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北京市东城区2013届高三12月联考数学(理)试题


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东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷
高三 数学(理科) 命题校:125 中 2012 年 12 月

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 150 分, 共 考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡 上.
1. 若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. ?1 , 2? B. x x ? 1

?

?

) D. R

?

?

C. ??1, 0,1? )

2. 复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是( A. 1 1 (, ) B. ? 1 1 ( , )

1 i

C. ? 1,?1 ( )

D. 1,?1 ( ) )

3. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖ ? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ?

4. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m ) , 则该棱锥的体积是( A. )

4 3

B. 8 D.

C. 4

8 3

正视图

侧视图

俯视图

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. ? 3 B. 2 C. 4 D. 5



1

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6.已知数列 {a n } 为等比数列, a 4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为(
A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7



7. 已知函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的 取值范围是( A. (10,??) C. (0,10) )

1 ,10 ) 10 1 D. (0, ) ? (10,??) 10
B. (

8.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 曲线的渐近线方程为( A. 3x ? 4 y ? 0 ) C. 5 x ? 4 y ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 0

B. 3x ? 5 y ? 0

第Ⅱ卷(非选择题,共

110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.已知 sin ? ?

3 ,且 ? 为第二象限角,则 tan? 的值为 5

.

10.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ∥ c ,则

? 的值为
11.椭圆

.

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 , ?F1 PF2 9 2
.

的小大为 12.若曲线 y ? 为

3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切点坐标 2 2
,切线方 程为 .

13. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的 是 ① ab ? 1; ④ a ? b ? 3;
3 3

. (写出所有正确命题的编号). ② a? b? ⑤

2;

③ a ?b ? 2;
2 2

1 1 ? ?2 a b

2

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14. 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,
2

不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分) 已知:在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边,且角 C 为锐角,

cos 2C ? ?

1 4

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长.

16.(本小题满分 13 分)
已知:函数

f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求 函 数 f ( x) 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的 取 值 范 围. 17.(本小题满分 13 分) 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面ABCD ,
P

A 2

且 PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值. 18.(本小题满分 13 分)

[来源:学科网]

E

A

D

B

C
*

已知:数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2a n ? n , (n ? N ) . (Ⅰ)求: a1 , a 2 的值; (Ⅱ)求:数列 ?a n ?的通项公式;

3

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(Ⅲ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的
*

前 n 项和 Tn . 19.(本小题满分 14 分) 已知:函数 f ( x) ? x ?

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 2 3 a b 5 2 点构成的三角形的面积为 . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. ①若线段 AB 中点的 ???? ???? 1 7 横坐标为 ? ,求斜率 k 的值;②若点 M (? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 2 3
已知椭圆 C :

4

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东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考答案
高三数学(理科) 参考答案 (以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分) 一.选择题 1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. D 二.填空题 9. ?
3 4 1 2

10.

11. 120 ? 13.①③⑤ 14. [15,??)

12.(1,2), y ? 4 x ? 2

15.(本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 ? ,及 0 ? C ? 4 2
………………………… 4 分

所以 sinC=

10 . 4

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 ? ,及 0 ? C ? 得 4 2

a c ,得 c=4 ? sin A sin C

………7 分

cosC=

6 4

………………………9 分

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2- 6 b-12=0 解得 b=2 6 …………………… 12 分 ……………………13 分

16. (本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ)由图像知 M ? 1, f (x) 的最小正周期 T ? 4( 分 将点 (

5? ? ? ) ? ? ,故 ? ? 2 …… 2 12 6

?

,1) 代入 f (x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? 6 3 2

?

?

故? ?

?

6

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

)

………………

5分

5

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(Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC 所以 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A ……………………8 分 因为 sin A ? 0 所以 cos B ?

3 A ? 2? ? ? 5? ……………………11 分 f ( ) ? sin(A ? ) 0? A? ? A? ? 2 6 3 6 6 6 1 A ? ? f ( ) ? sin(A ? ) ? 1 ……………………13 分 2 2 6

1 2

B?

?

A?C ?

2? ………………9 分 3

17.(本小题满分 13 分)
解: (Ⅰ)
P

E

A

D

O B C

证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO.

……………………1 分

?O 为 BD 中点,E 为 PD 中点,
∴EO//PB. ………… …………2 分 ……………………3 分

?EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,
∴ PB//平面 AEC. (Ⅱ)
P

E

A

D

B

C

证明: PA⊥平面 ABCD.

CD ? 平面 ABCD,
∴ PA ? CD . 又?在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A , ……………………4 分 ……………………5 分

6

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∴CD ? 平面 PAD. 又? CD ? 平面 PCD, ∴平面 PCD ? 平面 PAD .

……………………6 分

……………………7 分

(Ⅲ)如图,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空 间直角坐标系.
z P

………8 分

E

A B C x

D y

由 PA=AB=2 可知 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .
……………9 分

?PA ? 平面 ABCD,∴ AP 是平面 ABCD 的法向量, AP =(0, 0, 2).
设平面 AEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AE ? (0, 1, 1), AC ? (2, 2, 0) , 则?

?n ? AE ? 0, ? ?n ? AC ? 0. ?

即?

?0 ? y ? z ? 0, ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 0.

∴ ?

? z ? ? y, ? x ? ? y.
………………11 分

∴ 令 y ? ?1 ,则 n ? (1, ? 1, 1) . ∴ cos ? AP, n ??

AP ? n | AP | ? | n |

?

2 2? 3

?

1 3

,

…………………12 分

二面角 E ? AC ? D 的正弦值为

6 3

…………………13 分

7

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18.(本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ)

S n ? 2a n ? n
……………2 分

令 n ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a 2 ? 3 (Ⅱ)

S n ? 2a n ? n
*

所以 S n ?1 ? 2a n ?1 ? (n ? 1) ,( n ? 2, n ? N ) 两式相减得 a n ? 2a n ?1 ? 1 所以 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) ,( n ? 2, n ? N )
*

……………4 分 ……………5 分

又因为 a1 ? 1 ? 2 所以数列 ?a n ? 1?是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 ……………6 分
* 所以 a n ? 1 ? 2 ,即通项公式 a n ? 2 ? 1 ( n ? N )
n n

……………7 分

(Ⅲ) bn ? nan ,所以 bn ? n(2 ? 1) ? n ? 2 ? n
n n

所以 Tn ? (1 ? 2 ? 1) ? (2 ? 2 ? 2) ? (3 ? 2 ? 3) ? ? ? (n ? 2 ? n)
1 2 3 n

Tn ? (1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
令 S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
1 2 3 n

……9 分

① ②

2S n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1
①-②得

? S n ? 21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1

? Sn ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

……………11 分

S n ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n?1
所以 Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2
n ?1

……………12 分

?

n(n ? 1) 2

……13 分

8

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19.(本小题满分 14 分)
(Ⅰ)解: f ?( x) ?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x(1 ? a ? ax) 1 , x ? (?1, ??) . 依题意,令 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? . 3 x ?1 1 经检验, a ? 时,符合题意. ……4 分 3 x (Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x ?1 故 f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . …………………5 分 1 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? ? 1 . a 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:
x
f ?( x)
(?1, x1 )
?


x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ? ?)

0
f ( x1 )

?


0
f ( x2 )

?


f ( x)

1 1 ? 1) ;单调减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ??) . a a 当 a ? 1 时, f (x) 的单调减区间是 (?1,??) .
所以, f ( x) 的单调增区间是 (0, 当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 , f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:

x
f ?( x)

(?1, x2 )
?


x2

( x2 , x1 )

x1

( x1 , ? ?)

0
f ( x2 )

?


0
f ( x1 )

?


f ( x)

1 ? 1) 和 (0, ??) . a ③ 当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . 综上,当 a ? 0 时, f (x) 的增区间是 (0, ??) ,减区间是 (?1,0) ; 1 1 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的增区间是 (0, ? 1) ,减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ??) ; a a 当 a ? 1 时, f (x) 的减区间是 (?1,??) ; 1 1 当 a ? 1 时, f ( x) 的增区间是 ( ? 1, 0) ;减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . a a
所以, f ( x) 的单调增区间是 ( ? 1, 0) ;单调减区间是 (?1, ……11 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ??) 上单调递增,由 f (0) ? 0 ,知不合题意. 当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) ,

1 a

1 a

1 a 当 a ? 1时, f (x) 在 (0, ??) 单调递减, 可得 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 f (0) ? 0 ,符合题意. 所以, f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 时, a 的取值范围是 [1, ??) . …………14 分
由 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,知不合题意.
9

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20.(本题满分 14 分)
x2 y 2 c 6 ,…………2 分 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , ? 2 a 3 a b 1 5 2 x2 y2 5 。解得 a 2 ? 5, b2 ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? ? ? 1 ……………4 分 5 2 3 5 3 3 2 2 x y (Ⅱ)(1)将 y ? k ( x ? 1) 代入 ? ? 1 中得 5 5 3 2 2 2 2 (1 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 5 ? 0 ……………………………………………………6 分
解: (Ⅰ)因为

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0

6k 2 ………………………………………… …………………7 分 3k 2 ? 1 6k 2 1 3 1 ? ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 …………9 分 3 3k ? 1 2 2 6k 2 3k 2 ? 5 x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2 (2)由(1)知 , 3k ? 1 3k ? 1 ???? ???? 7 7 7 7 所以 MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ……………11 分 3 3 3 3 7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3 7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ………………………………………12 分 3 9 2 2 3k ? 5 7 6k 49 ? (1 ? k 2 ) 2 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9 x1 ? x2 ? ?

10


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