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最新2019-2020人教A版高中数学必修三课件(1.3-2秦九邵算法)优质课件_图文

高中数学课件
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1.3算法案例
第二课时

问题提出
1.辗转相除法和更相减损术,是求两个 正整数的最大公约数的优秀算法,我们 将算法转化为程序后,就可以由计算机 来执行运算,实现了古代数学与现代信 息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值,在我国古代数 学中有一个优秀算法,即秦九韶算法, 我们将对这个算法作些了解和探究.

知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1, 求f(5)的值.若先计算各项的值,然后再 相加,那么一共要做多少次乘法运算和 多少次加法运算?
4+3+2+1=10次乘法运算, 5次加法运算.

思考2:在上述问题中,若先计算x2的值, 然后依次计算x2·x,(x2·x)·x, ((x2·x)·x)·x的值,这样每次都可以 利用上一次计算的结果,再将这些数与x 和1相加,那么一共做了多少次乘法运算 和多少次加法运算?组卷网
4次乘法运算,5次加法运算.

思考3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值,这 个多项式应写成哪种形式?
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.

思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an2)x+…+a1)x+a0,由内向外逐层计算一 次多项式的值,其算法步骤如何?
第一步,计算v1=anx+an-1.
第二步,计算v2=v1x+an-2.
第三步,计算v3=v2x+an-3. … 第n步,计算vn=vn-1x+a0.

思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法, 利用该算法求f(x0)的值,一共需要多少 次乘法运算,多少次加法运算?
思考6:在秦九韶算法中,记v0=an,那么 第k步的算式是什么?
vk=vk-1x+an-k(k=1,2,…,n)

知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值,可 以用什么逻辑结构来构造算法?其算法 步骤如何设计?组卷网
第一步,输入多项式的次数n,最高次项的系 数an和x的值. 第二步,令v=an,i=n-1.
第三步,输入i次项的系数ai.
第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断i≥0是否成立.若是,则返回第 二步;否则,输出多项式的值v.

思考2:该算法的程序框图如何表示?
开始

输入n,an,x的值

v=an i=n-1

i=i-1

v=vx+ai

i≥0?
否 输出v

输入ai 是

结束

思考3:该程序框图对应的程序如何表述?

开始 输入n,an,x的值
v=an i=n-1

INPUT“n=”;n INPUT“an=”;a INPUT“x=”;x
v=a i=n-1

i=i-1

v=vx+ai

i≥0?
否 输出v

输入ai 是

结束

WHILEi>=0 INPUT“ai=”;b v=v*x+b i=i-1 WEND PRINTy END

理论迁移
例1已知一个5次多项式为用秦九韶算法 求f (xf)(=5)5x的5 +值2.x 4 + 3.5x 3 - 2.6x 2 + 1.7x - 0.8
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3451.2; v5=3451.2×5-0.8=17255.2.
所以f(5)==17255.2.

例2阅读下列程 INPUT“x=”;a

序,说明它解 n=0

决的实际问题 y=0

是什么?

WHLEn<5

y=y+(n+1)*a∧n

n=n+1

WEND

PRINTy

END

求多项式在f (xx=) a=时1的+ 值2x.+ 3x 2 + 4x 3 + 5x 4

小结作业
评价一个算法好坏的一个重要标志是运 算的次数,如果一个算法从理论上需要 超出计算机允许范围内的运算次数,那 么这样的算法就只能是一个理论算法.在 多项式求值的各种算法中,秦九韶算法 是一个优秀算法.

作业: P45练习:2. P48习题1.3A组:2.


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