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2014年自主招生卓越联盟数学试题(学生版)


2014 年自主招生卓越联盟数学试题 1. (选择题) | x3 | ?2 x2 ? 1 ? 0 ,求 x 的范围 2. (选择题)三棱锥 P - ABC,其中△ABC 是等腰三角形 BC=AC, ?ACB ? 90? ,又 PA ? 面ABC ,二面角

P ? BC ? A ? 60? , VP ? ABC ?

3 ,求直线 AB 与面 PAC 所成角的正弦值。 6

? 2x ?1 ? ? x2 3. ( 选 择 题 ) 已 知 f ( x) ? ? ?ln( x ? 1) ? ?
f ( a)? g ( b? ) ,求 0 b 的范围。

1 x ? (??, ? ) 2 2 , 又 g( x ) ? x ? 4 x ? ,4对 于 ?a,?b 使 得 1 [ , ??) 2

4. (填空题) 已知以 e1 , e2 为基底的坐标系中的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , e1 , e2 是两个夹角为 ? 的单位矢量。 求 IABI 5. (填空题)已知 x ? (0, a), y ? (0, 4 ? a), a ? (0,1) ,且 x+y>l 的概率为

?? ?? ?

?? ?? ?

3 ,求 a 的值; 16

6. (填空题) A ? B ? 1, 2,?,8 , A ? B ? ? ,又 | A |? A,| B |? B ,求总分配数。

7. (解答题)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线斜率之积为-3 a 2 b2

(1)若 A,B 在双曲线上,且过点 D(0,5a) , k AB ? 1 , AD ? ? DB ,求 ? ; (2)A 关于 x 轴的对称点为 M, l AB 与 x 轴交于 P, lMB 与 x 轴交于 Q,求证: | OP | ? | OQ |? a 8. (解答题)已知
2

????

??? ?

f ( x) ? 2 sin 2x cos ? ? 2 cos 2x sin ? ? 2 cos(2x ? ? ) ? cos ? ,( x ? R) ,
(1)已知 ? ? [

? ?

, ], x ?[0, ] ,求 f (x)最大值 4 2 2

?

(2)若 f ( x) ? 3 ,求 ?,x 的值 9. (解答题)设 f ( x ) 在 x∈R 上可导,且对任意的 x0∈R 有

0 ? f '( x ? x0 ) ? f '( x0 ) ? 4x( x ? 0)
(1)证明: f '( x0 ) ?

f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ( x ? 0) x

(2)若 | f ( x) |? 1 ,则 | f '( x) |? 4 .

(还差 3 道题)


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