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浙江省温州市十校联合体2019届高三上学期期中联考数学(理)试题

2019 学年第一学期十校联合体高三期中联考

数 学 试 卷(理)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的。)

1.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0}, B ? {y | y ? log2 x} ,则 (CR A) ? B ? ( )

A. (?2,1)

B.[?2,1]

C. (??,?2) ? (1,??)

D. (?2,1]

2.已知 a ? R,b ? R ,则“ a

? b ”是“

1

?

1
”成立的





ab

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的

体积为( ) .

A. 2? 3

B. ? 3

C. 16? 9

D. 2? 9

4.已知等比数列{ a n}首项为1,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则下

列结论正确的是 ( )
A. ?n ? N ? , Sn ? an?1

B. ?n ? N ? , an ? an?1 ? an?2

第3题

C. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?2 ? 2an0 ?1

D. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?3 ? an0 ?1 ? an0 ?2

5.已知函数 f (x) ? sin(?x ? ?) (? ? 0, ? ? ? ) 的最小正周期为? ,且其图像向右平移 ? 个单位后

2

6

得到函数 g?x? ? sin??x?的图像,则函数 f (x) 的图像 (

)

A.关于直线 x ? ? 对称 12
C.关于点 ( ? , 0 ) 对称 12

B.关于直线 x ? 5? 对称 12
D.关于点 ( 5? , 0 ) 对称 12

?y ? 3

6.若实数 x,y 满足不等式组 ??3x ? 7 y ? 24 ? 0 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值是(

)

??x ? 3y ? 8 ? 0

A.6

B.7

C.8

D.9

7.若关于 x 的不等式 x 2 ? x ? a ? 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是(



·1·

A. (?2,2)

B. (?2, 9 ) 4

C. (? 9 , 9) 44

D. (? 9 ,2) 4

8.已知 A ?? , AB ? 5 , AC ? 2 2 ,且 AB 与? 所成角的正弦值为 4 , AC 与? 所成的角
5

为 450,点 B,C 在平面? 同侧,则 BC 长的范围为(



A. [5 ? 2 2,5 ? 2 2] B. [ 5, 29] C. [ 5, 61] D. [ 29, 61]

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。)

9.已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? 1 ,则 cos? ? ______ ; cos 2? ? ______ .

2

3

10.在等差数列{an}中,若 a4 ? a8 ? 8, a7 ? a11 ? 14 , ak ? 18 ,则 k ?

;数列{an}的前 n 项

和 Sn ?

.

11.已知直线 l :mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? (m ? 1) y ? 1 垂直,则 m 的值为

; 若直线

l 被圆 C : x2 ? y2 ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为

.

12. 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f (x) ? ?x2 ? ax ? a ?1 , 则

f (?2) ?

;若函数 f (x) 为 R 上的单调减函数,则 a 的取值范围是

.

13.若

x ?[?

? 6

,? 4

] ,则

f

(x)

?

sin

3sin2 x ? 2 x cos x ? cos2

x

的最大值为



14.已知向量 a, b ,且 b ? 2 , a ? b ? 2 ,则 tb ? (1 ? 2t)a (t ? R) 的最小值为



15.已知双曲线 C1

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,抛物线 C2

:

y2

?

2 px? p

? 0?

的焦点与双曲线 C1 的一个焦点重合, C1与C2 在第一象限相交于点 P,且 F1F2 ? PF1 ,则双曲

线的离心率为

.

三.解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
16.(本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中角 A, B,C 对边分别为 a, b, c ,且满足 2a sin(C ? ? ) ? b ? c . 6
·2·

(Ⅰ)求 A 的值; (Ⅱ)若 B ? ? ,b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积.
4

17.(本小题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 为菱形,且 ?A ? 60? , E, F 分别为 AB, AD 的中点,

现将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD .

(Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ;

(Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值.

B E

H B

A

C

B

F D

E

A

B

F

D

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 2

,右焦点为 F2 (1,0) ,过点

B(2,0)

作直线交椭圆

C 于 P、Q 两点,设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别为 k1, k2 .

(Ⅰ)求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.

·3·

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ? 1(a,b ? R) .

(Ⅰ)若函数

f

(

x)的值域为???

3,? 4

?

??,且 ?

f

(x ? 1) ?

f (?x) ,求函数

f (x) 解析式;

(Ⅱ) 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1时,对任意 x ? ?0,2?,都有 m ? f (x) 恒成立,求 m 的最小值.

? ? 20.(本小题满分 15 分)已知数列

an

满足 an

?

0 且 an

?

1

2an?1

?

a2 n ?1

(n ? N*) .

(Ⅰ)证明: an?1

?

1 2

an

(n ? N*) ;

? ? (Ⅱ)令 bn

?

?an

2 ?1

?

anan?1(n ? N *) ,数列

bn

的前 n 项和为Tn

,求证: Tn

?

1 3

a12

.

·4·

2019 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 (理)参考答案

一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 B

D

C

A

A

C

D

B

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。)

22 7

9.

3

9

10. 20

n2 ? 3n 2

11. ? 1

?2

2

13. ? 1 2

12. 3 ? 3a
14. 1

a ? ?1 15. 2 ? 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中角 A, B,C 对边分别为 a, b, c ,且满足 2a sin(C ? ? ) ? b ? c . 6
(Ⅰ)求 A 的值
(Ⅱ)若 B ? ? ,b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积。 4

解:(Ⅰ) 2 sin A(sin C ? 3 ? cos C ? 1 ) ? sin B ? sin C ,------------------------------- 2 分

2

2

即 3 sin Asin C ? sin Acos C ? sin B ? sin C ,

所以 3 sin Asin C ? sin Acos C ? sin Acos C ? cos Asin C ? sin C , ------ 4 分

所以 3 sin Asin C ? cos Asin C ? sin C ,

所以 3 sin A ? cos A ? 1,

所以 2 sin( A ? ? ) ? 1, 6

------------------------------------------------------ 6 分

得A?? . 3

---------------------------------------------------7 分

(Ⅱ)设△ABC 外接圆半径为 R,由正弦定理得:

b ? c ? 2R(sin B ? sin C) ? 2R( 2 ? 3 ) ? 2 ? 3 22

? R ? 1.

--------------------------------------- 9 分

·5·

? A ? ? ? B ? C ? 5? 12

?sin A ? 6 ? 2 4

--------------------------------------- 11 分

? S△ABC

?

1 bcsin 2

A

?

1 2

?

2?

3?

6? 4

2 ? 3?

3
.

------------------------- 14 分

4

17. (本小题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 为菱形,且 ?A ? 60? , E, F 分别为 AB, AD 的中

点,现将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD 。

(Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ;

(Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值。

B E

H B B

A

C

E

F

A

D 解:(Ⅰ)取 AH 的中点 G,连接 BG,FG,EF

B

F

D

---------------------------2 分

因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BE 平行且等于 1 HD 2

又因为 FG 为三角形 ABH 的中位线,所以 FG 平行且等于 1 HD 2
故 BE 平行且等于 FG,即 BEFG 为平行四边形,

因此 EF 平行 BG

-----------------------------------4 分

所以 EF // 平面ABH

--------------------------------------- 5 分

(Ⅱ)因为 ?A ? 60? ,所以 DE ? AB

故翻折之后 BE ? ED, AE ? ED ,因此 ?BED 为二面角 A-DE-H 的平面角,

故 ?BED ? 90? .因此 BE ? AE

----------------------7 分

建立直角坐标系,以 E 为坐标原点,以 AE 为 x 轴,DE 为 y 轴,且设菱形边长为 2,

则 A(1,0,0),D(0, 3, 0), B(0, 0,1), H (0, 3, 2)

uuur

uuuur

uuuur

因此, AB=(-1,0,1),AH ? (?1, 3, 2), DH ? (0, 0, 2)

ur 设平面 ABH 的法向量为 m ? (x, y, z) ,则

·6·

ur uuur

??m ? AB ? 0 ?ur uuuur



??? x ?

?

z

?

0

ur ,取 m ? ( 3, ?1, 3) ------------------------------ 10 分

??m ? AH ? 0 ???x ? 3y ? 2z ? 0

r 同理,平面 ADH 的法向量为 n ? ( 3,1,0)

ur r

ur r m ? n 于是, cos ? m, n ? ? ur r ?

7

,

m?n 7

---------------------------------------1 2 分 --------------------------------------- 14 分

由题知,所求二面角为钝角, 故二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值为 ? 7 。
7

--------------- 15 分

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 2

,右焦点为

F2 (1,0)

,过点

B(2,0)

作直线交椭

圆 C 于 P、Q 两点,设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别为
(Ⅰ)求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.

k1, k2 .
y

F2

B

O

x

Q

解 :( Ⅰ ) 由 题 意 得 椭 圆 方 程 为 x2 ? y2 ? 1

P

2

----------------------------------- 3 分

设 PQ 直线方程为 y ? k(x ? 2) ,代入椭圆方程得: (1? 2k 2 )x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,



P( x1 ,

y1), Q(x2 ,

y2 )

,则

x1

?

x2

?

8k 2 1? 2k 2

,

x1x2

?

8k 2 ? 2 1? 2k 2

…………………………5



k1

?

k2

?

y1 x1 ? 1

?

y2 x2 ?1

?

k(x1 ? 2) x1 ? 1

?

k(x2 ? 2) x2 ?1

?

k[2 ?

x1 ? x2 ? 2 ] (x1 ?1)(x2 ?1)

?

0 ……

7分

(Ⅱ)由 (1? 2k 2 )x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,得

? ? 0 ,所以 k 2 ? 1 2

S

?

1 2

?

BF2

?

y1 ?

y2

?

1 2

k

x1

?

x2

?

1 2

k

8(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 2

--------------------------------10 分

·7·

?

2

(1? 2k 2 )k 2 (1? 2k 2 )2 = ?

2

? t2

? 3t 2t 2

?2

?

2

? (1 ? 3)2 ? 1 ( t ? 1? 2k 2 ), t 4 16

所以 k 2 ? 1 时, S 的最大值为 2

6

4

--------------------------------------- 15 分

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ? 1(a,b ? R) 。

(Ⅰ)若函数

f

( x)的值域为???

3,? 4

?

??,且 ?

f (x ? 1)

?

f (?x) ,求函数

f (x) 解析式;

(Ⅱ)若 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1时,对任意 x ? ?0,2?,都有 m ? f (x) 恒成立,求 m 的最小值。

解(Ⅰ)由已知得 a ? 0, 4a ? b2 ? 3 , b ? 1 ,则 a ? 1,b ? 1 4a 4 2a 2

f (x) ? x2 ? x ?1

―――――――――― 5 分

(Ⅱ)①当 a=0 时, f (x) ?| x ? 1 | 在[0,2]上的最大值为 1----------------- 7 分

② 0 ? a ? 1 时,对称轴为 x ? a ? 1 >0, ? ? (a ?1)2 ? 0 2a



a ?1 2a

?

2即0

?

a

?

1 时, 3

f

(x) max

?

max{|

f

(0) |,|

f

(2) |} ?

max{1,|

2a ?1 |} ,

而 2a ? 1 ? 1,所以 f (x)max ? 1 ----------------------------------- 10 分

③若 a ? 1 ? 2 即 1 ? a ? 1,

2a

3

f

( x) max

?

max{|

f

(0) |,|

f

( a ? 1) |,| 2a

f

(2) |} ?

max{1, (a ?1)2 4a

,| 2a ?1|}

由1 3

?

a

? 1,?

(a ?1)2 4a

? 1,| 2a

?1|? 1 ,所以

f

(x) max

? 1-------------

13 分

综上: m ? 1

------------------ 15 分

? ? 20.(本小题满分 15 分)已知数列

an

满足 an

?

0 且 an

? 2an?1

1

?

a2 n ?1

(n ? N*) .

(Ⅰ)证明:

an?1

?

1 2

an

(n ? N*) ;

? ? (Ⅱ)令 bn

?

?an

2 ?1

?

anan?1(n ? N *) ,数列

bn

的前 n

项和为 Tn

,求证: Tn

?

1 3

a12

.

·8·

解:(Ⅰ)由 an

?

2an?1 1 ? an2?1

, an

?

0

,所以有

1

?

an

2 ?1

?0,

?0

?1?

a2 n ?1

?1

因此 an

?

2an?1 ,即 an?1

?

1 2

a

n



--------------- 7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an

?

1 2

an?1

?

1 22

an?2

??

?

1 2 n?1

a1

,即 an

?

1 2 n?1

a1 ,---10



又 bn

?

?an

2 ?1

?

anan?1 , bn

是关于 an?1 的二次函数,?

an?1

?

1 2

an

? bn

?

?

1 4

an 2

?

an

?

(1 2

an )

?

1 4

an 2



--------------------------------- 12 分

由an

?

1 2n ?1

a1得

, bn

?

1 4n

a12

?Tn

? b1

? b2

??

? bn

?

a12

(

1 4

?

1 42

??

?

1 4n

)

=

1 3

a12 (1

?

1 4n

)

?

1 3

a12

------------------------------------------ 15 分

·9·

2019 学年第一学期十校联合体高三期中联考数学(理)试卷细目表

题号

考查点

参考《指导意见》、《考 分

试说明》



1 集合的运算和不等式的运算 5

2 充要条件

5

3 三视图

5

选 4 逻辑连结词

5

择 5 三角函数

5

题 6 线性规划

5

7 函数问题

5

8 立体几何

5

9 三角函数求值

4

10 数列

4

11 直线与圆

4

填 12 函数与奇偶性

4



题 13 基本不等式

4

14 平面向量问题

4

15 离心率问题

4

16 三角与解三角形

14

17 立体几何综合应用

15

解 18 直线与椭圆的综合应用

15



题 19 函数性质的综合应用

15

20 数列综合问题

15

考查要求 A 了解 B 理解 C 应用 D 综合
B B C B B C C D B C C C C D D C D C D D

试题难度 I 容易 II 稍难
III 较难 I I I 1 2 II 3 III I 1 1 II II III III II II II III III

题目来源 (原创或改编)
改编 改编 改编 原创 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编

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