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1.2.1任意角的三角函数第一课时(精品教案)

1.2.1 任意角的三角函数的定义
卢氏一高 教学目标: 高三数学 房双波

(1)借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括从任意角三 角函数的定义认识其定义域和函数值在各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. (4)坐标定义三角函数的过程体现化归思想,用一般的函数概念指导三角 函数研究的思想. 教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义 教学难点:任意角的三角函数概念的构建过程;三角函数中的对应关系. 教学设想: 一、创设情境 1、提问:锐角 ? 的正弦、余弦、正切怎样表示?我们已经把锐角推广到了 任意角, 锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗?试试看,可以独立思考和探 索,也可以互相讨论! 2、引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。你 能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表 y 示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合, 始 a角的终 边与 x 轴的正半轴重合, 那么它的终边在第一 边 P P' 象限.在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原 点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 . 过 P 作 x 轴的垂线 , O M A 垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a , 线段 MP x 的长度为 b .则 MP b OM a sin ? ? ? ; cos ? ? ? ; OP r OP r MP b tan ? ? ? . OM a 3、思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置 的改变而改变呢? (结合相似三角形知识,说明三个值与终边上点的位置无关) 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得 到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: MP OM MP b sin ? ? ? b ; cos ? ? ? a ; tan ? ? ? . OP OP OM a 4、思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角 的概念推广以后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以便推广到 任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数的定义. 二、探究新知 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三 角函数值呢? 2.我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.所以,在此引入单位圆的定
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义:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆的交点为 P( x, y) ,那么 (1)y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos? ? x ; y y (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x 注意:既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点 P( x, y ) ,从而 就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:终边法如何定义任意角的三角函数? 如图,设 ? 是一个任意角,点 P( x, y ) 是其终边上任意一点,则点 P 到原点的距 离 r ? x 2 ? y 2 那么: y y (1) 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2) 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x 注意 : (1)这样定义,突出点 P 的任意性,任意角 ? 的三角函数值仅与 ? 有 关,而与点 P 在角的终边上的位置无关. (2)所以,正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以角终边上任意一点的坐标 及其到原点的 距离的相应比值为函数值的函数,我们将他们统称为三角函数. (3)使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域. 由单位圆定义法到终边定义法,体现由特殊到一般的数学思想方法。 4.提问:你能解释一下定义中的对应关系? 三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函 数值的函数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数 也可以看成实数为自变量的函数. 5? 三、例题讲解:例 1.求 的正弦、余弦和正切值. 3 例 2.已知角 ? 的终边过点 P0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其 他方法:如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 . y 4 x 3 y 4 于是 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3 例 3、已知角?的终边在直线y ? 2 x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值 四、巩固练习:习题 1.2 A 组第 2 题 五、学习小结:1.任意角三角函数具体是怎样定义的? 2.三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值之间的对应关系。 六、作业布置:已知角 ? 的终边经过点 P(m,3m)(m 不为 0) ,求角 ? 的正弦、 余弦和正切值.

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