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7-4走向高考数学章节


第七章

不等式、推理与证明

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第七章

不等式、推理与证明

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不等式、推理与证明

考纲解读 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
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2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域
表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划 问题,并能加以解决.

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不等式、推理与证明

考向预测
1.以考查线性目标函数的最值为重点,并同时考查 代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等). 2.主要以选择题和填空题的形式考查线性规划,以 中、低档题为主,出现在解答题中常与实际问题相联系.

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不等式、推理与证明

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不等式、推理与证明

知识梳理 1.二元一次不等式(组)表示平面区域

作二元一次不等式ax+by+c>0(或ax+by+c<0)表
示的平面区域的方法步骤: (1)在平面直角坐标系中作出直线ax+by+c=0. (2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当c≠0 时,常把 原点 作为此特殊点. 所表示的平面区域,不包含点P的半

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(3)若ax0 +by0 +c>0,则包含点P的半平面为不等式
ax+by+c>0 平面为不等式 所表示的平面区域.
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)

ax+by+c<0
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不等式、推理与证明

2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)

组.
(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的 最大值或最小值问题. (4)可行解:满足

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线性约束条件
可行解

的解(x,y).

(5)可行域:所有
(6)最优解:使 可行解.
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组成的集合.
取得最大值或最小值的

)

目标函数

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不等式、推理与证明

3.在约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by +c的最小值或最大值的求解程序为:
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(1)作出可行域;
(2)作出直线l0:ax+by=0; (3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数 的最小值或最大值.

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不等式、推理与证明

4.线性规划实质上是“ 数列结合 ”数学思想方法 在一个方面的体现,将最值问题借助图形直观、简便地寻

找出来,是一种较快地求最值的方法.
5.在求解应用问题时要特别注意题意中的 变量的取值范围 ,不可将范围盲目扩大. 6.二元一次不等式表示平面区域的快速判断法
区域 不等式 Ax+By+ C>0 B>0 直线Ax+By+C=0上方 直线Ax+By+C=0下方
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区域 B<0 直线Ax+By+C=0下方 直线Ax+By+C=0上方
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)

Ax+By+ C<0

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不等式、推理与证明

主要看不等号与B的符号是否同向,若同向则在直线 上方,若异向则在直线下方,简记为“同上异下”,这叫 B值判断法. 一般地说,直线不过原点时用原点判断法或B值判断

法,直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断.
注意:画不等式Ax+By+C≥0(或Ax+By+C≤0)所表 示的平面区域时,区域包括边界直线Ax+By+C=0上的 点,因此应将其画为实线.把等号去掉,则直线为虚线.

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不等式、推理与证明

基础自测 1.(2010· 全国卷Ⅰ理)若变量 x ,y 满足约束条件 ?y≤1, ? ?x+y≥0, ?x-y-2≤0. ? A.4 C.2
[答案] B
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则 z=x-2y 的最大值为(

)

(

B.3 D.1

)

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不等式、推理与证明

[解析]

画出可行域(如图),由图可知,当直线l经过
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点A(1,-1)时,z最大,且最大值为zmax=1-2×(-1)=3.

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不等式、推理与证明

?x≥1, ? 2.(2010· 福建文)若 x,y∈R,且?x-2y+3≥0, ?y≥x, ? z=x+2y 的最小值等于( A.2 C.5 ) B.3 D.9



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[答案] B
[解析] 最值.
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)

B

本题主要考查线性规划,求目标函数的

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不等式、推理与证明

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不等式组表示的可行域如图所示: 画出l0:x+2y=0

平行移动l0到l的位置,
当l通过M时,z能取到最小值. 此时M(1,1),即zmin=3.
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不等式、推理与证明

3. 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 P、Q 两点,且点 P、Q 关于直线 x+y=0 对称,则不等式 ?kx-y+1≥0 ? 组?kx-my≤0 ?y≥0 ?
1 A. 4

表示的平面区域的面积是(

)

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1 B. 2

C.1

D.2

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不等式、推理与证明

[答案] A [解析] 由点P、Q关于直线x+y=0对称说明直线y=
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kx+1与x+y=0垂直.∴k=1,
k m k 又圆心坐标为(- ,- )必在直线 x+y=0 上,- - 2 2 2 m =0, 2 ∴m=-1,则不等式组为 ?x-y+1≥0 ? ?x+y≤0 ?y≥0 ?

( )



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不等式、推理与证明

1 1 如图,A 坐标为(-1,0),B 点坐标为(- , ), 2 2 1 1 1 1 ∴S△AOB=2|OA|· B|=2×1×2=4,故选 A. |y

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?x+y≥1 ? 4.(2009· 陕西)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ?2x-y≤2 ?

,目

标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范 围是( ) C.(-4,0] D.(-2,4)

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A.(-1,2) B.(-4,2)

)

[答案] B

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[解析]

本小题主要考查线性规划问题.

作可行域如图,
?x-y=-1 ? 解? ?2x-y=2 ? ?x=3 ? 得? ?y=4 ?



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∴A(3,4), a 由题意得-1<- <2, 2 ∴-4<a<2,故选 B.

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不等式、推理与证明

5.(2010·陕西理)铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每 万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c,如 下表: a b(万吨) c( 百万元)

A B

50% 70%

1 0.5

3 6

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某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放 量 不 超 过 2( 万 吨 ) , 则 购 买 铁 矿 石 的 最 少 费 用 为

)

________(百万元).

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不等式、推理与证明

[答案] 15万元
[解析] 设购买 A,B 两种矿石各 x 万吨和 y 万吨,

?0.5x+0.7y≥1.9 ? 最少费用为 z 万元,由题意知?x+0.5y≤2 ?x≥0,y≥0 ? 目标函数为 z=3x+6y,作出可行域求解可得 zmin=15 万元.

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不等式、推理与证明

?x≥1 ? 6.已知?x-y+1≤0 ?2x-y-2≤0 ?
[答案] 5

,则 x2+y2 的最小值为________.

[解析] 画出可行域如下图所示,

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不等式、推理与证明

可见可行域中的点A(1,2)到原点距离最小为d=,∴x2 +y2≥5. [点评] 方. 考查线性规划的基本知识和转化的思想,关

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键是形式联想,由x2+y2想到点P(x,y)到原点的距离的平

( )

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不等式、推理与证明

7.画出下列不等式或不等式组表示的平面区域: (1)3x+2y+6>0; ?x<3 ? ?2y≥x (2)? ?3x+2y≥6 ?3y<x+9 ?
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.

(

[分析]

(1)用特殊点,如原点确定不等式表示的平面

区域;
(2)分别画出每个不等式所表示的平面区域,然后取 其公共部分.
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不等式、推理与证明

[解析]

(1)先画直线3x+2y+6=0(画成虚线),取原
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点(0,0)代入,

∵3×0+2×0+6>0,
∴(0,0)在3x+2y+6>0表示的平面区域内,如图所 示.

( )

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不等式、推理与证明

(2)不等式x<3表示x=3左侧点的集合,不等式2y≥x表 示x-2y=0上及其左上方点的集合.不等式3x+2y≥6表示

直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合.
不等式3y<x+9表示直线3y-x-9=0右下方点的集 合.综上可得:不等式组表示的平面区域如图所示.

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不等式、推理与证明

[例 1]

?x-y≥0 ? ?2x+y≤2 若不等式组? ?y≥0 ?x+y≤a ?

,表示的平面区域

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是一个三角形,则 a 的取值范围是( 4 A.a≥3 4 C.1≤a≤ 3

)

(

B.0<a≤1 4 D.0<a≤1 或 a≥ 3

)

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不等式、推理与证明

[解析]

由图形知,要使平面区域为三角形,只需直

线l:x+y=a在l1、l2之间或在l3上方.

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[答案] D

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不等式、推理与证明

?x+y≥2, ? 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≤2, ?0≤y≤3, ? 平面区域的面积为____________.

则其所表示的

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[分析]

画出可行域,根据图形判断其可行域是什么

(

图形,再根据相应的公式求解.

[答案] 9

)

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[解析]

画出可行域如图,三角形 ABC 的面积为 S△
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1 ABC= ×6×3=9. 2

(

[点评]

在画可行域时,确定不等式表示的区域是在

)

直线的上方还是下方,一个最直接的方法就是在直线的一 边任取一点代入检验即可.
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不等式、推理与证明

[ 例 2] ?x≥0 ? ?x-y≥0 ?2x-y-2≤0 ? A.0 C.4

(2010· 庆 文 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 重

,则 z=3x-2y 的最大值为(

)

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B.2 D.6

)

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不等式、推理与证明

[答案] C [解析] 本题考查了线性规划的基本知识,同时考查

了学生数形结合的能力.
如图可行域为阴影区域,作出直线l0:3x-2y=0,当 直线经过A(0,-2)点Z取得最大值Zmax=0-2(-2)=4.

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故选C.
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不等式、推理与证明

[点评]

1.求目标函数的最值,必须先准确地作出线

性可行域再作出目标函数对应的直线,据题意确定取得最 优解的点,进而求出目标函数的最值.

2.线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b
的正负有关,当b>0时,最优解是将直线ax+by=0在可行 域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到 的.当b<0时则是向下方平移. 提醒:在移动直线ax+by=0时,要注意斜率和边界

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直线斜率的关系.

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不等式、推理与证明

(2010· 浙江理)若实数 x,y 满足不等式 ?x+3y-3≥0, ? ?2x-y-3≤0, ?x-my+1≥0, ?

且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=

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( A.-2 C.1 [答案] B.-1 D.2

)

( )

C

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不等式、推理与证明

[解析] 如图作出可行域.

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不等式、推理与证明

?x-my+1=0 ? 由? ?2x-y-3=0 ?



?3m+1 5 ? ? ? , A? , 2m-1 2m-1? ? ?

平移 y=-x,当其经过点 A 时,x+y 取最大值,即 3m+1 5 + =9, 2m-1 2m-1 解得 m=1.

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不等式、推理与证明

[例3]

制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈

利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、
乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利分别 为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%. 投 资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏 损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多

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少万元,才能使可能的盈利最大?

)

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不等式、推理与证明

[解析] 个项目.

设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两

?x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8 由题意知? ?x≥0, ?y≥0. ?
目标函数z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分

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(含边界)即可行域.

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不等式、推理与证明

作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x +0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行 域上的 M 点, 且与直线 x+0.5y=0 的距离最大, 这里 M 点是 直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10, ? 解方程组? ?0.3x+0.1y=1.8. ?

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得 x=4,y=6.

)

此时 z=1×4+0.5×6=7(万元) ∵7>0 ∴当 x=4,y=6 时 z 取得最大值.

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不等式、推理与证明

答:投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,

才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利
最大.

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不等式、推理与证明

2010年世博会在上海举行,一家旅行社开发了A、B 两类旅游产品,A类每条旅游线路的利润是0.8万元,B类 每条旅游线路的利润是0.5万元,且A类旅游线路不能少于 5条,B类旅游线路不能少于8条,两类旅游线路的和不能

超过20条,则该旅行社能从这两类旅游产品中获取的最大
利润是____________万元. [分析] 线性规划是最优化模型中的一个重要内容, 在生产生活中有着广泛的应用,而且在数学领域里也潜藏 着深厚的文化底蕴,需要同学们认真体会.

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不等式、推理与证明

[答案] 13.6

[解析]

设 A 类旅游线路开发 x 条,B 类旅游线路开

?x≥5 ? 发 y 条,则?y≥8 ?x+y≤20 ?

,z=0.8x+0.5y,不等式组表示的

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可行域是以(12,8),(5,8),(5,15)为顶点的三角形区域(含边 界),又 x,y∈N*,易知在点(12,8)处 z 取得最大值,
所以zmax=0.8×12+0.5×8=13.6(万元).

)

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不等式、推理与证明

[例 4]

?x-4y+3≤0 ? 变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?



(1)设 z=4x-3y,求 z 的最大值; y (2)设 z=x,求 z 的最小值; (3)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围.

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[分析] 画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结 合图形找最优解→求目标函数的最值.
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不等式、推理与证明

[解析]

?x-4y+3≤0 ? 由约束条件?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?



作出(x,y)的可行域如图所示.

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不等式、推理与证明

?x=1 ? 由? ?3x+5y-25=0 ? ?x=1 ? 由? ?x-4y+3=0 ?

,解得

? 22? A?1, 5 ?. ? ?

,解得 C(1,1).

?x-4y+3=0 ? 由? ?3x+5y-25=0 ?

,解得 B(5,2). 4 z (1)由 z=4x-3y,得 y=3x-3.
4 z 求 z=4x-3y 的最大值,相当于求直线 y= x- 在 y 3 3

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z 4 轴上的截距- 的最小值.平移直线 y= x 知, 3 3
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不等式、推理与证明

4 z z 当直线 y=3x-3过点 B 时,-3最小,z 最大. ∴zmax=4×5-3×2=14. y y-0 (2)∵z=x= . x-0 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB=5.

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不等式、推理与证明

(3)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的 距离的平方. 结合图形可知, 可行域上的点到原点的距离 中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29, ∴2≤z≤29.
[点评] 本例与常规线性规划不同,主要是目标函数

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不全是直线形式,此类问题考虑目标函数的几何意义,常 见代数式的几何意义主要有以下几点:

)

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不等式、推理与证明

(1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)的距离. y (2)x表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; y-b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是 解决问题的关键.

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不等式、推理与证明

?x+y≥2, ? 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≤2, ?0≤y≤3, ? 值范围是____________.

y+3 则 z= 的取 x+3

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[分析]

此题考点为线性规划的可行域、直线的斜

率.解题关键是懂得将求z的取值范围转化为求可行域内

)

的点(x,y)与点(-3,-3)连线的斜率的取值范围.

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不等式、推理与证明

[解析]

画出可行域如图,z表示可行域内的点(x,y)
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与点E(-3,-3)连线的斜率,则由图像可知,连线过点C

时斜率最小,过点B时斜率最大.

( )

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不等式、推理与证明

0+3 3 3+3 kBC= = ,k = =3, 2+3 5 EB -1+3 3 所以 z 的取值范围是[5,3]. 3 [答案] [ ,3] 5

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[点评]

y-a 此类题可以归类为求 的取值范围,即求 x-b

(

点(b,a)(注:点(b,a)在可行域外)与可行域内的点(x,y) 的连线的斜率.

)

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1.用二元一次不等式表示平面区域,是简单线性规 划问题的基础.
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2.直线把平面分成的每一个区域内所有点的坐标各
同时满足一个不等式,确定不等式Ax+By+C>0(<0, ≤0,≥0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域,常用下列 的方法确定:先由等式定直线,然后在直线的某一侧任取 (x0,y0),把它的坐标代入Ax+By+C>0,若不等式成立,

(

则和(x0 ,y0)同侧的点都满足不等式,从而平面区域被找
到,否则,直线的另一区域为不等式Ax+By+C>0所表 示的区域.
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第七章

不等式、推理与证明

3.在线性约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax +by+c的最小值或最大值的求解程序为:
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(1)作出可行域;
(2)作出直线l0:ax+by=0; (3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数 的最小值或最大值.

(

4.目标函数非线性时,注意目标函数的几何意义,
如斜率,距离等.

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第七章

不等式、推理与证明

5.解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所 以作图应尽可能精确,图上操作尽可能规范.求最优解时, 若没有特殊要求,一般为边界交点.若实际问题要求的最 优解是整数解.而我们利用图解法得到的解为非整数解,

应作适当调整.其方法应以与线性目标函数直线的距离为
依据,在直线附近寻求与直线距离最近的整点,但必须是 在可行域内寻找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差,假若 图上的最优解并不明显易辨时,应将最优解附近的整点都 找出来,然后逐一检查,以“验明正身”.

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