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【精品】高考数学考点突破——空间向量与立体几何(理科专用):立体几何中的向量方法(二)求空间角

高考数学考点突破——空间向量与立体几何(理科专用) :立 体几何中的向量方法(二)求空间角 【考点梳理】 1.异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 a 与 b 的夹角 β 范围 (0,π ) l1 与 l2 所成的角 θ 求法 cos β = a·b |a||b| cos θ =|cos β |= |a·b| |a||b| 2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n, 直线 l 与平面 α 所成的角为 θ ,则 sin θ =|cos〈a,n〉|=. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α -l-β 的两个面内与棱 l 垂直的 直线,则二面角的大小 θ =__〈, 〉. (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α -l-β 的两个半平面 α , β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足|cos θ |=|cos〈n1,n2〉|,二 面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 【考点突破】 考点一、利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 永定元年 ,周文 育等败 于沌口 ,为王 琳所获 。琳乘 胜将略 南中诸 郡,遣 猛与李 孝钦等 将兵攻 豫章, 进逼周 迪,军 败,为 迪斩执 。寻遁 归王琳 。王琳 败,还 朝。天 嘉二年 ,授通 直散骑 常侍、 永阳太 守。迁 安成王 府司马 。光大 元年, 授壮武 将军、 庐陵内 史。太 建初, 迁武毅 将军、 始 兴平南府 长史, 领长沙 内史。 ) 1/8 A. C. [答案] C [解析] B .5 D. 2 2 2 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,设 BC=2,则 B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1, 2),=(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角θ 的余弦值 cos θ ===. 【类题通法】 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:①选好基底或建 立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向量 v1,v2;③代入公式|cos 〈v1,v2〉|=求解. 2. 两异面直线所成角的范围是 θ ∈, 两向量的夹角 α 的范围是[0, π ],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线 的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线 的夹角. 【对点训练】 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为( A. [答案] C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为 1,则 A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0). ∴=(1,1,0),=(-1,1,-1), ∵·=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, 永定元年 ,周文 育等败 于沌口 ,为王 琳所获 。琳乘 胜将略 南中诸 郡,遣 猛与李 孝钦等 将兵攻 豫章, 进逼周 迪,军 败,为 迪斩执 。寻遁 归王琳 。王琳 败,还 朝。天 嘉二年 ,授通 直散骑 常侍、 永阳太 守。迁 安成王 府司马 。光大 元年, 授壮武 将军、 庐陵内 史。太 建初, 迁武毅 将军、 始 兴平南府 长史, 领长沙 内史。 ) B. C. D. 2 π 2/8 ∴⊥, ∴AC 与 B1D 所成的角为. 考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角 【例 2】 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, B1B=B1A=AB=BC, ∠B1BC =90°,D 为 AC 的中点,AB⊥B1D. (1)求证:平面 ABB1A1⊥平面 ABC; (2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值. [解析] (1)取 AB 中点为 O,连接 OD,OB1, ∵B1B=B1A,∴OB1⊥AB. 又 AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1, ∴AB⊥平面 B1OD, ∵OD? 平面 B1OD,∴AB⊥OD. ∵∠B1BC=90°,即 BC⊥BB1, 又 OD∥BC,∴OD⊥BB1,又 AB∩BB1=B, ∴OD⊥平面 ABB1A1, 又 OD? 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ABB1A1. (2)由(1)知,OB,OD,OB1 两两垂直. 以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴的方向,||为单位长度 1,建立如 图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 B1(0,0,),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0), C1(0,2,). 则=(0,1,-),=(2,2,0),=(-1,0,). 永定元年 ,周文 育等败 于沌口 ,为王 琳所获 。琳乘 胜将略 南中诸 郡,遣 猛与李 孝钦等 将兵攻 豫章, 进逼周 迪,军 败,为 迪斩执 。寻遁 归王琳 。王琳 败,还 朝。天 嘉二年 ,授通 直散骑 常侍、 永阳太 守。迁 安成王 府司马 。光大 元年, 授壮武 将军、 庐陵内 史。太 建初, 迁武毅 将军、 始 兴平南府 长史, 领长沙 内史。 3/8 设平面 ACC1A1 的一个法向量为 m=(x,y,z),则由得取 m=(,-, 1). ∴cos〈,m〉= ==-, ∴直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为. 【类题通法】 利用向量法求线面角的方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求 两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向 量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角. 【对点训练】 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 为等腰直角三角形,AB= AC=1,BB1=2,∠ABB1=60