2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5两角和与差及二倍角的三角函数第1课时学案理北

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§4.5 三角恒等变形

最新考纲

考情考向分析

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式． 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、

三角恒等变换是三角变换的工具， 主要考查利用两角和与差的三角函 数公式、二倍角公式进行三角函数 的化简与求值，重在考查化简、求 值，公式的正用、逆用以及变式运 用，可单独考查，也可与三角函数

正切公式，了解它们的内在联系．

的图象和性质、向量等知识综合考

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导 查，加强转化与化归思想的应用意

出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组 识．选择、填空、解答题均有可能

公式不要求记忆).

出现，中低档难度.

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β (C(α －β ))

cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β (C(α ＋β ))

sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β (S(α －β ))

sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β (S(α ＋β ))

tan(α

－β

)＝1t＋antaαn

－tan α tan

β β

(T(α

－β

))

tan(α

＋β

)＝1t－antaαn

＋tan α tan

β β

(T(α

＋β

))

1

2．二倍角公式 sin 2α ＝2sin α cos α ； cos 2α ＝cos2α －sin2α ＝2cos2α －1＝1－2sin2α ； tan 2α ＝12－tatnanα2α .

知识拓展

1．降幂公式：cos2α

1＋cos ＝2

2α

，sin2α

1－cos ＝2

2α

.

2．升幂公式：1＋cos 2α ＝2cos2α ，1－cos 2α ＝2sin2α .

3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝

a2＋b2sin(x＋φ )，其中 sin φ ＝

b a2＋b2，cos φ ＝

a a2＋b2 .

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数 α ，β ，使等式 sin(α ＋β )＝sin α ＋sin β 成立．( √ )

(2)对任意角 α

都有 1＋sin

α ＝???sin

α 2

＋cos

α 2

???2.(

√

)

(3)y＝3sin x＋4cos x 的最大值是 7.( × )

(4)公式 tan(α

＋β

)＝1t－antaαn

＋tan α tan

β β

可以变形为 tan

α

＋tan β

＝tan(α

＋β

)(1－tan

α tan β )，且对任意角 α ，β 都成立．( × )

题组二 教材改编

2．若 cos

4 α ＝－5，α

是第三象限的角，则 sin???α ＋π4 ???等于(

)

2

2

72 72

A．－ 10 B. 10 C．－ 10 D. 10

答案 C 解析 ∵α 是第三象限角， ∴sin α ＝－ 1－cos2α ＝－35，

∴sin???α ＋π4 ???＝－35× 22＋???－45???× 22＝－7102.

3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝

.

2

答案

2 2

解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°

＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.

4．tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝

.

答案 3 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝1t－anta2n0°20＋°ttaann 4400°°， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)

＝ 3－ 3tan 20°tan 40°，

∴原式＝ 3－ 3tan 20°tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.

题组三 易错自纠

cos 40°

5．化简：

＝

.

cos 25°· 1－sin 40°

答案 2

解析 原式＝

cos 40°

cos 25° 1－cos 50°

＝

cos 40°

＝ cos 40° ＝ 2.

cos 25°· 2sin 25° 22sin 50°

6．(2018·昆明模拟)若 tan α ＝13，tan(α ＋β )＝12，则 tan β ＝

.

1 答案 7

解析

tan

β

＝tan[(α

＋β

)－α

]＝1t＋ant?aαn?＋α β＋?β－?ttaann

α α

＝1＋12－12×13 13＝17.

7．(2018·烟台模拟)已知 θ

∈???0，π2 ???，且 sin???θ

－π4

???＝

2 10 ，则

tan

2θ

＝

.

3

答案 －274

解析

方法一

sin???θ

－π4

???＝

2 10 ，得

sin

θ

－cos

θ

1 ＝5，①

θ ∈???0，π2 ???，①平方得 2sin θ cos θ ＝2254，

7

4

3

可求得 sin θ ＋cos θ ＝5，∴sin θ ＝5，cos θ ＝5，

∴tan θ ＝43，tan 2θ ＝12－tatnanθ2θ ＝－274.

方法二

∵θ

∈???0，π2 ???且 sin???θ

－π4

???＝

2 10 ，

∴cos???θ －π4 ???＝7102，

∴tan???θ －π4 ???＝17＝t1a＋ntθan－θ1，∴tan θ ＝43.

故 tan

2θ

＝12－tatnanθ2θ

24 ＝－ 7 .

第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一 和差公式的直接应用

1．(2018·青岛调研)已知 sin α ＝35，α ∈???π2 ，π ???，tan(π －β )＝12，则 tan(α －β )

的值为( )

2 2 11

11

A．－11 B.11 C. 2 D．－ 2

答案 A

解析

∵α

∈???π2 ，π

???，∴tan

α

3 ＝－4，又 tan

β

1 ＝－2，

∴tan(α

－β

)＝1＋tatnanα

－tan β α ·tan

β

＝1＋???－－2143???＋×21???－34???＝－121.

4

2．(2017·山西太原五中模拟)已知角 α 为锐角，若 sin???α －π6 ???＝13，则 cos???α －π3 ???等于
()

A.2

6＋1 6

B.3－8 2

C.3＋8 2

D.2

3－1 6

答案 A
解析 由于角 α 为锐角，且 sin???α －π6 ???＝13，

则 cos???α －π6 ???＝2 3 2，

则

cos???α

－π3 ???＝cos??????α

－π6 ???－π6 ???＝cos???α

－π6 ???cosπ6

＋sin???α

－π6 ???sinπ6 ＝2 3 2×

3 2

＋13×12＝2 66＋1，

故选 A.

sin 110°sin 20°

3．计算cos2155°－sin2155°的值为

．

答案

1 2

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° 解析 cos2155°－sin2155°＝ cos 310°

＝cos c2o0s°5s0i°n 20°＝12ssiinn 4400°°＝12.

思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

题型二 和差公式的灵活应用

命题点 1 角的变换

典例 (1)设 α ，β 都是锐角，且 cos α ＝ 55，sin(α ＋β )＝35，则 cos β ＝

.

答案

25 25

5

解析 依题意得 sin α ＝ 1－cos2α ＝2 5 5，

因为 sin(α ＋β )＝35<sin α 且 α ＋β >α ，

所以 α ＋β ∈???π2 ，π ???，所以 cos(α ＋β )＝－45.

于是 cos β ＝cos[(α ＋β )－α ] ＝cos(α ＋β )cos α ＋sin(α ＋β )sin α

＝－45× 55＋35×2 5 5＝2255.

(2)(2017·泰安模拟)已知 cos(75°＋α )＝13，则 cos(30°－2α )的值为

．

答案

7 9

1 解析 cos(75°＋α )＝sin(15°－α )＝3，

∴cos(30°－2α )＝1－2sin2(15°－α )＝1－29＝79.

命题点 2 三角函数式的变换

典例

?1＋sin (1)化简：

θ

＋cos θ ????sin
2＋2cos θ

θ 2

－cos

θ 2

???

(0<θ

<π

)；

1＋cos 20° (2)求值： 2sin 20° －sin

10°???tan15°－tan

5°???.

解

(1)由 θ

∈(0，π )，得 0<θ2 <π2 ，∴cos

θ 2

>0，

∴ 2＋2cos θ ＝

4cos2θ2 ＝2cos

θ 2

.

又(1＋sin

θ

＋cos

θ

)???sin

θ 2

－cos

θ 2

???

＝???2sin

θ 2

cos

θ 2

＋2cos2θ2

??????sin

θ 2

－cos

θ 2

???

＝2cos

θ 2

???sin2θ2

－cos2θ2

???

＝－2cos

θ 2

cos

θ

.

6

－2cos

θ 2

cos

θ

故原式＝

2cos

θ 2

＝－cos θ .

2cos210° (2)原式＝2×2sin 10°cos

10°－sin

10°???scions

55°°－scions

55° °???

cos 10°

cos25°－sin25°

＝2sin 10°－sin 10°· sin 5°cos 5°

＝2csoisn 1100°°－sin

10°·12csoisn

10° 10°

cos 10°

cos 10°－2sin 20°

＝2sin 10°－2cos 10°＝

2sin 10°

＝cos

10°－2sin?30°－10°? 2sin 10°

cos ＝

10°－2???12cos 10°－
2sin 10°

3 2 sin

10°???

＝

3sin 2sin

1100°°＝

23.

引申探究

?1＋sin 化简：

θ

－cos θ ????sin
2－2cos θ

θ 2

－cos

θ 2

???

(0<θ

<π

)．

解

∵0<θ2 <π2 ，∴

2－2cos

θ

＝2sin

θ 2

，

又 1＋sin

θ

－cos

θ

＝2sin

θ 2

cos

θ 2

＋2sin2θ2

＝2sin

θ 2

???sin

θ 2

＋cos

θ 2

???

2sin ∴原式＝

θ 2

???sin

θ 2

＋cos

θ 2

??????sin

2sin

θ 2

θ 2

－cos

θ 2

???

＝－cos θ .

思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已

知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”

有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．

(2)常见的配角技巧：2α

＝(α

＋β

)＋(α

－β

)，α

＝(α

＋β

)－β

，β

＝α

＋β 2

－α

－β 2

，

7

α

＝α

＋β 2

＋α

－β 2

，α

－β 2

＝???α

＋β2

???－???α2

＋β

???等．

跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算：

cos 10°－ 3cos?－100°?＝ 1－sin 10°

.(用数字作答)

答案 2

解析 cos 10°－ 3cos?－100°?＝cos 10°＋ 3cos 80°

1－sin 10°

1－cos 80°

＝cos 10°＋ 3sin 10°＝2sin?10°＋30°?＝ 2.

2·sin 40°

2·sin 40°

(2)(2017·南充模拟)已知 α ∈???0，π2 ???，β ∈???0，π2 ???，且 cos α ＝17，cos(α ＋β )＝－1141，

则 sin β ＝

.

答案

3 2

解析 由已知可得 sin α ＝4 7 3，sin(α ＋β )＝5143，

∴sin β ＝sin[(α ＋β )－α ]＝sin(α ＋β )·cos α －cos(α ＋β )sin α ＝5143×17－

???－1114???×4 7 3＝ 23.

用联系的观点进行三角变形

典例 (1)设 α 为锐角，若 cos???α ＋π6 ???＝45，则 sin???2α ＋π12??? 的值为

．

(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为

．

(3)已知 sin α ＝35，α ∈???π2 ，π ???，则

cos 2α ＝
2sin???α ＋π4 ???

.

思想方法指导 三角变形的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变形中可

以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．

解析 (1)∵α 为锐角且 cos???α ＋π6 ???＝45>0，

∴α ＋π6 ∈???π6 ，π2 ???，∴sin???α ＋π6 ???＝35.

∴sin???2α ＋π12???＝sin???2???α ＋π6 ???－π4 ???

8

＝sin

2???α

＋π6 ???cos

π 4

－cos

2???α

＋π6 ???sin

π 4

＝ 2sin???α ＋π6 ???cos???α ＋π6 ???－ 22???2cos2???α ＋π6 ???－1???

＝

34 2×5×5－

22???2×???45???2－1???

12 2 7 2 17 2 ＝ 25 － 50 ＝ 50 .

(2)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°

＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°

＝1＋1＝2.

(3) cos 2α ＝

cos2α －sin2α

2sin???α ＋π4 ??? 2??? 22sin α ＋ 22cos α ???

＝cos α －sin α ，

∵sin

α

3 ＝5，α

∈???π2 ，π ???，

∴cos α ＝－45，∴原式＝－75.

17 2

7

答案 (1) 50 (2)2 (3)－5

1．(2017·山西五校联考)若 cos θ ＝23，θ 为第四象限角，则 cos???θ ＋π4 ???的值为(

)

A.

2＋ 6

10

B.2

2＋ 6

10

2－ 10 C. 6

2 2－ 10 D. 6

答案 B

解析 由 cos θ ＝23，θ 为第四象限角，

5 得 sin θ ＝－ 3 ，

9

故 cos???θ ＋π4 ???＝ 22(cos θ －sin θ )＝ 22×???23＋ 35???＝2

2＋ 6

10.故选 B.

2．(2018·成都模拟)若 sin α ＝45，则 sin???α ＋π4 ???－ 22cos α 等于(

)

A.2 5 2

B．－2 5 2

C.4 5 2

D．－4 5 2

答案 A

解析

sin???α

＋π4 ???－

2 2 cos

α

＝sin

α

cos

π 4

＋cos

α

sin

π 4

－

2 2 cos

α

4 ＝5×

2 22 2＝ 5 .

3．(2017·西安检测)已知 α 是第二象限角，且 tan α ＝－13，则 sin 2α 等于(

)

A．－3

10 10

B.3

10 10

3

3

C．－5

D.5

答案 C 1
解析 因为 α 是第二象限角，且 tan α ＝－3，

所以 sin α ＝ 1100，cos α ＝－3 1010，

所以 sin 2α ＝2sin α cos α ＝2× 1100×???－3 1010???＝－35，
故选 C.

4．(2017·河南洛阳一模)设 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝ 22(sin 56°

－cos 56°)，c＝11－ ＋ttaann223399° °，则 a，b，c 的大小关系是(

)

A．a>b>c

B．b>a>c

C．c>a>b

D．a>c>b

答案 D

解析 a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°

＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，

b＝

2 2 (sin

56°－cos

56°)＝

2 2 sin

56°－

2 2 cos

56°

＝sin(56°－45°)＝sin 11°，

10

cos239°－sin239° cos239°
c＝sin239°＋cos239°＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°， cos239°

∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.

5．已知 sin α ＝35且 α 为第二象限角，则 tan???2α ＋π4 ???等于(

)

19

5

31

17

A．－ 5 B．－19 C．－17 D．－31

答案 D

4

24

解析 由题意得 cos α ＝－5，则 sin 2α ＝－25，

cos 2α ＝2cos2α －1＝275.

24 ∴tan 2α ＝－ 7 ，

∴tan???2α

＋π4

tan 2α
???＝1－tan

＋tanπ4 2α tanπ4

24 － 7 ＋1
＝1－???－274???×1

17 ＝－31.

6．已知 sin 2α ＝23，则 cos2???α ＋π4 ???等于(

)

A.16

B.13

1

2

C.2

D.3

答案 A

解析

因为 cos2???α

1＋cos
＋π4 ???＝

2???α
2

＋π4 ???

＝1＋cos???22α ＋π2 ???＝1－si2n 2α ，

2

所以 cos2???α

＋π4 ???＝1－si2n

2α

1－3 1 ＝ 2 ＝6，故选 A.

7．(2018·新疆乌鲁木齐一诊)2cos

10°－sin sin 70°

20°的值是(

)

11

A.12

B.

3 2

C. 3

D. 2

答案 C

解析 原式＝2cos?30°s－i2n0° 70°?－sin 20°

＝2?cos

30°·cos

20°＋sin 30°·sin sin 70°

20°?－sin

20°

＝ c3ocsos202°0°＝ 3.

1 8．已知锐角 α ，β 满足 sin α －cos α ＝6，tan α ＋tan β ＋ 3tan α tan β ＝ 3，

则 α ，β 的大小关系是( )

A．α <π4 <β

B．β <π4 <α

C.π4 <α <β

D.π4 <β <α

答案 B 解析 ∵α 为锐角，sin α －cos α ＝16>0，∴π4 <α <π2 .

又 tan α ＋tan β ＋ 3tan α tan β ＝ 3，

∴tan(α

＋β

)＝1t－antaαn

＋tan α tan

β β

＝

3，

∴α ＋β ＝π3 ，又 α >π4 ，∴β <π4 <α .

9．(2017·江苏)若 tan???α －π4 ???＝16，则 tan α ＝

.

7 答案 5

解析

方法一

∵tan???α －π4 ???＝1t＋antaαn－αttaannππ44

＝t1a＋ntαan－α1＝16， ∴6tan α －6＝1＋tan α (tan α ≠－1)， ∴tan α ＝75.

12

方法二 tan α ＝tan??????α －π4 ???＋π4 ???

＝1t－ant???aαn???－α π4－???π＋4 ???ttaannπ4π4

16＋1 7 ＝1－16＝5.

10．(2018·河南八市质检)化简：1－2ttaann?42?54°5°－－αα? ?·csoisn2αα－cossinα2α ＝

.

答案

1 2

12sin 2α 解析 原式＝tan(90°－2α )· cos 2α

＝scions??9900° °－ －22αα

??·12·scions

2α 2α

＝csoisn

2α 2α

·12·scions

2α 2α

＝12.

11．已知 sin α ＋cos α ＝13，则 sin2???π4 －α ???＝

.

答案

17 18

解析 由 sin α ＋cos α ＝13，两边平方得 1＋sin 2α ＝19，

8 解得 sin 2α ＝－9，

所以 sin2???π4 －α ???＝1－cos???2π2 －2α ???

8

1－sin ＝2

2α

1＋9 17 ＝ 2 ＝18.

12．(2018·吉林模拟)已知 sin(α －β )cos α －cos(β －α )sin α ＝35，β 是第三象限角，

则 sin???β ＋5π4 ???＝

.

答案

72 10

解析 依题意可将已知条件变形为

3

3

sin[(α －β )－α ]＝－sin β ＝5，sin β ＝－5.

13

又 β 是第三象限角，所以 cos β ＝－45.

所以 sin???β ＋54π ???＝－sin???β ＋π4 ???

＝－sin

β

cos

π 4

－cos

β

sin

π 4

3 2 4 2 72 ＝5× 2 ＋5× 2 ＝ 10 .

14

13．(2017·河北衡水中学调研)若 α ∈???π2 ，π ???，且 3cos 2α ＝sin???π4 －α ???，则 sin 2α

的值为( )

11

17 17

A．－18 B.18 C．－18 D.18

答案 C

解析 由 3cos 2α ＝sin???π4 －α ???可得

3(cos2α

－sin2α

)＝

2 2 (cos

α

－sin

α

)，

又由 α ∈???π2 ，π ???可知 cos α －sin α ≠0，

于是 3(cos α ＋sin α )＝ 22，

1

17

所以 1＋2sin α ·cos α ＝18，故 sin 2α ＝－18.故选 C.

14．已知 cos???π4 ＋θ ???cos???π4 －θ ???＝14，则 sin4θ ＋cos4θ 的值为

．

答案

5 8

解析 因为 cos???π4 ＋θ ???cos???π4 －θ ???

＝??? 22cos θ － 22sin θ ?????? 22cos θ ＋ 22sin θ ???
＝12(cos2θ －sin2θ )＝12cos 2θ ＝14.

所以 cos 2θ ＝12.

故 sin4θ ＋cos4θ ＝???1－co2s 2θ ???2＋???1＋co2s 2θ ???2
＝116＋196＝58.

15．(2017·武汉调研)设 α ，β ∈[0，π ]，且满足 sin α cos β －cos α sin β ＝1，则

sin(2α －β )＋sin(α －2β )的取值范围为

．

答案 [－1,1]

15

解析 由 sin α cos β －cos α sin β ＝1，得 sin(α －β )＝1， 又 α ，β ∈[0，π ]，∴α －β ＝π2 ，

??0≤α ≤π ， ∴???0≤β ＝α －π2 ≤π ，

即π2 ≤α ≤π ，

∴sin(2α －β )＋sin(α －2β )
＝sin???2α －α ＋π2 ???＋sin(α －2α ＋π ) ＝cos α ＋sin α ＝ 2sin???α ＋π4 ???.
∵π2 ≤α ≤π ，∴34π ≤α ＋π4 ≤54π ，

∴－1≤ 2sin???α ＋π4 ???≤1，
即取值范围为[－1,1]． 16．(2017·合肥模拟)已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋12cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及递减区间；
(2)若 α ∈(0，π )，且 f???α4 －π8 ???＝ 22，求 tan???α ＋π3 ??? 的值． 解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋12cos 4x

＝12(sin 4x＋cos 4x)＝ 22sin???4x＋π4 ???， ∴f(x)的最小正周期 T＝π2 . 令 2kπ ＋π2 ≤4x＋π4 ≤2kπ ＋32π ，k∈Z， 得kπ2 ＋1π6≤x≤kπ2 ＋51π6 ，k∈Z. ∴f(x)的递减区间为???kπ2 ＋π16，k2π ＋51π6 ???，k∈Z. (2)∵f???α4 －π8 ???＝ 22，∴sin???α －π4 ???＝1.

16

∵α ∈(0，π )，－π4 <α －π4 <34π ，

∴α －π4 ＝π2 ，故 α ＝34π .

因此

tan???α

＋π3

???＝1t－ant3a4πn3＋4πttaannπ3π3

＝－1＋ 1＋

3＝2－ 3

3.

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