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2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5两角和与差及二倍角的三角函数第1课时学案理北

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§4.5 三角恒等变形

最新考纲

考情考向分析

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、

三角恒等变换是三角变换的工具, 主要考查利用两角和与差的三角函 数公式、二倍角公式进行三角函数 的化简与求值,重在考查化简、求 值,公式的正用、逆用以及变式运 用,可单独考查,也可与三角函数

正切公式,了解它们的内在联系.

的图象和性质、向量等知识综合考

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导 查,加强转化与化归思想的应用意

出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组 识.选择、填空、解答题均有可能

公式不要求记忆).

出现,中低档难度.

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β (C(α -β ))

cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β (C(α +β ))

sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β (S(α -β ))

sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β (S(α +β ))

tan(α

-β

)=1t+antaαn

-tan α tan

β β

(T(α

-β

))

tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

(T(α

+β

))

1

2.二倍角公式 sin 2α =2sin α cos α ; cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; tan 2α =12-tatnanα2α .

知识拓展

1.降幂公式:cos2α

1+cos =2



,sin2α

1-cos =2



.

2.升幂公式:1+cos 2α =2cos2α ,1-cos 2α =2sin2α .

3.辅助角公式:asin x+bcos x=

a2+b2sin(x+φ ),其中 sin φ =

b a2+b2,cos φ =

a a2+b2 .

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( √ )

(2)对任意角 α

都有 1+sin

α =???sin

α 2

+cos

α 2

???2.(



)

(3)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × )

(4)公式 tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

可以变形为 tan

α

+tan β

=tan(α

+β

)(1-tan

α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( × )

题组二 教材改编

2.若 cos

4 α =-5,α

是第三象限的角,则 sin???α +π4 ???等于(

)

2

2

72 72

A.- 10 B. 10 C.- 10 D. 10

答案 C 解析 ∵α 是第三象限角, ∴sin α =- 1-cos2α =-35,

∴sin???α +π4 ???=-35× 22+???-45???× 22=-7102.

3.sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°=

.

2

答案

2 2

解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°

=sin(58°+77°)=sin 135°= 22.

4.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°=

.

答案 3 解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=1t-anta2n0°20+°ttaann 4400°°, ∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)

= 3- 3tan 20°tan 40°,

∴原式= 3- 3tan 20°tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3.

题组三 易错自纠

cos 40°

5.化简:



.

cos 25°· 1-sin 40°

答案 2

解析 原式=

cos 40°

cos 25° 1-cos 50°



cos 40°

= cos 40° = 2.

cos 25°· 2sin 25° 22sin 50°

6.(2018·昆明模拟)若 tan α =13,tan(α +β )=12,则 tan β =

.

1 答案 7

解析

tan

β

=tan[(α

+β

)-α

]=1t+ant?aαn?+α β+?β-?ttaann

α α

=1+12-12×13 13=17.

7.(2018·烟台模拟)已知 θ

∈???0,π2 ???,且 sin???θ

-π4

???=

2 10 ,则

tan





.

3

答案 -274

解析

方法一

sin???θ

-π4

???=

2 10 ,得

sin

θ

-cos

θ

1 =5,①

θ ∈???0,π2 ???,①平方得 2sin θ cos θ =2254,

7

4

3

可求得 sin θ +cos θ =5,∴sin θ =5,cos θ =5,

∴tan θ =43,tan 2θ =12-tatnanθ2θ =-274.

方法二

∵θ

∈???0,π2 ???且 sin???θ

-π4

???=

2 10 ,

∴cos???θ -π4 ???=7102,

∴tan???θ -π4 ???=17=t1a+ntθan-θ1,∴tan θ =43.

故 tan



=12-tatnanθ2θ

24 =- 7 .

第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一 和差公式的直接应用

1.(2018·青岛调研)已知 sin α =35,α ∈???π2 ,π ???,tan(π -β )=12,则 tan(α -β )

的值为( )

2 2 11

11

A.-11 B.11 C. 2 D.- 2

答案 A

解析

∵α

∈???π2 ,π

???,∴tan

α

3 =-4,又 tan

β

1 =-2,

∴tan(α

-β

)=1+tatnanα

-tan β α ·tan

β

=1+???--2143???+×21???-34???=-121.

4

2.(2017·山西太原五中模拟)已知角 α 为锐角,若 sin???α -π6 ???=13,则 cos???α -π3 ???等于
()

A.2

6+1 6

B.3-8 2

C.3+8 2

D.2

3-1 6

答案 A
解析 由于角 α 为锐角,且 sin???α -π6 ???=13,

则 cos???α -π6 ???=2 3 2,



cos???α

-π3 ???=cos??????α

-π6 ???-π6 ???=cos???α

-π6 ???cosπ6

+sin???α

-π6 ???sinπ6 =2 3 2×

3 2

+13×12=2 66+1,

故选 A.

sin 110°sin 20°

3.计算cos2155°-sin2155°的值为



答案

1 2

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° 解析 cos2155°-sin2155°= cos 310°

=cos c2o0s°5s0i°n 20°=12ssiinn 4400°°=12.

思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.

题型二 和差公式的灵活应用

命题点 1 角的变换

典例 (1)设 α ,β 都是锐角,且 cos α = 55,sin(α +β )=35,则 cos β =

.

答案

25 25

5

解析 依题意得 sin α = 1-cos2α =2 5 5,

因为 sin(α +β )=35<sin α 且 α +β >α ,

所以 α +β ∈???π2 ,π ???,所以 cos(α +β )=-45.

于是 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α

=-45× 55+35×2 5 5=2255.

(2)(2017·泰安模拟)已知 cos(75°+α )=13,则 cos(30°-2α )的值为



答案

7 9

1 解析 cos(75°+α )=sin(15°-α )=3,

∴cos(30°-2α )=1-2sin2(15°-α )=1-29=79.

命题点 2 三角函数式的变换

典例

?1+sin (1)化简:

θ

+cos θ ????sin
2+2cos θ

θ 2

-cos

θ 2

???

(0<θ



);

1+cos 20° (2)求值: 2sin 20° -sin

10°???tan15°-tan

5°???.



(1)由 θ

∈(0,π ),得 0<θ2 <π2 ,∴cos

θ 2

>0,

∴ 2+2cos θ =

4cos2θ2 =2cos

θ 2

.

又(1+sin

θ

+cos

θ

)???sin

θ 2

-cos

θ 2

???

=???2sin

θ 2

cos

θ 2

+2cos2θ2

??????sin

θ 2

-cos

θ 2

???

=2cos

θ 2

???sin2θ2

-cos2θ2

???

=-2cos

θ 2

cos

θ

.

6

-2cos

θ 2

cos

θ

故原式=

2cos

θ 2

=-cos θ .

2cos210° (2)原式=2×2sin 10°cos

10°-sin

10°???scions

55°°-scions

55° °???

cos 10°

cos25°-sin25°

=2sin 10°-sin 10°· sin 5°cos 5°

=2csoisn 1100°°-sin

10°·12csoisn

10° 10°

cos 10°

cos 10°-2sin 20°

=2sin 10°-2cos 10°=

2sin 10°

=cos

10°-2sin?30°-10°? 2sin 10°

cos =

10°-2???12cos 10°-
2sin 10°

3 2 sin

10°???



3sin 2sin

1100°°=

23.

引申探究

?1+sin 化简:

θ

-cos θ ????sin
2-2cos θ

θ 2

-cos

θ 2

???

(0<θ



).



∵0<θ2 <π2 ,∴

2-2cos

θ

=2sin

θ 2



又 1+sin

θ

-cos

θ

=2sin

θ 2

cos

θ 2

+2sin2θ2

=2sin

θ 2

???sin

θ 2

+cos

θ 2

???

2sin ∴原式=

θ 2

???sin

θ 2

+cos

θ 2

??????sin

2sin

θ 2

θ 2

-cos

θ 2

???

=-cos θ .

思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已

知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”

有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.

(2)常见的配角技巧:2α

=(α

+β

)+(α

-β

),α

=(α

+β

)-β

,β

=α

+β 2

-α

-β 2



7

α

=α

+β 2

+α

-β 2

,α

-β 2

=???α

+β2

???-???α2

+β

???等.

跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算:

cos 10°- 3cos?-100°?= 1-sin 10°

.(用数字作答)

答案 2

解析 cos 10°- 3cos?-100°?=cos 10°+ 3cos 80°

1-sin 10°

1-cos 80°

=cos 10°+ 3sin 10°=2sin?10°+30°?= 2.

2·sin 40°

2·sin 40°

(2)(2017·南充模拟)已知 α ∈???0,π2 ???,β ∈???0,π2 ???,且 cos α =17,cos(α +β )=-1141,

则 sin β =

.

答案

3 2

解析 由已知可得 sin α =4 7 3,sin(α +β )=5143,

∴sin β =sin[(α +β )-α ]=sin(α +β )·cos α -cos(α +β )sin α =5143×17-

???-1114???×4 7 3= 23.

用联系的观点进行三角变形

典例 (1)设 α 为锐角,若 cos???α +π6 ???=45,则 sin???2α +π12??? 的值为



(2)(1+tan 17°)·(1+tan 28°)的值为



(3)已知 sin α =35,α ∈???π2 ,π ???,则

cos 2α =
2sin???α +π4 ???

.

思想方法指导 三角变形的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变形中可

以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.

解析 (1)∵α 为锐角且 cos???α +π6 ???=45>0,

∴α +π6 ∈???π6 ,π2 ???,∴sin???α +π6 ???=35.

∴sin???2α +π12???=sin???2???α +π6 ???-π4 ???

8

=sin

2???α

+π6 ???cos

π 4

-cos

2???α

+π6 ???sin

π 4

= 2sin???α +π6 ???cos???α +π6 ???- 22???2cos2???α +π6 ???-1???



34 2×5×5-

22???2×???45???2-1???

12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 .

(2)原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°

=1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28°

=1+1=2.

(3) cos 2α =

cos2α -sin2α

2sin???α +π4 ??? 2??? 22sin α + 22cos α ???

=cos α -sin α ,

∵sin

α

3 =5,α

∈???π2 ,π ???,

∴cos α =-45,∴原式=-75.

17 2

7

答案 (1) 50 (2)2 (3)-5

1.(2017·山西五校联考)若 cos θ =23,θ 为第四象限角,则 cos???θ +π4 ???的值为(

)

A.

2+ 6

10

B.2

2+ 6

10

2- 10 C. 6

2 2- 10 D. 6

答案 B

解析 由 cos θ =23,θ 为第四象限角,

5 得 sin θ =- 3 ,

9

故 cos???θ +π4 ???= 22(cos θ -sin θ )= 22×???23+ 35???=2

2+ 6

10.故选 B.

2.(2018·成都模拟)若 sin α =45,则 sin???α +π4 ???- 22cos α 等于(

)

A.2 5 2

B.-2 5 2

C.4 5 2

D.-4 5 2

答案 A

解析

sin???α

+π4 ???-

2 2 cos

α

=sin

α

cos

π 4

+cos

α

sin

π 4



2 2 cos

α

4 =5×

2 22 2= 5 .

3.(2017·西安检测)已知 α 是第二象限角,且 tan α =-13,则 sin 2α 等于(

)

A.-3

10 10

B.3

10 10

3

3

C.-5

D.5

答案 C 1
解析 因为 α 是第二象限角,且 tan α =-3,

所以 sin α = 1100,cos α =-3 1010,

所以 sin 2α =2sin α cos α =2× 1100×???-3 1010???=-35,
故选 C.

4.(2017·河南洛阳一模)设 a=cos 50°cos 127°+cos 40°sin 127°,b= 22(sin 56°

-cos 56°),c=11- +ttaann223399° °,则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>a>b

D.a>c>b

答案 D

解析 a=sin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°

=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,

b=

2 2 (sin

56°-cos

56°)=

2 2 sin

56°-

2 2 cos

56°

=sin(56°-45°)=sin 11°,

10

cos239°-sin239° cos239°
c=sin239°+cos239°=cos239°-sin239°=cos 78°=sin 12°, cos239°

∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.

5.已知 sin α =35且 α 为第二象限角,则 tan???2α +π4 ???等于(

)

19

5

31

17

A.- 5 B.-19 C.-17 D.-31

答案 D

4

24

解析 由题意得 cos α =-5,则 sin 2α =-25,

cos 2α =2cos2α -1=275.

24 ∴tan 2α =- 7 ,

∴tan???2α

+π4

tan 2α
???=1-tan

+tanπ4 2α tanπ4

24 - 7 +1
=1-???-274???×1

17 =-31.

6.已知 sin 2α =23,则 cos2???α +π4 ???等于(

)

A.16

B.13

1

2

C.2

D.3

答案 A

解析

因为 cos2???α

1+cos
+π4 ???=

2???α
2

+π4 ???

=1+cos???22α +π2 ???=1-si2n 2α ,

2

所以 cos2???α

+π4 ???=1-si2n



1-3 1 = 2 =6,故选 A.

7.(2018·新疆乌鲁木齐一诊)2cos

10°-sin sin 70°

20°的值是(

)

11

A.12

B.

3 2

C. 3

D. 2

答案 C

解析 原式=2cos?30°s-i2n0° 70°?-sin 20°

=2?cos

30°·cos

20°+sin 30°·sin sin 70°

20°?-sin

20°

= c3ocsos202°0°= 3.

1 8.已知锐角 α ,β 满足 sin α -cos α =6,tan α +tan β + 3tan α tan β = 3,

则 α ,β 的大小关系是( )

A.α <π4 <β

B.β <π4 <α

C.π4 <α <β

D.π4 <β <α

答案 B 解析 ∵α 为锐角,sin α -cos α =16>0,∴π4 <α <π2 .

又 tan α +tan β + 3tan α tan β = 3,

∴tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β



3,

∴α +β =π3 ,又 α >π4 ,∴β <π4 <α .

9.(2017·江苏)若 tan???α -π4 ???=16,则 tan α =

.

7 答案 5

解析

方法一

∵tan???α -π4 ???=1t+antaαn-αttaannππ44

=t1a+ntαan-α1=16, ∴6tan α -6=1+tan α (tan α ≠-1), ∴tan α =75.

12

方法二 tan α =tan??????α -π4 ???+π4 ???

=1t-ant???aαn???-α π4-???π+4 ???ttaannπ4π4

16+1 7 =1-16=5.

10.(2018·河南八市质检)化简:1-2ttaann?42?54°5°--αα? ?·csoisn2αα-cossinα2α =

.

答案

1 2

12sin 2α 解析 原式=tan(90°-2α )· cos 2α

=scions??9900° °- -22αα

??·12·scions

2α 2α

=csoisn

2α 2α

·12·scions

2α 2α

=12.

11.已知 sin α +cos α =13,则 sin2???π4 -α ???=

.

答案

17 18

解析 由 sin α +cos α =13,两边平方得 1+sin 2α =19,

8 解得 sin 2α =-9,

所以 sin2???π4 -α ???=1-cos???2π2 -2α ???

8

1-sin =2



1+9 17 = 2 =18.

12.(2018·吉林模拟)已知 sin(α -β )cos α -cos(β -α )sin α =35,β 是第三象限角,

则 sin???β +5π4 ???=

.

答案

72 10

解析 依题意可将已知条件变形为

3

3

sin[(α -β )-α ]=-sin β =5,sin β =-5.

13

又 β 是第三象限角,所以 cos β =-45.

所以 sin???β +54π ???=-sin???β +π4 ???

=-sin

β

cos

π 4

-cos

β

sin

π 4

3 2 4 2 72 =5× 2 +5× 2 = 10 .

14

13.(2017·河北衡水中学调研)若 α ∈???π2 ,π ???,且 3cos 2α =sin???π4 -α ???,则 sin 2α

的值为( )

11

17 17

A.-18 B.18 C.-18 D.18

答案 C

解析 由 3cos 2α =sin???π4 -α ???可得

3(cos2α

-sin2α

)=

2 2 (cos

α

-sin

α

),

又由 α ∈???π2 ,π ???可知 cos α -sin α ≠0,

于是 3(cos α +sin α )= 22,

1

17

所以 1+2sin α ·cos α =18,故 sin 2α =-18.故选 C.

14.已知 cos???π4 +θ ???cos???π4 -θ ???=14,则 sin4θ +cos4θ 的值为



答案

5 8

解析 因为 cos???π4 +θ ???cos???π4 -θ ???

=??? 22cos θ - 22sin θ ?????? 22cos θ + 22sin θ ???
=12(cos2θ -sin2θ )=12cos 2θ =14.

所以 cos 2θ =12.

故 sin4θ +cos4θ =???1-co2s 2θ ???2+???1+co2s 2θ ???2
=116+196=58.

15.(2017·武汉调研)设 α ,β ∈[0,π ],且满足 sin α cos β -cos α sin β =1,则

sin(2α -β )+sin(α -2β )的取值范围为



答案 [-1,1]

15

解析 由 sin α cos β -cos α sin β =1,得 sin(α -β )=1, 又 α ,β ∈[0,π ],∴α -β =π2 ,

??0≤α ≤π , ∴???0≤β =α -π2 ≤π ,

即π2 ≤α ≤π ,

∴sin(2α -β )+sin(α -2β )
=sin???2α -α +π2 ???+sin(α -2α +π ) =cos α +sin α = 2sin???α +π4 ???.
∵π2 ≤α ≤π ,∴34π ≤α +π4 ≤54π ,

∴-1≤ 2sin???α +π4 ???≤1,
即取值范围为[-1,1]. 16.(2017·合肥模拟)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)·sin 2x+12cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及递减区间;
(2)若 α ∈(0,π ),且 f???α4 -π8 ???= 22,求 tan???α +π3 ??? 的值. 解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+12cos 4x =cos 2xsin 2x+12cos 4x

=12(sin 4x+cos 4x)= 22sin???4x+π4 ???, ∴f(x)的最小正周期 T=π2 . 令 2kπ +π2 ≤4x+π4 ≤2kπ +32π ,k∈Z, 得kπ2 +1π6≤x≤kπ2 +51π6 ,k∈Z. ∴f(x)的递减区间为???kπ2 +π16,k2π +51π6 ???,k∈Z. (2)∵f???α4 -π8 ???= 22,∴sin???α -π4 ???=1.

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∵α ∈(0,π ),-π4 <α -π4 <34π ,

∴α -π4 =π2 ,故 α =34π .

因此

tan???α

+π3

???=1t-ant3a4πn3+4πttaannπ3π3

=-1+ 1+

3=2- 3

3.

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