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重庆八中2014届高三第二次月考


重庆八中高 2014 级高三上学期第二次月考
数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷(选择题) ,第 II 卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? 2 ,则 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 2.已知 a ? 0, ?1 ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A. a ? ab ? ab
2

B. ab ? ab ? a
2

C. ab ? a ? ab

2

D. ab ? ab ? a
2

3. cos 37.5? sin 97.5? ? cos 52.5? sin187.5? 的值为 A.

2 2

B. ?

2 2

C.

3 2

D. ?

3 2

? y ? 2x ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ?

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

5. 在一个数列中,如果对任意 n ? N ? ,都有 an an?1an?2 ? k (k 为常数 ) ,那么这个数列叫 做等积数列, k 叫做这个数列的公积.已知数列 ?an ? 是等积数列,且 a1 ? 1, a2 ? 2 ,公积 为 8 ,则 a1 ? a2 ? A. 24

? a12 ?
B. 28 C. 32 D. 36

6. 如果将函数 y ? 3 cos 2x ? sin 2x( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位后,所得图像 对应的函数为偶函数,那么 m 的最小值为

-1-

A.

? 12

B.

? 6

C.

? 3

D.

2? 3
C
F B E

7. 如图,在矩形 OABC 中,点 E , F 分别在线段 AB, BC 上,且满足

AB ? 3 AE, BC ? 3CF ,若 OB ? ?OE ? ?OF (?, ? ? R) ,则 ? ? ? ?
A.

8 3

B.

3 2

C.

5 3

O
D.1

A

8. 若 f ? x ? 为偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? A. 4 B. 5 C. 6

x ? cos x ,则 f ? x ? 的零点个数为 3?

D.无穷多个

9. 已知 m, n 是单位向量且 m ? ? x, y ? b ? , n ? ? x ? a, y ? ,则 x cos ? ? y sin ? ?? ? R ? 的最大 值为 A. 5 B. 2 C. 3 D. 2

2 2 10. 若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a100 ? 10 ,则 S ? a100 ? a101 ?

? a199 的最大值为

A. 600

B. 500

C. 800

D. 200

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,请按要求作答 5 小题,共 25 分,把答案填写在 答题卡相应位置上) (一)必做题(11~13 题) 11.已知集合 A ? ? x |

A? B ?

? ?

x?2 ? ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R? ,则 x?5 ?

. (请用区间表示)

12.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ?1 ,则 ?an ? 的通项公式 an ? _____. 13. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表. 1 设 aij ?i, j ? N? ? 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42 ? 8 .若 aij ? 2013 , 则i ? j ? .
2 3 6 9 4 5 8 11 7 10 13 18 12 15 20 17 22 24

14 16

(二)选做题(14~16 题,请从中选做两题,若三题都做,只计前两题分数) 14.如图,半径为 4 的圆 O 中, ?AOB ? 90? , D 为 OB 的中点, AD 的延 长线交圆 O 于点 E ,则线段 DE 的长为 . 15. 若直线 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 与直线 3x ? ky ? 1 垂直, 则常数 k ? ?? 4? 2
2



16.若不等式 x ? 3 ? x ? 7 ? a ? 3a 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是____. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
-2 -

17. (本题共 13 分,第Ⅰ问 6 分,第Ⅱ问 7 分) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构 成等差数列。(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (log 2 an ?1 ) ? (log 2 an ? 2 )

18. (本题共 13 分,第Ⅰ问 6 分,第Ⅱ问 7 分)
2 2 x 已知函数 f ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? a ? 2 ? ?e .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调性.

-3-

19. (本题共 13 分,第Ⅰ问 6 分,第Ⅱ问 7 分) 已知 ?ABC 中 的内角 A 、 B 、 C 所对的边 分别为 a 、 b 、 c , 若 m ? (cosB , cos C , )

n ? (2a ? c, b) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? sin 2 A ? sin 2 C 的取值范围.

20. (本题共 12 分,第Ⅰ问 5 分,第Ⅱ问 7 分)

AB ? AD , AB // CD ,CD ? 3, AB ? 3 ,平面 SAD ⊥平面 ABCD , E 是线段 AD 上一点,

AE ? ED ? 3 , SE ? AD .
(Ⅰ)证明: BE ⊥平面 SEC ; (Ⅱ)若 SE ? 1 ,求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值.

-4-

21. (本题共 12 分,第Ⅰ问 4 分,第Ⅱ问 8 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴长为 4 2 ,一条准线的方程为 y ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)射线 y ? 2 2 x ? x ? 0 ? 与椭圆的交点为 M ,过 M 作倾斜角互补的两条直线,分别与 椭圆交于 A, B 两点( A, B 两点异于 M ) .求证:直线 AB 的斜率为定值.

8 7 . 7

22. (本题共 12 分,第Ⅰ问 4 分,第Ⅱ问 8 分) 已知数列 ?an ? 满足递推式: an ?1 ?

2 2 ? an ? ? n ? 2, n ? N ? , a1 ? 1, a2 ? 3 . an an?1

(Ⅰ)若 bn ?

1 ,求 bn ?1 与 bn 的递推关系(用 bn 表示 bn ?1 ) ; 1 ? an

(Ⅱ)求证: a1 ? 2 ? a2 ? 2 ?

? an ? 2 ? 3? n ? N? ? .

-5-

重庆八中高 2014 级高三上学期第二次月考
数学(理科)
一、选择题 1 B 2 D 3 C 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 D 10 B

参考答案

第 10 题提示: S ? a100 ? a101 ?

? a199 ? 100 a100 ?

100 ? 99 100 ?99 d ? 100 ? a1 ? 99 d ? ? d 2 2
2

2? S S ? 2 ? ?1 2 ? 99d ? ? ? a1 ? , a12 ? a100 ? 10 ? a12 ? ? a1 ? 99d ? ? 10 ? a12 ? ? a1 ? ? ? 10 3 ? 100 150 ? ? ?3

10 S ? S ? ? a12 ? a1 ? ? ? ? 10 ? 0 9 225 ? 150 ? 2 2 ? 10 ?? S ? ? S ? ? 4 ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 10 ? ? 0 ? S ? 500 9 ? ? 225 ? ? ?? 150 ? ?
二、填空题 11. 14.

2





? ?5, ?1?
6 5 5

12. 15.

an ? 2n?1
?3

13. 16.

109

??2,5?

三、解答题 17. (I) a1 ? a2 ? a3 ? 7 , 6a2 ? a1 ? a3 ? 7 ,则 a2 ? 2 , a1 ? a3 ? 5 . 则

1 2 ? 2q ? 5 ,故 q ? 或 2 ,又 q ? 1 ,则 q ? 2 ,从而 an ? 2n?1 . 2 q

(II) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 2 3 n(n ? 1) n n ? 1

?

1 1 1 n ? ? 1? ? . n n ?1 n ?1 n ?1

2 x 18. (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ? 2 x ? 2 e ,则切点为 ? 0, 2 ?

?

?

2 x 且 f ? ? x ? ? x e ? k ? f ? ? 0? ? 0 ,则切线方程为 y ? 2 ;
2 2 x x (Ⅱ) f ? ? x ? ? x ? ax ? 2a e ? ? x ? a ?? x ? 2a ? e

?

?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?a ? 、 ? 2a, ?? ? 上单调递增,在 ? ?a, 2a ? 上单调递减; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, 2a ? 、 ? ?a, ?? ? 上单调递增,在 ? 2a, ?a ? 上单调递减. 19. (
-6-





m ? n ? ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ? 0

? 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ? 0

1 2? ? 2sin A cos B ? sin A ? 0 ? cos B ? ? ? B ? 2 3
(Ⅱ)方法一:

y ? sin 2 A ? sin 2 C ?
? 1?

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C 1 ? ? 1? ? cos 2 A ? cos ?120? ? 2 A ? ? ? 2 2 2?

1 ? cos 2 A ? cos120? cos 2 A ? sin120? sin 2 A? 2

? 1 1?1 3 ? 1 ? sin ? 2 A ? 30? ? ? 1? ? cos 2 A ? sin 2 A ? ? 2 2? 2 ?2 ?

?1 3 ? ?1 ? 0? ? A ? 60? ? 30? ? 2 A ? 30? ? 150? ? sin ? 2 A ? 30? ? ? ? ,1? ? y ? ? , ? . ?2 4 ? ?2 ?
方法二: y ? sin A ? sin C ? sin A ? sin
2 2 2 2

?60?-A?

? sin 2 A ? sin 2 60? cos2 A ? sin 60? cos 60? sin 2 A ? cos 2 60? sin 2 A

5 3 3 3 1 3 ? sin 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? ? sin 2 A ? sin 2 A 4 4 4 4 2 4

?

? 1?1 3 1 3 1 1 ? cos 2 A 3 cos 2 A ? sin 2 A ? ? 1 ? sin ? 2 A ? 30? ? ? ? ? sin 2 A ? 1 ? ? ? ? 2?2 2 2 4 2 2 4 ?

下同方法一. 20.(Ⅰ)

(Ⅱ)

-7-

21. ( Ⅰ ) 由 准线 为 y ?

y 2 x2 8 7 知 焦 点 在 y 轴 上 , 则 可 设 椭圆 方 程 为 : 2 ? 2 ? 1 . 又 a b 7

?a ? 2 2 ? 2a ? 4 2 ? y2 ? 2 ?1. ? a 2 8 7 知: ? b ? 1 所以椭圆标准方程为: x ? 8 ? ? ? 7 ?c ?c? 7
(Ⅱ) ∵ 斜率 k 存在, 不妨设 k>0, 求出 M (

2 2 , 2) . 直线 MA 方程为 y ? 2 ? k ( x ? ), 2 2

直线 MB 方程为 y ? 2 ? ?k ( x ?

2 ). 2 2 k 2 ? 4k 2 2k 2 ? 4k 2 , . ? x ? ? B 2 2 k ?8 2 k ?8 2
∴ . k AB ? 2 2 (定值)

分别与椭圆方程联立,可解出 x A ?



y A ? y B k ( x A ? xB ) ? ?2 2. x A ? xB x A ? xB
2 2 ? an ? ? an an?1 ? a2 ?

22. (Ⅰ) an ?1 ?

2 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? an?1 ? ? 1 an a1



bn ?

1 ? bn ?1 2bn 1 2 1 1 ?1? ?1? ? ?1 ? an ? ? 1 代入①式得 1 bn ?1 b 1 ? b 1 ? an bn n ? 1 n ?1 bn
1 1 bn ? . 2 2

即 bn ?1 ? ? (Ⅱ)

n 1 1? ? 1? ? 3 3 3 ? an ? 2 ? ?3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? an ? 1 ? n n n 1 ? an 3 ? ? 1? ? 1? ? ?2 ? ? 1 ? ? 2? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ? 2? 3 3 , a2 k ? 2 ? 2 k 对 n 分奇数与偶数讨论: a2 k ?1 ? 2 ? 2 k ?1 ,则 2 ?1 2 ?1

-8-

1 ? 22k ?1 ? 22 k ? 1 a2k ?1 ? 2 + a2 k ? 2 =3 ? 2k ?1 + 2k =3 ? ? 24k ?1 ? 22k ?1 ? 1 ? 2 ? 1 2 ?1 ? ? 3? 22k ?1 ? 22 k 1 ? 1 ? 3 ? ? 2k ?1 + 2 k 4k ?1 2 2 ?2 ? ? ,则 ?
? 1 ? 1 ? ? ? 3 ? ?1 ? 2 k ? ? 3 ; 2k ? 2 ? ? 2 ?

a1 ? 2 ? a2 ? 2 ?

?1 1 ? a2 k ?1 ? 2 ? a2 k ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ?2 2 1 ? ? a2 k ?1 ? 2 ? a2 k ?1 ? 2 ? 3 ? ?1 ? 2 k ? 2

又 a1 ? 2 ? a2 ? 2 ?

3 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 ?1

1 1 ? ? ? 3 ? ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ? ? 3 .综上所述,原不等式成立. ? 2 ?1 2 ?

-9-


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