2~3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件 (人教版选修4-4)

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1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
? ?x＝asec φ， 数方程是? ? ?y＝btan φ

规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)

π 3π 且 φ≠ ，φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
? ?x＝btan φ， 数方程是? ? ?y＝asec φ.

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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
2 ? ?x＝2pt ， 的参数方程为? ? ?y＝2pt

t∈R.

(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．

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[例 1]

? ?x＝2 3tan (1)双曲线? ? ?y＝6sec α

α，

(α 为参数)的焦点坐

标是________． ?x＝tan t， ? (2)将方程? 1－cos 2t ?y＝1＋cos 2t ? [思路点拨] 用代入法消去 t.

化为普通方程是________．

(1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利

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[解析]

? ?x＝2 3tan (1)将? ? ?y＝6sec α

α，

y2 x2 化为 － ＝1， 36 12

可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，± 4 3)． 1－cos 2t 2sin2t 2 (2)由 y＝ ＝ 2 ＝tan t， 1＋cos 2t 2cos t 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程．
[答案] (1)(0，± 4 3)；(2)y＝x2.

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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．

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? ?x＝sec θ， 1．如果双曲线? ? ?y＝6tan θ

(θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点

的距离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是________．

解析：由双曲线参数方程可知a＝1， 故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.

答案：10或6

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? ?y＝2t， 2．过抛物线? 2 ? x ＝ t ?

(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于

A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 两点，如果 x2 ＋ x2 ＝ 6. 则 |AB| ＝ ________.

y2 解析：化为普通方程是：x＝ 即 y2＝4x，∴p＝2. 4 ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.

答案：8

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[例2]

连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长

OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它 是何曲线． [思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利

用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类

型．

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[解 ]

设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在 OM

的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程
? ?x＝2t， 为? 2 ? ?y＝2t ? ?x0＝4t， 用中点公式得? 2 ? ?y0＝4t .

1 2 变形为 y0＝ x0，即 P 点的轨迹方程为 x2＝4y. 4 表示抛物线．

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在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表

示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及
曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示 点的坐标．

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3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦 点，证明：|F1P|· |F2P|＝|OP|2.
证明：如图，设双曲线上的动点为 P(x，y)， 焦点 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，双曲线的参
? ?x＝sec θ， 数方程为? ? ?y＝tan θ.

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则：(|F1P|· |F2P|)2 ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· |F2P|＝|OP|2.

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4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动

点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．

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解： 根据条件， 设点 M， A， B 的坐标分别为(x， y)， (2pt2 1， 2pt1)，(2pt2 t2≠0)，则 2，2pt2)(t1≠t2，且 t1·
OM ＝(x，y)， OA ＝(2pt2 1，2pt1)，
2 OB ＝(2pt2 ，2pt2)， 2 AB ＝(2p(t2 2－t1)，2p(t2－t1))．

OB ＝0，即 因为 OA ⊥ OB ，所以 OA ·

(2pt1t2)2＋(2p)2t1t2＝0， 所以 t1t2＝－1. 因为 OM ⊥ AB ，所以 OM · AB ＝0，即
2 2px(t2 － t 2 1)＋2py(t2－t1)＝0，

①

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所以 x(t1＋t2)＋y＝0， y 即 t1＋t2＝－x(x≠0)． 因为 AM ＝(x－2pt2 1，y－2pt1)，
2 －x,2pt2－y)，且 A，M，B 三点共线， MB ＝(2pt2 2 所以(x－2pt2 )(2 pt － y ) ＝ ( y － 2 pt )(2 pt 1 2 1 2－x)，

②

化简，得 y(t1＋t2)－2pt1t2－x＝0. 将①，②代入③，得到 y y(－x)＋2p－x＝0， 即 x2＋y2－2px＝0(x≠0)， 这就是点 M 的轨迹方程．

③

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