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简单逻辑连接词、全称量词、存在量词复习


第二节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

逻辑联结词 或:若p ? q成立,则p与q至少一个成立. 且:若p ? q成立,则p与q均成立. 非:对一个命题的否定.命题p的否定记作?p.

复合命题的真假可通过下面的表来 加以判定: p q 非p p∨q p∧q 假 真 真 真 ____ ______ _____ 真 假 假 真 真 假 _____ ____ ______
假 假 真 假

_____ 真 ______ 真

_____ 真 ______ 假

_______ 假 ______ 假

记忆方法为:一真“或”为真,一假“且”为 假.

2.量词

3.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

?x∈M,p(x)

?x ? M , ?p( x) ________________________

?x0∈M,p(x0)

_____________________

?x0 ? M , ?p( x0 )

1.(教材改编题)下列命题中的假命题是( A.?x0∈R,lg x0=0 C.?x∈R,x3>0

) B.?x0∈R,tan x0=1 D.?x∈R,2x>0

π 【解析】 当 x=1 时,lg x=0;当 x= 时,tan x=1. 4 ∴A、B 均为真命题.显然 D 为真命题. 当 x=0 时,x3=0.∴C 为假命题.

【答案】

C

2.已知命题 p:若实数 x,y 满足 x2+y2=0,则 x,y 全 1 1 为 0;命题 q:若 a>b,则 < .给出下列四个新命题: a b ①p 且 q;②p 或 q;③非 p;④非 q. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】

∵命题p为真命题;q为假命题.

∴p或q,非q为真命题. 【答案】 B

3.(2011·辽宁高考)已知命题p:?n∈N,2n>1 000,则 非p为( )

A.?n∈N,2n≤1 000
C.?n∈N,2n≤1 000 【解析】

B.?n∈N,2n>1 000
D.?n∈N,2n<1 000

由于特称命题的否定是全称命题,

因而非p为“?n∈N,2n≤1 000”. 【答案】 A

含逻辑联结词的命题及真假

5 ; 命题 q: ?x∈R, 2 都有 x2+x+1<0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命 ┓ ┓ 题;②命题“p∧ q”是假命题;③命题“ p∨q”是真命 ┓ ┓ 题;④命题“ p∨ q”是真命题. 其中正确的是( ) A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③ 已知命题 p: ?x∈R,使 sinx=

[思路] 先判断两个简单命题的真假,然后根据含逻 辑联结词的命题真假的判断准则逐个作出判断.

全(特)称命题及真假判断

例2

[2010·济南模拟] 判断下列命题是不是全称命题或存

在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1) 有一个实数 x,sin2x+cos2x≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 恰有唯一解; 1 (4)存在实数 x,使 2 =2. x -x+1

[思路] 根据定义判断命题是否是全称命题或特称命题,利用 证明或举例和举反例的方法判断它们的真假.

[2010·安庆联考] 已知命题 p:? x∈R,ax2 +2x+3>0.如果命题 p 是假命题,那么 a 的范围是( ) 1 1 A.a< B.0<a≤ 3 3 1 1 C.a≤ D.a≥ 3 3

C [解析] 当 a=0 时,原不等式可化为 2x>3,当 x= -2 时,命题不成立,因此符合题意;当 a≠0 时,要使一元 二次不等式 ax2+2x+3>0 不恒成立, 只需要 Δ=4-12a≥0, 1 1 解得 a≤ ,因此 a 的取值范围是 a≤ . 3 3

下列命题中,真命题是(

)

A.?m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 【解析】 当m=0时,f(x)=x2是偶函数,故A正确.

因为f(x)=x2+mx不是奇函数,故B错. 当m=1时,f(x)=x2+x是非奇非偶函数,故C、D错.

【答案】 A

含有量词命题的否定

写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2+2x0+2≤0; 0 (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3+1=0. 0
【思路点拨】 分析命题所含量词 → 明确命题类型

→ 对命题否定、改变量词 → 判定命题真假

1 【尝试解答】 (1)非 p:?x0∈R,x2-x0+ <0,假命题. 0 4 1 1 这是因为?x∈R,x2-x+ =(x- )2≥0 恒成立. 4 2 (2)非 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)非 r: ?x∈R, 2+2x+2>0, x 真命题. 这是由于?x∈R, x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. (4)非 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.这是由于 x=-1 时,x3 +1=0.

1.(1)弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命
题否定的前提.(2)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着 一定的区别,全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量

词(存在量词改为全称量词),并把结论否定.
2.要判断“非p”命题的真假,可以直接判断,也可以 判断p的真假,因为p与非p的真假相反.

(2012·汕头质检)写出命题“对任何x∈R

,|x-2|+|x-4|>3”的否定,并判断命题的真假.

【解】

全称命题的否定为特称命题.

非p:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3.是真命题. 显然当x=2时,|x-2|+|x-4|=2≤3成立.

易错辨析之二 含有量词的命题否定不当致误

4、(2012·湛江模拟)命题:“对任意k>0,方程 x2+x-k=0有实根”的否定是( )

A.存在k≤0,使方程x2+x-k=0无实根
B.对任意k≤0,方程x2+x-k=0无实根 C.存在k>0,使方程x2+x-k=0无实根 D.存在k>0,使方程x2+x-k=0有实根

1.(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定 是( )

A.所有丌能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都丌是偶数 C.存在一个丌能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数丌是偶数
【解析】 把全称量词改为存在量词,并把结论否定.

【答案】 D

2.(2012·茂名模拟)已知定义在R上的函数f(x),写出命题 “ 若 对 任 意 实 数 x都有 f( - x) =f(x ), 则f (x)为 偶 函 数 ”的 否 定 是 ________. 【解析】 数 所给命题是全称命题,其否定为特称命题.

【答案】 若存在实数x0,使得f(-x0)=f(x0),则f(x)丌是偶函

3、 已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根, 命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p∨q为假命题, 求实数m的取值范围.

[思路] 分别求出满足命题p,q的实数a的取值范围,然后 根据含逻辑联结词命题真假的判断准则,得出命 题p, q的真假情况,从而求得实数a的取值范围.

[解答] 命题p为真命题时,方程x2+mx+1=0有两个 不等的负根,则x1+x2=-m<0,x1x2= 1>0, 且Δ=m2-4>0,解得m>2;命题q为真命题时, 方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,则 Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3; ∵p∨q为假命题, ∴p,q都是假命题,所以m所满足的条件 为{m|m≤2}∩{m|m≥3或m≤1}= {m|m≤1}, 即m的取值范围是{m|m≤1}.

4、 设p:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};
q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,若 p∨q是真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值 范围.

[思路] 分别求出满足命题p,q的实数a的取值范围, 然后根据含逻辑联结词命题真假的判断准则,根 据对命题p,q的真假情况分类讨论,从而求得实数a的 取值范围.

[解答] p真:当0<a<1时,由ax>1?x<0, 可得{a| 0<a<1}. q真:由ax2-x+a>0恒成立,可得解得 a>1/2

由p∨q是真命题,p∧q是假命题,
得p、q两命题一真一假. 当p真q假时,可得此时0<a≤1/2; 当p假q真时,可知此时a≥1. 综上,a的取值范围为(0,1/2]∪[1,+∞).


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