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1.2.4诱导公式汇报课课件


1.2.4 诱导公式

山东省实验中学

孙萌

知识回顾
? 【问题1】0到
?
2

中特殊角的三角函数值分别是?

0° sin cos tan
0 0 1 0

30°
π/6 1/2 3 /2 3 /3

45°
π/4 2 /2 2 /2 1

60°
π/3 3 /2 1/2
3

90°
π/2 1 0
不存在

? 【问题2】三角函数值在各象限的符号是怎样的?
sin α(正弦) cos α(余弦) tan α(正切) 一、二象限为+ 一、四象限为+ 一、三象限为+

知识回顾
?【问题3】单位圆中任意角的三角函数是如何 定义的?
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

sin ? ? y cos ? ? x
y tan ? ? ( x ? 0) x

α 的终边

y

P(x,y)

O

x

在直角坐标系中,? 与?

? 2k? (k∈Z)的终边相同.

由三角函数的定义,它们的三角函数值相等.

公式一

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan? (k ? z )
作用:把求任意角的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值

练习:(1) sin390 ?

=

7 (2) cos ? 4

=

sin(30? ? 360?) π sin( ? 4 π) 4

=

1 2

=

2 2

(3) sin930 ? = sin(210 ? ? 720?) =



任意一个角α . 思考1:角α +π 的终边与角α 的终边有什么关系?
α 的终 边

y

o

x
π+α 的终边

思考2:它们的三角函数之间有什么关系?

r ?1 sin ? ? y

cos? ? x

sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

y tan ? ? x

? ??

?

公式二
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
作用:利用这组公式我们可以将π~2π角的三角 函数值转化到0~π上去

研究思路

角间的关系 (数量关系)

终边对称 (形的关系)

坐标关系

三角函数值间 的关系

问题:终边还有哪些位置关系值得我们研究?

思考3:关于X轴对称的角 α和-α的三角函数值的关系?

思考4:关于Y轴对称的角α和 π-α的三角函数值的关系呢?

sin( ?? ) ? ? sin ?
公式三

cos( ?? ) ? cos ? tan (?? ) ? ? tan?
作用:负角化成正角

sin( ? ? ? ) ? sin ?
公式四

cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

作用:把π/2~π的角的三角函数化成锐角三角函数

sin (? ? 2k? ) ? sin ?   cos(? ? 2k? ) ? cos? (k ? Z) tan (? ? 2k? ) ? tan?
(公式一)
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan ( ?? ) ? ? tan ?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

(公式二)
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

(公式三)

(公式四)

公式一到四都叫做诱导公式,分别反映了α +2kπ ,π +α , -α ,π-α的三角函数与α的三角函数之间的关系, 思考5:默记并比较四组公式,你能发现什么规律吗?

? ?、 ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z)、
的三角函数值,等于α 的同名三角函数值前 面加上把α 看作锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变,符号看象限”.
作用:把任意角的三角函数,转化成锐角的三角函数.

例 1:求下列三角函数的值. 43 - π 29 (1)sin 6 ; (2)cos π ; (3)tan(-855°). 6
解 7 7 =-sin(6π+ π)=-sin π 6 6 ? π? π 1 ? ? =-sin?π+6?=sin = ; 6 2 ? ?
? 43 ? ? - π (1)sin? ? ?=-sin 6 ? ?

43 π 6

29 5 (2)cos π=cos(4π+ π) 6 6 π π- 5 =cos π=cos 6 6 π 3 =-cos =- ; 6 2

(3)tan(-855° )=-tan 855° =-tan(2×360° +135° ) =-tan 135° =-tan(180° -45° )=tan 45° =1.

讨论: 你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角
函数的步骤吗?
任意负角的 三角函数
用公式三或一

任意正角的 三角函数
用公式一

锐角的三 角函数

0~2? 的角的
用公式二或四

三角函数

概括为:“负化正,正化小,化到锐角就终了”

cos ?180? ? ? ? ? sin ?? ? 360?? 例2 化简 . sin ? ?? ? 180?? ? cos ? ?180? ? ? ?
解: sin ? ?? ? 180? ? ? sin ? ? ? ?180? ? ? ? ? ?

? ? sin ?180? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? sin ? ,
cos ? ?180? ? ? ? ? cos ? ? ? ?180? ? ? ? ? ?

? cos ?180? ? ? ? ? ? cos ? ,

? cos ? ? sin ? 所以 原式 ? ? 1. sin ? ? ? ? cos ? ?

例3.化简

?1? sin ?? ?180?? cos ? ?? ? sin ? ?? ?180??
? sin ? cos ?
2

? 2? sin ? ?? ? cos ? 2? ? ? ? tan ? ?? ? ? ?
3

sin 4 ?

回到最初的问题:

sin 930 ? ? ?

课堂小结
1.诱导公式 (1)结合图形

(2)函数名不变,符号看象限
这四组诱导公式的记忆口诀:函数名不变,符号看象限”. α 看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α 可以是任意角.

2.做题规律:负化正,正化小,化到锐角就终了 3.数学思想运用:类比、化归、数形结合


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