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§4.5 三角恒等变形
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、
三角恒等变换是三角变换的工具, 主要考查利用两角和与差的三角函 数公式、二倍角公式进行三角函数 的化简与求值,重在考查化简、求 值,公式的正用、逆用以及变式运 用,可单独考查,也可与三角函数
正切公式,了解它们的内在联系.
的图象和性质、向量等知识综合考
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导 查,加强转化与化归思想的应用意
出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组 识.选择、填空、解答题均有可能
公式不要求记忆).
出现,中低档难度.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β (C(α -β ))
cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β (C(α +β ))
sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β (S(α -β ))
sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β (S(α +β ))
tan(α
-β
)=1t+antaαn
-tan α tan
β β
(T(α
-β
))
tan(α
+β
)=1t-antaαn
+tan α tan
β β
(T(α
+β
))
1
2.二倍角公式 sin 2α =2sin α cos α ; cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; tan 2α =12-tatnanα2α .
知识拓展
1.降幂公式:cos2α
1+cos =2
2α
,sin2α
1-cos =2
2α
.
2.升幂公式:1+cos 2α =2cos2α ,1-cos 2α =2sin2α .
3.辅助角公式:asin x+bcos x=
a2+b2sin(x+φ ),其中 sin φ =
b a2+b2,cos φ =
a a2+b2 .
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( √ )
(2)对任意角 α
都有 1+sin
α =???sin
α 2
+cos
α 2
???2.(
√
)
(3)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × )
(4)公式 tan(α
+β
)=1t-antaαn
+tan α tan
β β
可以变形为 tan
α
+tan β
=tan(α
+β
)(1-tan
α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( × )
题组二 教材改编
2.若 cos
4 α =-5,α
是第三象限的角,则 sin???α +π4 ???等于(
)
2
2
72 72
A.- 10 B. 10 C.- 10 D. 10
答案 C 解析 ∵α 是第三象限角, ∴sin α =- 1-cos2α =-35,
∴sin???α +π4 ???=-35× 22+???-45???× 22=-7102.
3.sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°=
.
2
答案
2 2
解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°
=sin(58°+77°)=sin 135°= 22.
4.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°=
.
答案 3 解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=1t-anta2n0°20+°ttaann 4400°°, ∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)
= 3- 3tan 20°tan 40°,
∴原式= 3- 3tan 20°tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3.
题组三 易错自纠
cos 40°
5.化简:
=
.
cos 25°· 1-sin 40°
答案 2
解析 原式=
cos 40°
cos 25° 1-cos 50°
=
cos 40°
= cos 40° = 2.
cos 25°· 2sin 25° 22sin 50°
6.(2018·昆明模拟)若 tan α =13,tan(α +β )=12,则 tan β =
.
1 答案 7
解析
tan
β
=tan[(α
+β
)-α
]=1t+ant?aαn?+α β+?β-?ttaann
α α
=1+12-12×13 13=17.
7.(2018·烟台模拟)已知 θ
∈???0,π2 ???,且 sin???θ
-π4
???=
2 10 ,则
tan
2θ
=
.
3
答案 -274
解析
方法一
sin???θ
-π4
???=
2 10 ,得
sin
θ
-cos
θ
1 =5,①
θ ∈???0,π2 ???,①平方得 2sin θ cos θ =2254,
7
4
3
可求得 sin θ +cos θ =5,∴sin θ =5,cos θ =5,
∴tan θ =43,tan 2θ =12-tatnanθ2θ =-274.
方法二
∵θ
∈???0,π2 ???且 sin???θ
-π4
???=
2 10 ,
∴cos???θ -π4 ???=7102,
∴tan???θ -π4 ???=17=t1a+ntθan-θ1,∴tan θ =43.
故 tan
2θ
=12-tatnanθ2θ
24 =- 7 .
第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
1.(2018·青岛调研)已知 sin α =35,α ∈???π2 ,π ???,tan(π -β )=12,则 tan(α -β )
的值为( )
2 2 11
11
A.-11 B.11 C. 2 D.- 2
答案 A
解析
∵α
∈???π2 ,π
???,∴tan
α
3 =-4,又 tan
β
1 =-2,
∴tan(α
-β
)=1+tatnanα
-tan β α ·tan
β
=1+???--2143???+×21???-34???=-121.
4
2.(2017·山西太原五中模拟)已知角 α 为锐角,若 sin???α -π6 ???=13,则 cos???α -π3 ???等于
()
A.2
6+1 6
B.3-8 2
C.3+8 2
D.2
3-1 6
答案 A
解析 由于角 α 为锐角,且 sin???α -π6 ???=13,
则 cos???α -π6 ???=2 3 2,
则
cos???α
-π3 ???=cos??????α
-π6 ???-π6 ???=cos???α
-π6 ???cosπ6
+sin???α
-π6 ???sinπ6 =2 3 2×
3 2
+13×12=2 66+1,
故选 A.
sin 110°sin 20°
3.计算cos2155°-sin2155°的值为
.
答案
1 2
sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° 解析 cos2155°-sin2155°= cos 310°
=cos c2o0s°5s0i°n 20°=12ssiinn 4400°°=12.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.
题型二 和差公式的灵活应用
命题点 1 角的变换
典例 (1)设 α ,β 都是锐角,且 cos α = 55,sin(α +β )=35,则 cos β =
.
答案
25 25
5
解析 依题意得 sin α = 1-cos2α =2 5 5,
因为 sin(α +β )=35<sin α 且 α +β >α ,
所以 α +β ∈???π2 ,π ???,所以 cos(α +β )=-45.
于是 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α
=-45× 55+35×2 5 5=2255.
(2)(2017·泰安模拟)已知 cos(75°+α )=13,则 cos(30°-2α )的值为
.
答案
7 9
1 解析 cos(75°+α )=sin(15°-α )=3,
∴cos(30°-2α )=1-2sin2(15°-α )=1-29=79.
命题点 2 三角函数式的变换
典例
?1+sin (1)化简:
θ
+cos θ ????sin
2+2cos θ
θ 2
-cos
θ 2
???
(0<θ
<π
);
1+cos 20° (2)求值: 2sin 20° -sin
10°???tan15°-tan
5°???.
解
(1)由 θ
∈(0,π ),得 0<θ2 <π2 ,∴cos
θ 2
>0,
∴ 2+2cos θ =
4cos2θ2 =2cos
θ 2
.
又(1+sin
θ
+cos
θ
)???sin
θ 2
-cos
θ 2
???
=???2sin
θ 2
cos
θ 2
+2cos2θ2
??????sin
θ 2
-cos
θ 2
???
=2cos
θ 2
???sin2θ2
-cos2θ2
???
=-2cos
θ 2
cos
θ
.
6
-2cos
θ 2
cos
θ
故原式=
2cos
θ 2
=-cos θ .
2cos210° (2)原式=2×2sin 10°cos
10°-sin
10°???scions
55°°-scions
55° °???
cos 10°
cos25°-sin25°
=2sin 10°-sin 10°· sin 5°cos 5°
=2csoisn 1100°°-sin
10°·12csoisn
10° 10°
cos 10°
cos 10°-2sin 20°
=2sin 10°-2cos 10°=
2sin 10°
=cos
10°-2sin?30°-10°? 2sin 10°
cos =
10°-2???12cos 10°-
2sin 10°
3 2 sin
10°???
=
3sin 2sin
1100°°=
23.
引申探究
?1+sin 化简:
θ
-cos θ ????sin
2-2cos θ
θ 2
-cos
θ 2
???
(0<θ
<π
).
解
∵0<θ2 <π2 ,∴
2-2cos
θ
=2sin
θ 2
,
又 1+sin
θ
-cos
θ
=2sin
θ 2
cos
θ 2
+2sin2θ2
=2sin
θ 2
???sin
θ 2
+cos
θ 2
???
2sin ∴原式=
θ 2
???sin
θ 2
+cos
θ 2
??????sin
2sin
θ 2
θ 2
-cos
θ 2
???
=-cos θ .
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已
知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”
有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧:2α
=(α
+β
)+(α
-β
),α
=(α
+β
)-β
,β
=α
+β 2
-α
-β 2
,
7
α
=α
+β 2
+α
-β 2
,α
-β 2
=???α
+β2
???-???α2
+β
???等.
跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算:
cos 10°- 3cos?-100°?= 1-sin 10°
.(用数字作答)
答案 2
解析 cos 10°- 3cos?-100°?=cos 10°+ 3cos 80°
1-sin 10°
1-cos 80°
=cos 10°+ 3sin 10°=2sin?10°+30°?= 2.
2·sin 40°
2·sin 40°
(2)(2017·南充模拟)已知 α ∈???0,π2 ???,β ∈???0,π2 ???,且 cos α =17,cos(α +β )=-1141,
则 sin β =
.
答案
3 2
解析 由已知可得 sin α =4 7 3,sin(α +β )=5143,
∴sin β =sin[(α +β )-α ]=sin(α +β )·cos α -cos(α +β )sin α =5143×17-
???-1114???×4 7 3= 23.
用联系的观点进行三角变形
典例 (1)设 α 为锐角,若 cos???α +π6 ???=45,则 sin???2α +π12??? 的值为
.
(2)(1+tan 17°)·(1+tan 28°)的值为
.
(3)已知 sin α =35,α ∈???π2 ,π ???,则
cos 2α =
2sin???α +π4 ???
.
思想方法指导 三角变形的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变形中可
以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.
解析 (1)∵α 为锐角且 cos???α +π6 ???=45>0,
∴α +π6 ∈???π6 ,π2 ???,∴sin???α +π6 ???=35.
∴sin???2α +π12???=sin???2???α +π6 ???-π4 ???
8
=sin
2???α
+π6 ???cos
π 4
-cos
2???α
+π6 ???sin
π 4
= 2sin???α +π6 ???cos???α +π6 ???- 22???2cos2???α +π6 ???-1???
=
34 2×5×5-
22???2×???45???2-1???
12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 .
(2)原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°
=1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28°
=1+1=2.
(3) cos 2α =
cos2α -sin2α
2sin???α +π4 ??? 2??? 22sin α + 22cos α ???
=cos α -sin α ,
∵sin
α
3 =5,α
∈???π2 ,π ???,
∴cos α =-45,∴原式=-75.
17 2
7
答案 (1) 50 (2)2 (3)-5
1.(2017·山西五校联考)若 cos θ =23,θ 为第四象限角,则 cos???θ +π4 ???的值为(
)
A.
2+ 6
10
B.2
2+ 6
10
2- 10 C. 6
2 2- 10 D. 6
答案 B
解析 由 cos θ =23,θ 为第四象限角,
5 得 sin θ =- 3 ,
9
故 cos???θ +π4 ???= 22(cos θ -sin θ )= 22×???23+ 35???=2
2+ 6
10.故选 B.
2.(2018·成都模拟)若 sin α =45,则 sin???α +π4 ???- 22cos α 等于(
)
A.2 5 2
B.-2 5 2
C.4 5 2
D.-4 5 2
答案 A
解析
sin???α
+π4 ???-
2 2 cos
α
=sin
α
cos
π 4
+cos
α
sin
π 4
-
2 2 cos
α
4 =5×
2 22 2= 5 .
3.(2017·西安检测)已知 α 是第二象限角,且 tan α =-13,则 sin 2α 等于(
)
A.-3
10 10
B.3
10 10
3
3
C.-5
D.5
答案 C 1
解析 因为 α 是第二象限角,且 tan α =-3,
所以 sin α = 1100,cos α =-3 1010,
所以 sin 2α =2sin α cos α =2× 1100×???-3 1010???=-35,
故选 C.
4.(2017·河南洛阳一模)设 a=cos 50°cos 127°+cos 40°sin 127°,b= 22(sin 56°
-cos 56°),c=11- +ttaann223399° °,则 a,b,c 的大小关系是(
)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
答案 D
解析 a=sin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°
=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,
b=
2 2 (sin
56°-cos
56°)=
2 2 sin
56°-
2 2 cos
56°
=sin(56°-45°)=sin 11°,
10
cos239°-sin239° cos239°
c=sin239°+cos239°=cos239°-sin239°=cos 78°=sin 12°, cos239°
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.
5.已知 sin α =35且 α 为第二象限角,则 tan???2α +π4 ???等于(
)
19
5
31
17
A.- 5 B.-19 C.-17 D.-31
答案 D
4
24
解析 由题意得 cos α =-5,则 sin 2α =-25,
cos 2α =2cos2α -1=275.
24 ∴tan 2α =- 7 ,
∴tan???2α
+π4
tan 2α
???=1-tan
+tanπ4 2α tanπ4
24 - 7 +1
=1-???-274???×1
17 =-31.
6.已知 sin 2α =23,则 cos2???α +π4 ???等于(
)
A.16
B.13
1
2
C.2
D.3
答案 A
解析
因为 cos2???α
1+cos
+π4 ???=
2???α
2
+π4 ???
=1+cos???22α +π2 ???=1-si2n 2α ,
2
所以 cos2???α
+π4 ???=1-si2n
2α
1-3 1 = 2 =6,故选 A.
7.(2018·新疆乌鲁木齐一诊)2cos
10°-sin sin 70°
20°的值是(
)
11
A.12
B.
3 2
C. 3
D. 2
答案 C
解析 原式=2cos?30°s-i2n0° 70°?-sin 20°
=2?cos
30°·cos
20°+sin 30°·sin sin 70°
20°?-sin
20°
= c3ocsos202°0°= 3.
1 8.已知锐角 α ,β 满足 sin α -cos α =6,tan α +tan β + 3tan α tan β = 3,
则 α ,β 的大小关系是( )
A.α <π4 <β
B.β <π4 <α
C.π4 <α <β
D.π4 <β <α
答案 B 解析 ∵α 为锐角,sin α -cos α =16>0,∴π4 <α <π2 .
又 tan α +tan β + 3tan α tan β = 3,
∴tan(α
+β
)=1t-antaαn
+tan α tan
β β
=
3,
∴α +β =π3 ,又 α >π4 ,∴β <π4 <α .
9.(2017·江苏)若 tan???α -π4 ???=16,则 tan α =
.
7 答案 5
解析
方法一
∵tan???α -π4 ???=1t+antaαn-αttaannππ44
=t1a+ntαan-α1=16, ∴6tan α -6=1+tan α (tan α ≠-1), ∴tan α =75.
12
方法二 tan α =tan??????α -π4 ???+π4 ???
=1t-ant???aαn???-α π4-???π+4 ???ttaannπ4π4
16+1 7 =1-16=5.
10.(2018·河南八市质检)化简:1-2ttaann?42?54°5°--αα? ?·csoisn2αα-cossinα2α =
.
答案
1 2
12sin 2α 解析 原式=tan(90°-2α )· cos 2α
=scions??9900° °- -22αα
??·12·scions
2α 2α
=csoisn
2α 2α
·12·scions
2α 2α
=12.
11.已知 sin α +cos α =13,则 sin2???π4 -α ???=
.
答案
17 18
解析 由 sin α +cos α =13,两边平方得 1+sin 2α =19,
8 解得 sin 2α =-9,
所以 sin2???π4 -α ???=1-cos???2π2 -2α ???
8
1-sin =2
2α
1+9 17 = 2 =18.
12.(2018·吉林模拟)已知 sin(α -β )cos α -cos(β -α )sin α =35,β 是第三象限角,
则 sin???β +5π4 ???=
.
答案
72 10
解析 依题意可将已知条件变形为
3
3
sin[(α -β )-α ]=-sin β =5,sin β =-5.
13
又 β 是第三象限角,所以 cos β =-45.
所以 sin???β +54π ???=-sin???β +π4 ???
=-sin
β
cos
π 4
-cos
β
sin
π 4
3 2 4 2 72 =5× 2 +5× 2 = 10 .
14
13.(2017·河北衡水中学调研)若 α ∈???π2 ,π ???,且 3cos 2α =sin???π4 -α ???,则 sin 2α
的值为( )
11
17 17
A.-18 B.18 C.-18 D.18
答案 C
解析 由 3cos 2α =sin???π4 -α ???可得
3(cos2α
-sin2α
)=
2 2 (cos
α
-sin
α
),
又由 α ∈???π2 ,π ???可知 cos α -sin α ≠0,
于是 3(cos α +sin α )= 22,
1
17
所以 1+2sin α ·cos α =18,故 sin 2α =-18.故选 C.
14.已知 cos???π4 +θ ???cos???π4 -θ ???=14,则 sin4θ +cos4θ 的值为
.
答案
5 8
解析 因为 cos???π4 +θ ???cos???π4 -θ ???
=??? 22cos θ - 22sin θ ?????? 22cos θ + 22sin θ ???
=12(cos2θ -sin2θ )=12cos 2θ =14.
所以 cos 2θ =12.
故 sin4θ +cos4θ =???1-co2s 2θ ???2+???1+co2s 2θ ???2
=116+196=58.
15.(2017·武汉调研)设 α ,β ∈[0,π ],且满足 sin α cos β -cos α sin β =1,则
sin(2α -β )+sin(α -2β )的取值范围为
.
答案 [-1,1]
15
解析 由 sin α cos β -cos α sin β =1,得 sin(α -β )=1, 又 α ,β ∈[0,π ],∴α -β =π2 ,
??0≤α ≤π , ∴???0≤β =α -π2 ≤π ,
即π2 ≤α ≤π ,
∴sin(2α -β )+sin(α -2β )
=sin???2α -α +π2 ???+sin(α -2α +π ) =cos α +sin α = 2sin???α +π4 ???.
∵π2 ≤α ≤π ,∴34π ≤α +π4 ≤54π ,
∴-1≤ 2sin???α +π4 ???≤1,
即取值范围为[-1,1]. 16.(2017·合肥模拟)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)·sin 2x+12cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及递减区间;
(2)若 α ∈(0,π ),且 f???α4 -π8 ???= 22,求 tan???α +π3 ??? 的值. 解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+12cos 4x =cos 2xsin 2x+12cos 4x
=12(sin 4x+cos 4x)= 22sin???4x+π4 ???, ∴f(x)的最小正周期 T=π2 . 令 2kπ +π2 ≤4x+π4 ≤2kπ +32π ,k∈Z, 得kπ2 +1π6≤x≤kπ2 +51π6 ,k∈Z. ∴f(x)的递减区间为???kπ2 +π16,k2π +51π6 ???,k∈Z. (2)∵f???α4 -π8 ???= 22,∴sin???α -π4 ???=1.
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∵α ∈(0,π ),-π4 <α -π4 <34π ,
∴α -π4 =π2 ,故 α =34π .
因此
tan???α
+π3
???=1t-ant3a4πn3+4πttaannπ3π3
=-1+ 1+
3=2- 3
3.
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