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【名校精品解析系列】2015届高三12月份名校试题解析分类汇编第四期+J单元 计数原理


J 单元

计数原理

目录

J 单元 J1 J2 J3

计数原理 ................................................................................................................................................................... 1

基本计数原理 ................................................................................................................................................................... 1 排列、组合 ....................................................................................................................................................................... 1 二项式定理 ....................................................................................................................................................................... 1

J4 单元综合 ............................................................................................................................................................................. 4

J1 基本计数原理

J2 排列、组合

J3 二项式定理
【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】4.已知 (1 ? 各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数

1 n x) 展开式的 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
(1) 若 a1 ( x), a2 ( x),...,a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值;
n?1 (2) 求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 (n ? 2) ? 1.

【知识点】二项式定理;等差数列的性质。D2 J3 【答案】 【解析】 (1)8; (2)见解析
k ?1 k ?1 解析: (1)由题意知 a k ( x) ? C n ( x) , k ? 1,2,3...,n ? 1. 1 0 ? ∵ a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 C n ? 1, C n

1 2

1 n 2 1 2 n(n ? 1) ? , Cn ? ( ) ? , 2 2 2 8
1页

∴ 2?

n n(n ? 1) ? 1? , 解得 n ? 8. 2 8

( 2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x)
0 1 2 2 n ?1 n ?1 n n = C n ? 2C n ( x) ? 3C n ( x) ? .... ? nC n ( x) ? (n ? 1)C n ( x) .

1 2

1 2

1 2

1 2

0 1 2 n?1 n 令 x ? 2, F ( 2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn .

令 x ? 0, F (0) ? 1
0 1 2 n?1 n 设 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn . n n?1 2 1 0 k n ?k 则 S n ? (n ? 1)Cn ? nCn ? ....? 3Cn ? 2Cn ? Cn . 考 虑 到 Cn ? Cn , 将 以 上 两 式 相 加 得 0 1 2 n?1 n 2S n ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ....? Cn ? Cn ). ∴ S n ? (n ? 2)2n?1.

又当 x ? [0,2] 时, F ' ( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0,2] 上的单调增函数, ∴ ?x1 , x2 ? [0,2], | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2 n?1 (n ? 2) ? 1. 【思路点拨】 (1) 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项, 求出前三项的系数, 据 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,列出方程求出 n 的值; (2)先利用到序相加法求出 F(2)﹣F(0)的值,利用导 数判断出 F(x)的单调性,得证.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】21、 (本小题满分 14 分)已知二次 函数 f ? x ? ? x ? ax ? m ?1 , 关于 x 的不等式 f ? x ? ? (2m ?1) x ?1 ? m 的解集为 (m, m ? 1) , 其中 m 为非零常数,
2 2

设 g ? x? ?

f ( x) 。 x ?1

(1)求 a 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln( x ?1) 存在极值点,并求出极值点。 (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? 2 ? 2(n ? N ) 。
n n n ?

【知识点】一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式 E3 E6 B12 J3 【答案】 【解析】 (1)-2; (2)当 m>0 时,k 取任意实数,函数 φ (x)有极小值点 x2;当 m<0 时,函数 φ (x)有极小值点 x2,有极大值点 x1. (其中 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m , x2 ? ) ; (3)略 2 2
2 2 2

解析: (1)∵关于 x 的不等式 f(x)<(2m-1)x+1-m 的解集为(m,m+1) ,即不等式 x +(a+1-2m)x+m +m 2 2 2 2 2 <0 的解集为(m,m+1) ,∴x +(a+1-2m)x+m +m=(x-m) (x-m-1) .∴x +(a+1-2m)x+m +m=x -(2m+1)
2页

x+m(m+1) .∴a+1-2m=-(2m+1) .∴a=-2.

f ? x ? x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ?1 ? (2)由(1)得 g ? x ? ? . x ?1 x ?1 x ?1
∴φ (x)=g(x)-kln(x-1)= x ? 1 ?

m -kln(x-1)的定义域为(1,+∞) .∴ x ?1

? '? x? ? 1?
2

m

? x ? 1?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? . 2 x ?1 ? x ? 1?
2 2

方程 x -(2+k)x+k-m+1=0(*)的判别式△=(2+k) -4(k-m+1)=k +4m, ① 当 m>0 时,△>0,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2

则 x∈(1,x2)时, ? ' ? x ? ? 0 ;x∈(x2,+∞)时, ? ' ? x ? ? 0 .∴函数 φ (x)在(1,x2)上单调 递减,在(x2,+∞)上单调递增.∴函数 φ (x)有极小值点 x2, ② 当 m<0 时,由△>0,得 或 ,若 ,则

x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1 ,故 x∈(1,+∞)时, ? ' ? x ? ? 0 ,∴函数 φ 2 2
时,

(x)在(1,+∞)上单调递增.∴函数 φ (x)没有极值点.若

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m x1 ? ? 1, x2 ? ? 1 ,则 x∈(1,x1)时, ? ' ? x ? ? 0 ; 2 2
x∈(x1,x2)时, ? ' ? x ? ? 0 ;x∈(x2,+∞)时, ? ' ? x ? ? 0 .∴函数 φ (x)在(1,x1)上单调递增, 在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.∴函数 φ (x)有极小值点 x2,有极大值点 x1. 综上所述,当 m>0 时,k 取任意实数,函数 φ (x)有极小值点 x2;当 m<0 时,函数 φ (x)有极小值点 x2,有极大值点 x1. (其中 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ) , x2 ? 2 2
1 . x ?1

(3)证明:∵m=1,∴g(x)= x ? 1 ?
n

1? ? 1? ? ∴ [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? ? x ? ? ? ? x n ? n ? x? ? x ? ?
n n
1 n ?1 = x n ? Cn x ?

1 1 2 n?2 ? Cn x ? 2? x x

n ? Cn

1 ? n 1 ? 1 n?2 2 n ?4 ? ? x ? n ? = Cn x ? Cn x ? n x ? x ?

n?1 2?n ? Cn x ,令

1 n?2 2 n ?4 T= Cn x ? Cn x ?

n?1 2?n ? Cn x ,则 1 n ?2 1 2?n 2 4 ?n ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? n?1 n?2 ? Cn x ,∵x>0,

n?1 2?n n ? 2 4?n T= Cn x ? Cn x ?

3页


1 n?2 2? n 2 ? Cn x n ?4 ? x 4? n ? 2T= Cn x ? x

?

?

?

?

n ?1 ? Cn ? x 2? n ? x n?2 ? ≥

1 2 = 2 Cn ? Cn ?
n

?

n ?1 ? Cn ? ? 2 ? Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ?
n n n

n ?1 n 0 n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn . ? =2(2n-2)

∴T≥2 -2,即[g(x+1)] -g(x +1)≥2 -2. 【思路点拨】本题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、导数的应用、均值不等式等,其 中利用导数求函数的极值点应注意在其定义域内解答,对于第三问也可以用数学归纳法证明.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】3. 若 ( x ? 系数为 280,则 a = ( A. ?2 B. 2 ) C. ?

1 7 ) 的展开式中 x 项的 ax

1 2

D.

1 2

【知识点】二项式定理 J3 【答案】 【解析】C 解析: 因为 Tr ?1 ? C x
r 7 7 ?r

1 1 ? 7 ?2 r 1? ? 1 ? r ? 3? 由 7-2r=1, 得 r=3,所以 C7 解得 a= ? , ? ? ? ? C7 ? ? ? x , ? ? ? ? 280 , 2 ? ax ? ? a? ? a?

r

r

3

则选 C. 【思路点拨】一般遇到展开式的项或项的系数问题,通常利用展开式的通项公式解答.

J4 单元综合

4页


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