当前位置:首页 >> >>

高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准

08-09-3 高 数 A 期 末 试 卷 ( A) 参 考 答 案 及 评 分 标 准 09.6.8
一.填空题(本题共 9 小题,每小题 4 分,满分 36 分) 1. 曲面 cos(? x) ? x2 y ? e xz ? yz ? 4 在点 (0,1, 2) 处的法线方程是

x y ?1 ? ? z?2; 2 2

2. 设 u ?

x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ,则梯度 gradu
?

(1,2,0)

?1 4 ? ? ? , , 0? ; ?3 3 ?
an ( x ? 1)n 的收敛区间是 (?3,1) ; n ? 1 n ?0
C

3. 设幂级数

? an xn 的收敛半径是 2 ,则幂级数 ?
n ?0

?

4. 设闭曲线 C : x ? y ? 1,取逆时针方向,则曲线积分 5. 设函数 F ( x, y) 具有一阶连续偏导数, 则曲线积分

? ydx ? x dy 的值是 ?2 ;
2

? F ( x, y)( ydx ? xdy) 与路径无关的
AB

充分必要条件是 xFx ? yFy ; 6. 将函数 f ( x) ? ?

??1 , 0 ? x ? 1 在 [0, ? ] 上展开为余弦级数,其和函数 S ( x) 在点 ?2 x , 1 ? x ? ?
1 ; 2

x ? 2? ? 1 处的函数值 S (2? ? 1) ?

7. 设 C 为圆周 z ? 2 ,取逆时针方向,则积分

?

1 2 dz 的值是 (1 ? 2i)? ; C ( z ? 1 ? i)( z ? 3) 5

8. 留数 Res ? z sin

? ?

2

1 ? 1 , 0? ? ? ; z ? 6

9.取 an ?

? ? 1 (注:答案不唯一) ,可使得级数 收敛,且级数 a an ln n 发散. ? ? n n ln 2 n n?2 n?2

二. 计算下列各题(本题共 4 小题,满分 30 分) 10. (本小题满分 7 分)设 z ? f ( x? ( y), x ? y) ,其中 f 具有连续的二阶偏导数, ? 具有

连续导数,计算

?z ? 2 z . , ?x ?x?y
1/4



?z ?2 z ? ? f1 ? f 2 , ? ? ? f1 ? x?? ? f11 ? ( x? ? ? ? ) f12 ? f 22 ?x ?x?y

11. (本小题满分 7 分)判别级数

?e
n ?1

?

n

n 的敛散性,并说明理由. ?1

1 1? n ? n ? 1 en ? 1 1 n e ? 1 ? 1 ,由比值法得知级数 解 lim 收敛。 ? n ?1 ? lim ? ? n n ?? n e ? 1 n?? e 1 ? 1 e n ?1 e ? 1 en?1
12. (本小题满分 8 分)判别级数 还是条件收敛?并说明理由. 解 显然 lim 时, ?
n ??

? (?1)
n ?1

?

n

1 是否收敛,若收敛,判别是绝对收敛, n ? 2 ln n

1 2 ?0, 记 f ( x) ? x ? 2ln x , 令 f ?( x) ? 1 ? ? 0 , 得x ? 2, 当n ? 3 n ? 2 ln n x

? 1 1 ? ? Leibniz 单调递减,由 判别法得知级数 收敛, (?1) n ? ? n ? 2 ln n ? n ? 2 ln n ? n ?1


?

? ? 1 1 1 1 ? ,而级数 ? 发散,由比较判别法得知级数 ? 发散,故 n ? 2 ln n n n ?1 n n ?1 n ? 2 ln n

? (?1)
n ?1

n

1 条件收敛。13. (本小题满分 8 分) 将函数 f ( x) ? 1 ? x ( x ? 1) 展 n ? 2 ln n

开为以 2 为周期的 Fourier 级数. 解 bn ? 0, n ? 1, 2,
1

, a0 ? 2
2

?

1 0

) (1 ? x)dx ? 1 ,

an ? 2? (1 ? x) cos n? xdx ?
0

2 n ?2

(1 ? (?1) n ) , n ? 1, 2,

,于是由 Dirichlet 收敛定理得:

1 4 ? 1 ? 2? cos(2n ? 1)? x ? 1 ? x , x ? 1 2 ? n?1 (2n ? 1)2
三(14) . (本题满分 7 分)求幂级数

? nx
n ?1

?

2n

的收敛域与和函数.

解 收敛域为 (?1,1) ,令 t ? y ,则
2

2/4

? t x2 ? ? n ?? 2n n nx ? nt ? t t ? ? ? ? ? ? ? (1 ? t )2 (1 ? x 2 )2 n ?1 n ?1 ? n?1 ? ?

四(15) 。 (本题满分 7 分)将函数 f ( z ) ? 级数. 解 f ( z) ?

1 在圆环域 1 ? z ? i ? 3 内展开为 Laurent z ?4
2

i? 1 1 ? i 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? 4 ? z ? 2i z ? 2i ? 4( z ? i) 1 ? i 12 1 ? i( z ? i) z ?i 3

? ? 1? ? (?1) n i n ? ? ? (?1) n i n ?1 ( z ? i) ? n ?1 ? ? n ?1 ( z ? i) n ? ? 4? 3 n ?0 ? n ?0 ?

五(16). (本题满分 7 分)计算 I ?

?

C

e x cos ydx ? ? 5 xy ? e x sin y ? dy ,其中 C 为曲线

x ? 2 y ? y 2 ,方向沿 y 增大的方向.
解 记 O (0, 0), A(0, 2), D ? ( x, y ) 0 ? x ?

?

2 y ? y 2 ,由 Green 公式得

?

5 I ? 5?? yd? ? ? sin ydy ? ? ?1 ? cos 2 AO 2 D
六 (17) (本题满分 7 分) 计算 I ? 其中 S 为 z ? 2 ? 解 补一个面 ? : ?

?? ? y
S

2

? xz ? dy ? dz ? ? z 2 ? y ? dz ? dx ? ( x 2 ? z )dx ? dy ,

x 2 ? y 2 被 z ? 0 所截部分,取上侧.
,取下侧,由 S 和 ? 所围成的区域记为 ? ,由 Gauss 公式得

? x2 ? y 2 ? 4 ?z ? 0

2 4 16 I ? ??? zdv ? ?? x2dx ? dy ? ? ? (2 ? z)2 zdz ? 4? ? ? ? 4? ? ? 0 3 3 ? ?

七(18) (本题满分 6 分)设 an ? 0, bn ? 0(n ? 1, 2,
? bn an ? an ?1 ? ? (n ? 1, 2, ) ,则 ? bn 收敛. bn ?1 n ?1

) ,若存在常数 ? ? 0 ,使得



由于 bn an ? an?1bn?1 ? ?bn?1 ? 0(n ? 1, 2,

) ,故正数列 ?anbn ? 单调递减且有下界,数

3/4

列 ?anbn ? 收敛,从而得正项级数
?

? ?b a
n ?1

?

n n

? an ?1bn ?1 ? 的部分和收敛,即
?

? ?b a
n ?1

n n

? an ?1bn ?1 ? 收敛,再由比较判别法得 ? bn 收敛.
n ?1

或证 由 bn an ? an?1bn?1 ? ?bn?1 ? 0(n ? 1, 2,
?

得正项级数 ? ? bn an ? an ?1bn ?1 ? 的部分和 ),
n ?1 ?

?

即得 ? ? bn an ? an ?1bn ?1 ? 收敛, 再由比较判别法得 ? bn Sn ? a1b1 ? an?1bn?1 ? a1b1 有上界,
n ?1 n ?1

收敛.

4/4