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2015年上海高考文科数学真题试卷(有答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文

2015 年上海市文科试题
一.填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个 空格填对得 4 分,否则一律零分) 1.函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin 2 x 的最小正周期为. 2.设全集 U ? R .若集合 A ? {1,2,3,4} , B ? {x | 2 ? x ? 3} ,则 A ? (CU B) ? . 3.若复数 z 满足 3z ? z ? 1 ? i ,其中 i 是虚数单位,则 z ? . 4.设 f
?1

( x) 为 f ( x ) ?

x 的反函数,则 f ?1 (2) ? . 2x ?1

5.若线性方程组的增广矩阵为 ? ?

? 2 3 c1 ? ?x ? 3 ? 解为 ? ,则 c1 ? c2 ? . ? ? 0 1 c2 ? ?y ? 5

6.若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为 16 3 ,则 a ? . 7.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的懂点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p ? . 8. 方程 log2 (9 x?1 ? 5) ? log2 (3x?1 ? 2) ? 2 的解为.

?x ? y ? 0 ? 9.若 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 f ? x ? 2 y 的最大值为. ?y ? 0 ?
10. 在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的 选取方式的种数为 11.在 ( 2 x ? (结果用数值表示). (结果用数值表示).

1 6 ) 的二项式中,常数项等于 x2

12.已知双曲线 C1 、 C2 的顶点重合, C1 的方程为 条渐近线的斜率的 2 倍,则 C2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,若 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一 4

13.已知平面向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ,且 {| a |, | b |, | c |} ? { 1,2,3} ,则 | a ? b ? c | 的最大值是

x . 若 存 在 x1 , x2 , ? ? ? , xm 满 足 0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6? , 且 14. 已 知 函 数 f ( x) ? s i n

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm?1 ) ? f ( xm ) |? 12 (m ? 12, m ? N? ) ,则 m 的最小值


二.选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号 上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15. 设 z1 、 z2 ? C ,则“ z1 、 z2 均为实数”是“ z1 ? z2 是实数”的( ).

A. 充分非必要条件 C.充要条件 16. 下列不等式中,与不等式
2

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

x ?8 ? 2 解集相同的是( x ? 2x ? 3

).

A. ( x ? 8)(x 2 ? 2 x ? 3) ? 2

B. x ? 8 ? 2( x 2 ? 2 x ? 3)

1 2 ? C. 2 x ? 2x ? 3 x ? 8

x2 ? 2x ? 3 1 ? D. x ?8 2

17. 已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 ( ). A.

? 至 OB ,则点 B 的纵坐标为 3

3 3 2
11 2

B.

5 3 2
13 2

C.

D.

18. 设 P n ( xn , yn ) 是 直 线 2 x ? y ?

n (n ? N ? ) 与 圆 x2 ? y 2 ? 2 在 第 一 象 限 的 交 点 , 则 极 限 n ?1

lim
n ??

yn ? 1 ?( xn ? 1
A. ? 1 C. 1

).

B. ? D.

1 2
2

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 如图,圆锥的顶点为 P ,底面圆为 O ,底面的一条直径为 AB , C 为半圆弧 AB 的中点, E 为劣 弧 CB 的中点,已知 PO ? 2, OA ? 1 ,求三棱锥 P ? AOC 的体积,并求异面直线 PA 和 OE 所成角的 大小.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

1 ,其中 a 为常数 x (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 a ? (1,3) ,判断函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上的单调性,并说明理由.
已知函数 f ( x ) ? ax ?
2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, O, P, Q 三地有直道相通, OP ? 3 千米, PQ ? 4 千米, OQ ? 5 千米,现甲、乙两警员 同时从 O 地出发匀速前往 Q 地, 经过 t 小时, 他们之间的距离为 f (t )(单位: 千米) .甲的路线是 OQ , 速度为 5 千米/小时,乙的路线是 OPQ ,速度为 8 千米/小时,乙到达 Q 地后在原地等待.设 t ? t1 时, 乙到达 P 地, t ? t2 时,乙到达 Q 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米,当 t1 ? t ? t2 时,求 f (t ) 的表达式,并判断 f (t ) 在 [t1, t2 ] 上的最大值是否超过 3?说明理由.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 1 , 过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A 、B 和 C 、D , 记 ?AOC 的面积为 S .

C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离, (1)设 A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) , 用A、 并证明 S ?
(2)设 l1 : y ? kx , C ?

1 x1 y2 ? x2 y1 ; 2

? 3 3? 1 , ? , S ? ,求 k 的值; 3 ? 3 3 ? (3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 和 l2 如何变动,面积 S 保持不变.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ), n ? N * . (1)若 bn ? 3n ? 5, 且 a1 ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?an ? 的第 n0 项是最大项,即 an0 ? an (n ? N *) ,求证: ?bn ? 的第 n0 项是最大项; (3) 设 a1 ? 3? ? 0 , bn ? ? (n ? N *) , 求 ? 的 取 值 范 围 , 使 得 对 任 意 m, n ? N * , an ? 0 , 且
n

am ? 1 ? ? ? ,6 ? an ? 6 ?
答案 一、 (第 1 题至第 14 题)

1.

?

2.{1.4}

3.

1 1 ? i 4 2
11.240 18.A

4. ?

2 3

5.16

6. 4

7. 2

8. 2

9. 3

10. 120

x2 y 2 12. ? ?1 4 4

13. 3 ? 5

14.8

二、 (第 15 题至第 18 题) 15 .A 16.B 17.D 三、 (第 19 题至第 23 题) 19.[解] VP ? AOC ? 因 为 A C

1 1 1 ? ?2 ? 3 2 3 O , E所 以 ?PAC 为 异 面 直 线 PA 与 OE 所 成 的 角 或 其 补 角

由 PO ? 2, OA ? OC ? 1 ,得 PA ? PC ? 5 , AC ? 2

10 10 ,故异面直线 PA 与 OE 所成的角的大小为 arccos 10 10 20.[解](1) f ( x ) 的定义域为 {x x ? 0, x ? R} ,关于原点对称,
在 PAC 中,由余弦定理得 cos ?PAC ?

1 1 ? ax 2 ? , ?x x 当 a ? 0 时, f (? x) ? ? f ( x) 为奇函数 当 a ? 0 时,由 f (1) ? a ? 1, f (?1) ? a ? 1 ,知 f (?1) ? ? f(1) ,故 f ( x ) 即不是奇函数也不是偶函数。 (2)设 1 ? x1<x2 ? 2 ,则 f (? x) ? a (? x) 2 ?

? 1 1 1 ? ? ax12 ? ? ( x2 ? x1 ) ?a( x1 ? x2 ) ? ?, x2 x1 x1 x2 ? ? 由 1 ? x1<x2 ? 2 ,得 x2 ? x1 >0, 2< x1 ? x2 <4, 1< x1 x2 <4, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ax2 2 ?
1 1 <- ,又 1< a <3,所以 2< a( x1 ? x2 ) <12, x1 x2 4 1 得 a( x1 ? x2 ) >0,从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) >0,即 f ( x2 )>f ( x1 ) ,故当 a ? (1,3) 时, x1 x2 f ( x) 在[1,2]上单调递增。 ?1< ?
21.[解](1) t1 ?

3 8

记乙到 P 时甲所在地为 R,则 OR=

15 千米。 8 3 41 (千米) 8

在 OPR 中,PR2=OP2+OR22OP·ORcos ? O,所以 f (t1 ) ? PR ? (2) t2 ?

7 , 8

如图建立平面直角坐标系。设经过 t 小时,甲、乙所在位置分别为 M,N.

当 t ? ? , ? 时, M (3t , 4t ), N(3,8t ? 3), 8 8

?3 7 ? ? ?

f (t ) ? (3 t ? 3) 2 ? (?4 t ? 3) 2 ? 25t 2 ? 42t ? 18

?3 7 ? ? 3 ? 3 41 ,不超过 3 f (t ) 在 ? , ? 上的最大值是 f ? ? ? 8 ?8 8 ? ?8?
22.[证](1)直线 l1 : yx ? xy ? 0 ,点 C 到 l1 的距离 d ?

y1 x2 ? x1 y2 x12 ? y12

因为 OA ? 所以 S ?

x12 ? y12 ,

1 1 OA d ? x1 y2 ? x2 y1 . 2 2 ? y ? kx 1 2 [解](2)由 ? 2 ,得 x1 ? 2 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 1

由(1) ,S ?

3 k ?1 1 1 3 3 x1 y x y ? 1 x ? 1 kx ? 2 ? 21 2 2 3 3 6 1 ? 2k 2

由题意,

1 1 ? ,解得 k ? ? 或-1 5 6 1 ? 2k 2 3

3 k ?1

[解](3)设 l1 : y ? kx ,则 l2 : y ? 设 A( x1, y1 ) , C( x2 , y2 ) 由?

m x. k

? y ? kx
2 2

?x ? 2 y ? 1 1 k2 同理 x2 2 ? 、 ? 2 k ? 2m 2 ?m? 1? 2? ? ?k?
由(1),
2 k2 ? m 1 1 x1 ? mx2 1 k ?m , S ? x1 y2 ? x2 y1 ? ? x2 ? kx1 ? ? ? x1 x2 = 2 2 k 2 k 2 1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2m 2 整理得 (8S 2 ?1) k 4 ? (4S 2 ? 16S 2m2 ? 2m) k 2 ? (8S 2 ?1)m2 ? 0 ? 2 1 S ? 2 ? ?8S ? 1 ? 0 1 ? ? 8 由题意知 S 与 k 无关,则 ? 2 ,得 ? ,所以 m ? ? 2 2 ?4 S ? 16 S m ? 2m ? 0 ? ?m ? ? 1 ? ? 2 23.[解](1)由 bn?1 ? bn ? 3 ,得 an?1 ? an ? 6 ,

,得 x1 ?
2

1 1 ? 2k 2

所以 ?an ? 是首项为 1,公差为 6 的等差数列, 故 ?an ? 的通项公式为 an = 6n ? 5 , n ? N

[证](2)由 an?1 ? an ? 2 ?bn?1 ? bn ? ,得 an?1 ? 2bn?1 ? an ? 2bn 所以 ?an ? 2bn ? 为常数列, an ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 an ? 2bn ? a1 ? 2b1 因为 an0 ? an , n ? N ,所以 2bn0 ? a1 ? 2b1 ? 2bn ? a1 ? 2b 1 ,即 bn 0 ? bn 故 ?bn ? 的第 n0 项是最大项 [解](3)因为 bn ? ? n ,所以 an ?1 ? an ? 2(? n?1 ? ? n ) , = =

当 n ? 2 时, an ? ? an ? an-1 ? ? ? an-1 ? an-2 ? +?+ ? a2 ? a1 ? ? a1

2 ? ? n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? 3?

当 n ? 1 时, a1 ? 3? ,符合上式 所以 an ? 2? n ? ? 因为 a1 ? 3? <0,且对任意 n ? N , 于是 ? ? ? ?

?2? n ? ?

a1 ? 1 ? ? ? , 6 ? ,故 an <0,特别地 2? ? ? <0 an ? 6 ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

此时对任意 n ? N , an ? 0 当?

1 2n 2 n ?1 ? ? ? ? ,由指数函数的单调性知, < ? <0 时, a1n ? 2 ? ? ? ? ? ,a 2 n ?1 ? ?2 ? 2

?an ? 的最大值为 a2 ? 2? 2 ? ? ? 0 ,最小值为 a1 ? 3? ,由题意,
2? ? 1 1 3 1 a1 3 ? 及 。由 <6,解得 ? ? ? ? 0 ? 3 6 2? ? 1 4 a2 2? ? 1
综上所述, ? 的取值范围为 ? ?

am 的最大值及最小值分别为 an

? 1 ? ,0? . ? 4 ?


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