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湖北省部分重点中学2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

湖北省武汉市部分重点中学 2012-2013 学年度上学期高二期末 考试数 学 试 卷 (理)
全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若 a ? (2 x,1,3), b ? (1,?2 y,9) ,且 a // b ,则 A. x ? 1, y ? 1 C. x ?
2

1 3 ,y?? 6 2
6

1 1 ,y?? 2 2 1 3 D. x ? ? , y ? 6 2
B. x ?

2. ( x ? ) 的展开式中的常数项为 A.-15 数为 A.6 B.12 C.18 D.24 B.15 C.-20 D.20

1 x

3.从 2,4 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个

4.在平行六面体 ABCD ? A? B? C? D? , O? 是上底面的中心,设 AB ? a, AD ? b, AA? ? c,则

????

????

???? ? AO? =
A.

1 1 1 a? b? c 2 2 2

B.

1 1 a? b?c 2 2

C. a ?

1 b?c 2

D.

1 a?b?c 2

5.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球 C.至少有一个黑球与至少有一个红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球

-1-

6.从 1,2,3,4,5,6,7 中任取两个不同的数,事件 A 为“取到的两个数的和为偶数”,事 件 B 为“取到的两个数均为偶数",则 P( B | A) = A.
55

4 7

B.

3 7

C.

1 . 3

D.

1 2

7. 55 ? 10 被 8 除所得的余数是 A.1 B.2 C.3 D.5

8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分 别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103

r m
A.甲 B.乙

0.82 106

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性 C.丙 D.丁

b0 ? b1 x ? b2 x 2 ? ? ? b9 x 9 (1 ? 2 x)20 2 9 10 9.设 ,则 a9 ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a9 x ? a10 x ? (1 ? x)10 (1 ? x)10
A.0 B.4
10

C.10·4

10

D.90·4

10

10.有 3 个男生和 3 个女生参加某公司招聘,按随机顺序逐个进行面试,那么任何时候等待 面试的女生人数都不少于男生人数的概率是

A.1

2

B.1

4

C. 1 24

D. 1

144

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知随机变量? 的分布列为(如图所

?
示) ? ? 2? ? 1, 则? 的数学期望 E? 的 :设 值是 。 X P

-1

0

1

1 2
2

1 6

1 3

12 . 已 知 随 机 变 量

服 从 正 态 分 布 N (1, ? ), P( x ? 2) ? 0.72, 则

P( x ? 0) ? __________ _ 。
13.一个总体分为 A, B 两层,其个体数之比为 4 : 1 ,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量 为 10 的 样 本 , 已 知 B 层 中 甲 、 乙 都 被 抽 到 的 概 率 为

1 ,则总体中的个体个数为 28

__________ _。
1 5 14.观察下列等式: C5 ? C5 ? 23 ? 2 , 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 ,

-2 -

1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 ,

1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ,

??? 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N , C4n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? ?? C4n?1 ?
*



15.正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种,使 得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有 种 三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)从 4 名男生,3 名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2) 至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都有的不同的选法共有多 少种? 17.(本题满分 12 分)已知

?

x ? 3 x 的展开式中所有项的二项式系数之和为 1024 ,

?

n

(1) 求展开式的所有有理项(指数为整数) . (2) 求 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x? 展开式中 x 项的系数.
3 4 n
2

18.(本题满分 12 分)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动 是否与性别有关,对本单位的 50 名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表: 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 20 5 25 女性 10 15 25 合计 30 20 50 (1)是否有 99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由; (2)将此样本的频率估计为总体的概率,随机抽查了 4 位喜欢做户外运动的人,记 ? 表示抽 到的喜欢做户外运动的人中女性的人数,求 ? 的分布列、期望和方差. 下面的临界值表仅供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

( 参考公式:K =

n(ad ? bc)2 , 其中n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. ( 本 题 满 分 13 分 ) 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 , AB // CD , AB ? AD , P AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 , PA ? 平面 ABCD , PA = 4 . (Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值 (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC
A C B D
-3-

所成角的正弦值为

PQ 3 ,求 的值. PB 3

20.(本题满分 13 分)武汉市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其 中 3 个是新球(即没有用过的球) 个是旧球(即至少用过一次的球) ,3 .每次训练,都 从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

?ACB ? 90 , 21. 本题满分 13 分) ( 如图, 在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,
?

侧棱 AA1 ? 2 , D、E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 C1 G. A1 B1 (1)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值; D (2)求点 A1 到平面 AED 的距离. (3)若 P 为侧棱 CC1 上的一个动点(含端点) , A E G B C

平面 AEP 与平面 BCC1 B1 所成锐角为 ? ,求 sin ? 的最小值 湖北省武汉市部分重点中学 2012-2013 学年度上学期高二期末考试 数 学 试 卷 (理) 一、选择题 1 C 二、填空题 2 B 3 D 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 A 10 B

11



2 3

12



0.28

13



40

;

14



24n?1 ? (?1)n 22n?1 .

15、 240
-4-

三、解答题 16、解: (1)即从 7 名学生中选出三名代表,共有选法 C7 (2)至少有一名女生的不同选法共有 C3C4 (3)男、女生都要有的不同的选法共有 C7 17、 解: (1) 2 ? 1024
n

3

? 35

种; 种;

4分 8分 12 分 3分

1

2

1 ? C32C4 ? C33 ? 31

3

? C43 ? C33 ? 30

种。

∴ n ? 10
3 r r 10 ? r r ? r C10 x 2 3

r Tr ?1 ? C10 (

x)

10 ? r

(? x ) ? (?1)

? (?1)

r

r C10 x

5?

r 6

( r =0, 1, ?,10 )

r ∵ 5 ? ? Z,∴ r ? 0 ,6 6
0 6 有理项为 T1 ? C10 x5 ? x5 , T7 ? C10 x4 ? 210x4 r r r r r r (2)∵ Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 ,∴ Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn

6分 8分

2 2 2 3 3 3 3 3 3 x 2 项的系数为 C3 ? C4 ? ? ? C10 ? (C4 ? C3 ) ? (C5 ? C4 ) ? ? ? (C11 ? C10 ) 3 3 ? C11 ? C3 ? 164

12 分(其它方法也可)

18. (1) K ?
2

50(20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879, 有 99.5% 的把握认为喜欢户外运动 ? 30 ? 20 ? 25 ? 25
5分

与性别有关.4 分 (2) ? 所有可能取值为 0,1,2,3,4 ,

? 的分布列为 ?
P
10 分

2 16 32 1 2 3 1 P(? ? 0) ? ( ) 4 ? , P(? ? 1) ? C 4 ( ) ( ) ? 3 81 3 3 81 1 24 8 1 4 1 2 2 3 2 1 3 P(? ? 2) ? C 4 ( ) 2 ( ) 2 ? , P (? ? 3) ? C 4 ( )( ) ? , P (? ? 4) ? ( ) ? 3 3 81 3 3 81 3 81
0 1 2 3 4

16 81 4 . 3 D? ? 8 9

32 81

24 81

8 81
12 分

1 81

E? ?

方法二:根据题意知 ? ? ? B ( 4, )

1 3

-5-

2 k 1 ? P(? ? k ) ? C 4 ( ) k ( ) 4? k (k ? 0,1,2,3,4) 3 3 4 8 ? E? ? np ? D? ? npq ? 9 3
19. (1)证明: PA ? 平面ABCD 因为, AB ? AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所 在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,

则 B(4, 0, 0) , P(0, 0, 4) , D(0, 2 2,0) ,

C(2, 2 2,0) .
所以 BD ? (?4,2 2,0) , AC ? (2, 2 2,0) ,

??? ?

??? ?

??? ? AP ? (0,0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC .
(2) AC ? (2, 2 2,0) , DP ? (0,?2 2 ,4)

4分

??? ?

-6-

cos ? AC, DP ?? ?

2 3 2 3
8分

? 异成直线 AC 与 PD 所成角的余弦值
(Ⅲ)解:设

PQ = ? (其中 0 #? 1 ) Qxyz) ,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? . , (, , PB ??? ? ??? ? 所以 PQ = ? PB .所以 ( x, y, z - 4) = ? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) . ? ? z = - 4? + 4, ? ? ? ??? ? 所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) .
平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4,2 2,0) .

10 分 11 分

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CQ ×BD 因为 sin ? = cos < CQ, BD > = ??? ??? , ? ? CQ ×BD

所以

3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2
7 ? [0,1] . 12
13 分

解得 ? ? 所以

PQ 7 = . PB 12
1分

20、解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2.

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0,1,2) .因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以

P( A0 ) ? P(? ? 0) ? P( A1 ) ? P(? ? 1) ? P( A2 ) ? P(? ? 2) ?

C32 1 ? , 2 C6 5
1 1 C3C3 3 ? , 2 C6 5

3分 5分 7分

C32 1 ? . 2 C6 5

所以 ? 的分布列为(注:不列表,不扣分)

?

0

1

2
-7-

1 3 5 5 1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5
P

1 5
8分

(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0 B ? A1 B ? A2 B . 而事件 A0 B 、 A1B 、 A2 B 互斥, 所以, P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) . 由条件概率公式,得

1 C1C1 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0 ? ? 3 2 3 ? ? ? , ) 5 C6 5 5 25 3 C1C1 3 8 8 P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ? ? 2 2 4 ? ? ? ) 5 C6 5 15 25 1 C1C1 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ? ? 1 2 5 ? ? ? . ) 5 C6 5 3 15
所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

9分 10 分 11 分

P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ?

3 8 1 38 ? ? = . 25 25 15 75

13 分

21、 (1) CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴建立坐标系, 解: 以 坐标原点为 O, CA ? 2a , 设 则 A(2a,0,0) , B(0,2a,0) , D(0,0,1) ; A1 (2a,0,2)

2a 2a 1 , , ). 3 3 3 a a 2 ? GE ? ( , , ), BD ? (0,?2a,1) , 3 3 3 2 2 1 1 2 ? GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0 ,解得 a ? 1 .平面 ABD 的一个法向量为 GE ? ( , , ) 3 3 3 3 3

E (a, a,1)

G(

?BA1 ? (2,?2,2), cos ? BA1 , GE ??

2 3 2 3
4分

A1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值为

(2)平面 AED 的一个法向量为 n ? (1,?1,2) , DA ? (2,0,1) 1 点 A1 到平面 AED 的距离 d ?

| n ? DA | |n|

?

2 6 3

8分

(3)设 CP ? h(0 ? h ? 2) ,则 P(0,0, h) 平面 BCC1 B1 的一个法向量 m1 ? (2,0,0) ,平面
-8-

AEP 的一个法向量 m2 ? (h, h ? 2,2) ,则 cos? ?

2h 2 h ? (h ? 2) ? 4
2 2

?

h 2h ? 4h ? 8
2

当 h ? 0 时, cos ? ? 0 ,当 h ? 0 时, cos? ?

1 8 4 ? ?2 h2 h

?

1 1 1 3 8( ? ) 2 ? h 4 2

?

2 2

h ? 2 时取等号,此时 sin ? ?

2 2

13 分

-9-


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