n),平板车能水平地通过拐角,则 n ?

ab a ? b2
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命题论文之三: 《中国人口问题研究》 (张文涛提供) 2013 年 11 月 15 日,十八届三中全会通过的《中共中央关于全面深化改革若干重大问 题的决定》对外发布,其中提到“坚持计划生育的基本国策,启动实施一方是独生子女的夫 妇可生育两个孩子的政策” ,这标志着“单独二胎”政策将正式实施。 美国《耶鲁全球化》在线杂志 2014 年 1 月 7 日发表题为《取消独生子女政策可能太晚 了》的文章,作者为联合国人口司前司长约瑟夫· 夏米。文章指出,为了缓解未来几乎确定 无疑的迅速老龄化、劳动力减少和性别失衡等问题,中国政府已经调整其独生子女政策。这 一决定表明,不管一个国家的政治经济制度为何,政府都不能避免人口变化的可怕后果。这 种在人口政策上的中途调整将产生微弱的影响, 因为中国正在以比其他国家都快得多的速度 走向老龄化。这一点,再加上减少的劳动力人口和危险的性别失衡,将给政府带来越来越大 的负担。 问题 1:请你根据中国几次人口普查的数据计算(或拟合)中国在实行计划生育以来的 出生率、死亡率及现在的中国人口结构(包括群体中的年龄结构、男女比例等) ,并由此说 明国家为何放开“单独二胎”政策。 问题 2:随着国家将近 40 年计划生育的实施,生育率大幅下降,而人们的寿命不断提 高,国家已进入未富先老的状态,人口红利已消失殆尽,请根据你所查阅的数据计算分析现 在及预测未来(按照现阶段的生育政策)10 年、20 年、30 年中国的供养比例(即供养每个 退休人员的工作年龄人口) 。 问题 3:根据以上计算结果与全球其它发达国家比较,中国现阶段的计划生育政策能否 让中国走出未富先老和人口快速老龄化的窘境, 中国是否有必要全面放开二胎?如果全面放 开二胎中国在未来 10 年、20 年、30 年直到本世纪中叶中国人口将会是怎样的增长情况,人 口结构将如何变化?请你试着建立数学模型分析说明。 如果你是一名全国人大代表, 请你根据以上计算和分析, 写一个关于中国人口问题的议 案提交给全国人大,为国家调整计划生育政策提供决策。 注:在问题研究和写作过程中可以查阅任何网络资源,所需数据可在网上进行查询,问 题没有准确答案,只要过程和结果合理即可。 欢迎各位老师、同学提供问题。
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