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高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(1)


3.4

基本不等式(学案)
(第 1 课时)

【知识要点】 1.基本不等式及其成立的条件; 2.利用基本不等式求最值. 【学习要求】 1. 了解基本不等式的证明过程; 2. 掌握基本不等式成立的条件; 3. 会应用基本不等式求最值.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 97 页~第 99 页) 1.在如右图赵爽的弦图中,正方形 ABCD 的面积为 ,四个 直角三角形的面积为 ;由这两个面积的大小关系 可得基本不等式 ,其中等号成立的条件为 . 2.如果 a ? 0, b ? 0 ,用 可得基本不等式 代替 , a ? b ? 2ab
2 2

(当且仅当,等号成立).

3.分析法证明 a ? b ? 2 ab ,要证 a ? b ? 2 ab ,只要证 a ? b ? 2 ab ? 0 , 即证

? 0, 当且仅当

时,等号成立. ( a ? 0, b ? 0 ) ;使用该不等式求最值时,要注意

4. a ? b ? 2 ab 可化为 ab ?

的前提条件为: (1)a ? 0, b ? 0 ; (2)积或和为定值; (3)当且仅当 a ? b 时,等号成立, 即 记为“一正,二定,三相等” . 5.正数 a , b 的算术平均数是 数不小于它们的几何平均数. 【基础练习】 1.下列不等式成立的是 ;正数 a , b 的几何平均数是 ;正数 a , b 的算术平均

? ?. ? B? ? ?
? ?

a?b 1 1 ? ? ab C x ? ? 2 D x 2 ? 2 ? 2 . 2 x x 1 2. x ? 0, 当 x 为 时, x ? 的值最小,且最小值为 . x 1 1 2 2 3.已知函数 y ? 3 x ? 2 ,当 x = 时, y ? 3 x ? 2 有最小值为 . x x ab
1

? A? a ? b ? 2

4.已知



,则

的最小值为



【典型例题】 例1 已知 x, y 都是正数,求证: 如果积 xy 是定值,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 p .

【变式练习】 (1)求函数 y ? x ?

4 ( x ? 0) 的最小值_______. x
的最大值_______.

(2)求函数

(3)已知

,求函数

的最小值____.

(4)已知 例2

,不等式

恒成立,则实数 的范围____.

已知 x, y 都是正数,求证:

如果和 x ? y 是定值,那么当 x ? y 时,积 xy 有最大值

1 2 s . 4

【变式练习】 1.已知 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ? 2 ,则 xy 的最大值为

.

2. 已知 0 ? x ? 2, 则 y ? x(2 ? x) 的最大值
2 3. 已知 0 ? x ? , 求 y ? x(2 ? 3x) 的最大值. 3

.

a 例 3 (1) 已知 a, b, c 都是实数, 求证: ? b ? c ?
2 2 2

1 2 ? a ? b ? c ? ? ab ? bc ? ac; 3

(2)设 a, b, c 都是正数,求证:
2 2 2

bc ca ab ? ? ? a ? b ? c. a b c
2 2 2

证明: (1)? a ? b ? 2ab, b ? c ? 2bc, a ? c ? 2ac,

?2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2ab ? 2bc ? 2ac ?????? ①
即 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ?????? ②
2 2 2
2 2 2 2 2 2 在①式两边同时加上 a ? b ? c 得 3(a ? b ? c ) ? ? a ? b ? c ? . 2

2

即a ?b ?c ?
2 2 2

1 2 ?a ? b ? c? . 3
2

在②式两边同时加上 2ab ? 2bc ? 2ac 得 ? a ? b ? c ? ? 3 ? ab ? bc ? ac ? .

1 2 ? a ? b ? c ? ? ? ab ? bc ? ac ? . 3 1 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a ? b ? c ? ? ab ? bc ? ac. 3 bc ac ab , 都是正数. (2)? a, b, c 都是正数,? , a b c bc ac ab bc ab ac ? ? ? 2c, ? ? 2b, ? ? 2a. a b c a c b bc ca ab ? ) ? 2( a ? b ? c). 相加得 2( ? a b c bc ca ab ? ? ? a ? b ? c. 故 a b c


1.下列推理过程正确的是

? ?.
b a ? ?2 a b cos x ? 1 ?2 cos x

a ? A ? 若 a , b ? R, 则 b ? b ? 2 a

1 ? B ? 若 x ? 0, 则 cos x ? cos x ? 2

? C ? 若 x ? 0, 则 x ? 4 ? 2 x

x?

4 ?4 x

? D? 若 a, b ? R, ab ? 0, 则 b ? a ? ? ?? ? a ? ? ? ? b ?? ? ?2 ? ? ?? ??
a b ?? b ? ? a ? ?
2. 下列函数中最小值为 4 的是

? a ?? b ? ? ? ?? ? ? ? ?2 ? b ?? a ?

? ?.
4 (0 ? x ? ? ) sin x

? A?

y ? x?

4 x

( B ) y ? sin x ?

? C ? y ? 3x ? 4 ? 3? x ? D?

y ? lg x ? 4log x 10.

3. 已知 0 ? x ? 1, 求 y ? x(3 ? 3x) 的最大值时 x 的值

? ?.

? A? 1 ? B ? 1 ? C ? 3 ? D ? 2 . 3 2 4 3
3

4. 已知 a, b ? R, a ? b ? 3, 则 2 ? 2 的最小值是
a b

? ?.
6.

? A? 6 ? B ? 4
5. 设 x ? ?1, ,函数 y ?

2

? C ? 2 3 ? D? 2

x2 ? 2x ? 2 的图象最低点的坐标为 x ?1

? ?.

? A? (1, 2) ? B ? (1, ?2) ? C ? (1,1) ? D? (0, 2).
6. (1)若



的最____值为_____,此时 =___.

(2)若



的最____值为_____,此时 =______.
时,它们的和最小. 时,它们的积最大. .

7. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取 (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取 8.. 若 x ? 1, y ? 1 ,则 log x y ? log y x 的取值范围 9. 设 x ? ?1, 求函数 y ?

? x ? 5?? x ? 2 ? 的最小值.
x ?1

10. 求 y ? 3 ? lg x ?

4 的值域. lg x
2

2 2 ? a ?b ? a ?b 11. 已知 a , b 都是正数,求证: ab ? ? ? . ? 2 ? 2 ?

12. 已知 a , b 都是正数,求证: ab ? bc ? ac ? a ? b ? c ?

a 2 ? b2 b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? ? . 2 2 2

1. (2007 年山东)函数 y ? a1?x (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0 上,则

1 1 ? 的最小值是 m n

.

2. (2007 年北京)如果正数满足,那么 ?

?.

? A?

ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 ? B ? ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一
4

?C ? ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 ? D? ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不
唯一.

5

必修 5

3.4 基本不等式(学案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.了解基本不等式的证明过程; 2. 掌握基本不等式成立的条件; 3. 会应用基本不等式求最值. 【重点】 1. 掌握基本不等式成立的条件; 2. 会应用基本不等式求最值. 【难点】 1.抓住定值进行变形应用基本不等式求最值.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 97

页~第

99 页)
2 2

1.在如右图赵爽的弦图中,正方形 ABCD 的面积为 a ? b ,四个 直角三角形的面积为 2ab ;由这两个面积的大小关系 可得基本不等式 a ? b ? 2ab. 其中等号成立的条件为 a ? b.
2 2

2.如果 a ? 0, b ? 0 ,用 a , b 代替 a , b , a ? b ? 2ab
2 2

可得基本不等式 a ? b ? 2 ab (当且仅当,等号成立). 3 . 分 析 法 证 明 a ? b ? 2 ab , 要 证 a ? b ? 2 ab , 只 要 证 a ? b ? 2 ab ? 0 , 即 证

?

a?

b

?

2

? 0, 当且仅当 a ? b 时,等号成立.

4. a ? b ? 2 ab 可化为 ab ?

(

a?b 2 ) 2

( a ? 0, b ? 0 ) ;使用该不等式求最值时,

要注意的前提条件为: (1) a ? 0, b ? 0 ; (2)积或和为定值; (3)当且仅当 a ? b 时,等号 成立,即记为“一正,二定,三相等” . 5.正数 a , b 的算术平均数是 数不小于它们的几何平均数.

a?b ;正数 a , b 的几何平均数是 ab ;正数 a , b 的算术平均 2

6

【基础练习】 1.下列不等式成立的是

? D?. ? B?
a?b 1 ? ? ab C x ? ? 2 2 x 1 时, x ? 的值最小,且最小值为 2 x

? A? a ? b ? 2
2. x ? 0, 当 x 为
2

ab
1

? ?

? D? x


2

?

1 ?2. x2

3. 已 知 函 数 y ? 3 x ?

1 ,当 x = x2

?4

1 3

时 , y ? 3x ?
2

1 有最小值为 x2

2 3
4.已知





,则

的最小值为

2



【典型例题】 例 1 已知 x, y 都是正数,求证: 如果积 xy 是定值,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 p . 【审题要津】从基本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到. 证明:? x ? 0, y ? 0,?

x? y ? xy . 当且仅当 x ? y 时,等号成立. 2

因此当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 p . 【方法总结】 当两正数的积为定值时, 和有最小值; 应用该结论时注意前提条件: 正数、 定值、等号成立;其中定值是解题的关键,注意变形及应用. 【变式练习】 (1)求函数 y ? x ?

4 ( x ? 0) 的最小值___4____. x
的最大值___-2____.

(2)求函数

(3)已知

,求函数

的最小值_4___.

(4)已知 例2

,不等式

恒成立,则实数 的范围 a ? 4 .

已知 x, y 都是正数,求证:

如果和 x ? y 是定值,那么当 x ? y 时,积 xy 有最大值

1 2 s . 4

【审题要津】从基本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到.

7

证明: ? x ? 0, y ? 0,?

x? y ? x? y? ? xy . ? xy ? ? ? . 当且仅当 x ? y 时,等号成立. 2 ? 2 ?
2

因此当 x ? y 时,积 xy 有最大值

1 2 s . 4

【方法总结】当两正数的和为定值时,积有最大值;应用该结论时注意前提条件:正数、 定值、等号成立;其中定值是解题的关键,注意变形及应用. 【变式练习】1.已知 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ? 2 ,则 xy 的最大值为 1 .

2. 已知 0 ? x ? 2, 则 y ? x(2 ? x) 的最大值
2 3. 已知 0 ? x ? , 求 y ? x(2 ? 3x) 的最大值. 3

1 .

1 ? 3x ? 1 ? 3x ? 解:? y ? x(2 ? 3x) ? ? 3x(2 ? 3 x) , 3x(2 ? 3x) ? ? ? , 3 2 ? ?
2

1 1 1 1 ? y ? ? ? . 故 y ? x(2 ? 3x) 的最大值 . 3 4 12 3 a 例 3 (1) 已知 a, b, c 都是实数, 求证: ? b ? c ?
2 2 2

1 2 ? a ? b ? c ? ? ab ? bc ? ac; 3

(2)设 a, b, c 都是正数,求证:

bc ca ab ? ? ? a ? b ? c. a b c

【审题要津】从要证明的不等式入手,分析是将和转化为积,还是将积转化为和;从而 利用基本不等式中去思考、变形、化简得到. 证明: (1)? a ? b ? 2ab, b ? c ? 2bc, a ? c ? 2ac,
2 2 2 2 2 2

?2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2ab ? 2bc ? 2ac ?????? ①
即 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ?????? ②
2 2 2
2 2 2 2 2 2 在①式两边同时加上 a ? b ? c 得 3(a ? b ? c ) ? ? a ? b ? c ? . 2

即a ?b ?c ?
2 2 2

1 2 ?a ? b ? c? . 3
2

在②式两边同时加上 2ab ? 2bc ? 2ac 得 ? a ? b ? c ? ? 3 ? ab ? bc ? ac ? .

1 2 ? a ? b ? c ? ? ? ab ? bc ? ac ? . 3 1 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a ? b ? c ? ? ab ? bc ? ac. 3 bc ac ab , 都是正数. (2)? a, b, c 都是正数,? , a b c


8

bc ac ab bc ab ac ? ? 2c, ? ? 2b, ? ? 2a. a b c a c b bc ca ab ? ) ? 2( a ? b ? c). 相加得 2( ? a b c bc ca ab ? ? ? a ? b ? c. 故 a b c ?
【方法总结】证明不等式时,要学会分析、探索条件与结论的关系,正确利用基本不等 式进行积与和的转化.

1.下列推理过程正确的是

? D?.
b a ? ?2 a b cos x ? 1 ?2 cos x

a ? A ? 若 a , b ? R, 则 b ? b ? 2 a

1 ? B ? 若 x ? 0, 则 cos x ? cos x ? 2

? C ? 若 x ? 0, 则 x ? 4 ? 2 x

x?

4 ?4 x

? D? 若 a, b ? R, ab ? 0, 则 b ? a ? ? ?? ? a ? ? ? ? b ?? ? ?2 ? ? ?? ??
a b ?? b ? ? a ? ?
2. 下列函数中最小值为 4 的是

? a ?? b ? ? ? ?? ? ? ? ?2 ? b ?? a ?

?C ?.
4 (0 ? x ? ? ) sin x

? A?

y ? x?

4 x

( B ) y ? sin x ?

? C ? y ? 3x ? 4 ? 3? x ? D?

y ? lg x ? 4log x 10.

3. 已知 0 ? x ? 1, 求 y ? x(3 ? 3x) 的最大值时 x 的值

? B?.

? A? 1 ? B ? 1 ? C ? 3 ? D ? 2 . 3 2 4 3
4. 已知 a, b ? R, a ? b ? 3, 则 2 ? 2 的最小值是
a b

? B?.
6.

? A? 6 ? B ? 4
5. 设 x ? ?1, ,函数 y ?

2

? C ? 2 3 ? D? 2

x2 ? 2x ? 2 的图象最低点的坐标为 x ?1

? D?.

9

? A? (1, 2) ? B ? (1, ?2) ? C ? (1,1) ? D? (0, 2).
6. (1)若



的最__小__值为__12___,此时 =__2__.

(2)若



的最__大__值为__-12___,此时 =__-2____.
6 9 时,它们的和最小. 时,它们的积最大.

7. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取 (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取

8.. 若 x ? 1, y ? 1 ,则 log x y ? log y x 的取值范围 ?2,??? . 9. 设 x ? ?1, 求函数 y ?

? x ? 5?? x ? 2 ? 的最小值.
x ?1

解:? x ? ?1,? x ? 1 ? 0. ? y ?

? x ? 5?? x ? 2 ? ? x2 ? 7 x ? 10 ?
x ?1 x ?1

? x ? 1? ?

4 ?5. x ?1

? y ? 2 4 ? 5 ? 9. 故函数 y ?
10. 求 y ? 3 ? lg x ?

? x ? 5?? x ? 2 ? 的最小值为 9.
x ?1

4 的值域. lg x

解:当 x ? 1 时, lg x ? 0, ? y ? 3 ? 2 4 ? 7. 当 0 ? x ? 1 时, lg x ? 0, ? y ? 3 ? 2 (? lg x) ?

4 ? ?1. ? lg x

故 y ? 3 ? lg x ?

4 的值域为 ? y y ? 7, y ? ?1? . lg x
2 2 ? a ?b ? a ?b . ? ? 2 ? 2 ? 2

11. 已知 a , b 都是正数,求证: ab ? ? 证明:由 ab ?

a?b a?b 2 ) . 得 ab ? ( 2 2
2 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? a 2 ? b2 ? 2ab ? a ? b ? ? ?? ? ? 0, ? ? 2 4 4 ? 2 ?
2 2 2 2 ? a?b ? a ?b ? a?b ? a ?b ?? . ? ab ? ? . ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2

10

a 2 ? b2 b2 ? c 2 a 2 ? c 2 12. 已知 a , b 都是正数,求证: ab ? bc ? ac ? a ? b ? c ? ? ? . 2 2 2
证明:? ab ?

a?b c?b c?a , bc ? , ac ? , 2 2 2 a?b b?c a?c ? ab ? bc ? ac ? ? ? ? a ? b ? c. 2 2 2
2 2 2

2 2 2 2 2 2 ? a ?b ? a ?b ? c ?b ? c ?b ? a ?c ? a ?c 由(1)知 ? ? ,? ? ,? ? , ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

a?b a 2 ? b2 c ? b c 2 ? b2 a ? c a2 ? c2 ? ? , ? , ? . 2 2 2 2 2 2 ?a ? b ? c ? a ?b c ?b a ?c a 2 ? b2 c 2 ? b2 a2 ? c2 ? ? ? . 2 2 2 2 2 2
a 2 ? b2 b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? ? . 2 2 2

? ab ? bc ? ac ? a ? b ? c ?

1. (2007 年山东)函数 y ? a1?x (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0 上,则

1 1 ? 的最小值是 m n

4

.

2. (2007 年北京)如果正数满足,那么 ? A? .

? A?

ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 ? B ? ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一

?C ? ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 ? D? ab ? c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不
唯一.

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