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例谈高中数学恒成立问题的解题策略


例 谈 高 中 数 学 恒 成 立 问 题 的 解 题 策 略  林 文斌  ( 宁德 市 高 级 中学 , 福建 宁德 3 5 2 1 0 0 )   摘  要 : 本 文主 要 通 过 实例 说 明 高 中数 学 常 见 几 类 恒 成 立 问题 的 解题 策略  关键 词 : 高 中数 学 恒 成 立 问题 解 题 策 略  高 中数 学教 学 及 高考 数 学试 题 中 的恒 成立 问 题 , 把不 等式 、   函数、 三角 、 几 何 等 内容有 机 地结 合 起来 , 涉及 一 次 函数 、 二 次 函  数、 指 数 函数 、 对 数 函数 、 圆锥 曲线 的 图像 及 性 质 等 , 其 以覆 盖 知  识点多 、 综合性强 、 解 法 灵 活等 特 点 而 备 受 高考 、 竞赛 命 题 者 的  青睐. 此类 问题 渗 透着 分 类 讨论 、 化 归 与 转化 、 数形 结 合 、 函数 与  方 程 等思 想 方法 . 有 利 于考 查学 生 的综 合 解题 能 力 , 在 培 养思 维  的灵 活性 、 创 造性 等 方 面起 到 了积 极 的作 用 , 因此 成 为 历 年 高考  的热点 . 恒 成 立 问题在 解题 过 程 中大致 可 分为 以下几 种 类 型 , 现  根 据 笔者 的教 学 实践 。 举例 说 明这几 种 恒成 立 问题 的解 题策 略.   一 一 若 二 次 不 等 式 中x 的 取值 范 围 有 限 制 , 则 可利 用 根 的 分 布  解决问题.   例3 . 设f ( x ) = x " - 2 mx + 2 , 当x ∈[ 一 1 , + o o ] 时, f ( x ) ≥m恒 成  立. 求 实数 m的取 值 范 围 .   解: 设F ( x ) = x ‘ 一 2 e r x + 2 一 m, 则 当x∈[ 一 1 , + ∞] 时, F ( x ) ≥0 恒  成立.   当 △= 4 ( m 一 1 ) ( m+ 2 ) < O 即一 2 < m< l 时, F ( x ) > 0 显然成立 ;   当AI >0 时, 如图 , F ( x ) ≥0 恒 成 立 的 充 要 条 件 为  L   、 次 函 数 型  给定 一 次 函数 y = f ( x ) = a x + b ( a #O ) , 若v : f ( x ) 在[ 1 1 1 , n ] 内恒  有f ( x ) > 0 , 则 根 据 函 数 的 图像 ( 直线 ) 可 得 上 述 结 论 等 价 于  \   }   {   .  i ) {  ) > 0 或 i i ) {  > 0 亦 可 合 并 定 成 {   m )   ~   0   交   同 理 , 若 在 [ m , n ] 内 恒 有 f ( x )   0 , 则 有 {   m )     _ / 一 —     ●   { f F △ ( - > / . 1 0 )   ≥ 0 、 、 \  ;   1 一 … - 2 m 一 ~ , 解得一 3 ≤m ≤一 2 .     ≤一   【   2   毡  般  飘   玻  综 上可 得 实 数 i n 的取值范围为[ 一 3 , 1 ] .   2 . 最 值 法  处 理 含 参 不 等式 恒 成 立 的 某 些 问题 时 . 若 能适 时 地 把 主元  变量 和参 数 变量 进行 “ 换位” 思考 , 则 往

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