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【2012珠海一模】(文数)


珠海市 2011--2012 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三文科数学试题和参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. 已知复数 z 的实部是 ?1 ,虚部是 2 ,其中 i 为虚数单位,则 A.第一象限 B.第二象限

1 在复平面对应的点在 z
D.第四象限

C.第三象限

2. y ? 2x 与 y ? log 2 x 的图像关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C.原点对称

D. y ? x 对称

3. 数列 {an } 是等差数列, S n 是它的前 n 项和,若 S3 ? 12, S5 ? 30, 那么 S 7 = A.43 B.54 C.48 D.56

?x ? y ? 1 ? 0 ? 4. 如果实数 x, y 满足: ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为 ?x ? 1 ? 0 ?
A.4 B.

7 2

C.

5 2

D. -4

5. 如图, 某几何体的正视图和俯视图都是矩形, 侧视图是等腰直角三 角形,则该几何体的体积为 A.

16 3

B. 8

C. 16

D.

8 3

6.如图,在 ?ABC 中,已知 BC ? 3DC ,则 AD ?

????

A.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

C.

? 1 ??? 2 ???? AB ? AC 3 3

2 1 AB ? AC 3 3 ? ? 1 ??? 2 ??? AB ? AC D. 3 3

A

B

D
kt

C

7.某种细菌经 60 分钟培养,可繁殖为原来的 2 倍,且知该细菌的繁殖规律为 y ? 10e , 其中 k 为常数, t 表示时间(单位:小时) y 表示细菌个数,10 个细菌经过 7 小时培养, , 细菌能达到的个数为 A. 640 B. 1280 C.2560 D. 5120

8.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区 为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为
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A.0.5 小时 9. 已知 sin(

B.1 小时

C.1.5 小时

D.2 小时

?
4

??) ?

117 169 119 C. 169
A.

5 ? , 0 ? ? ? ,则 cos 2? 的值为 13 4 118 B. 169 120 D. 169

10.有下列四种说法: ①命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ” ; ②“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ③“若 am2 ? bm2 , 则a ? b ”的逆命题为真; ④若实数 x, y ? [0,1] ,则满足: x 2 ? y 2 ? 1 的概率为 其中错误的个数是 A. 0 B.1 C.2 D.3

? . 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a. ? 0, b ? 0) 的一条渐近线为 a2 b2
开始

. y ? ? 3x ,双曲线的离心率为 12. 设函数 f ( x) ? sin ? x ( 0 ? ? ? 2 ) ,将 f ( x ) 图像向 2? 左平移 单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称 3 轴重合,则 ? ? . 13.如图,该程序运行后输出的结果是 .

A=1,S=0

是 A>15? 否 S=S+1 输出 S

14. (几何证明选讲选做题)如图,△ABC 中,D、E 分别在 边 AB、 上,CD 平分∠ACB,DE∥BC,如果 AC=10,BC=15, AC 那么 AE=___________.

A=A+2

结束

15.(坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 直,则常数 k = .

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 3x ? ky ? 2 ? 0 垂 ? y ? 2 ? 4t

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知 a ? (sin(

?

?
2

? ? ? ? x), cos( ? ? x)), b ? (cos x,? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1, BC ? 2, B ? 17.(本小题满分 13 分) 一车间生产 A, B, C 三种样式的 LED 节能灯,每种样式均有 10W 和 30W 两种 型号,某天的产量如右表(单位:个): 按样式分层抽样的方法在这个月生产的 灯泡中抽取 100 个,其中有 A 样式灯泡 25 个. (1)求 z 的值;
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

?
3

,求 AC 边的长.

型号 10W 30W

A 样式 2000 3000

B 样式 z 4500

C 样式 3000 5000

(2)用分层抽样的方法在 A 样式灯泡中抽取一个容量为 5 的样本,从这个样本中任取 2 个 灯泡,求至少有 1 个 10W 的概率. 18.(本小题满分 13 分) 矩形 ABCD 中, 2 AB ? AD , E 是 AD 中点,
' 沿 BE 将 ?ABE 折 起 到 ?A B E的 位 置 , 使

' AC ? A' D , F 、G 分别是 BE 、CD 中点. (1)求证: A?F ⊥ CD ; ' (2)几何体 A ? BCDE 的体积

19. (本小题满分 14 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 两 圆 C1 :

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25和 C 2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,动圆在 C1 内部且和圆 C1 相内切并和圆 C 2 相
外切,动圆圆心的轨迹为 E . (1)求 E 的标准方程; (2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点,曲线 E 的右焦点为 F ,求 PO 小值. 20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x , x ? R
3 2
2

? PF 的最
2

(1)求 f (x) 的单调区间;

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(2)若 x ? (2,??) 时, f ( x) ? 21.(本小题满分 14 分)

1 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2
1 , 2an?1 ? g (an ) ;数列 ?bn ? 的前 n 项 2

已知函数 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 和为 Tn ,数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Rn , bn ? (1)求证: 2n?1 Rn ? Tn ? 2 (2)求证: 5 ? 4 ?
n n

1 (n ? N ? ) . 2 ? an

5n Tn ? 5n . 2

答案:

CCDBB CBBDB
2, 3/2 , 8, 4, 6,
16.解: (1) 由题设知 f ( x) ? sin(

?
2

? x) cos x ? sin x cos(? ? x)
(2 分)

? f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ?
?T ? ?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2 ??????????????4 分
?????????6 分

????????????????? (2)

? sin A ? cos A

? f ( A) ? cos2 A ? sin A cos A ? 1 ?sin A cos A ? 1 ? cos2 A ? sin 2 A ?
?A ? 4
2 sin
???????????????????8 分

AC BC ? sin B sin A

AC sin

?
3

?

?
4

AC ? 6
?????????????????????????????12 分 解: (1).设该厂本月生产的 B 样式的灯泡为 n 个,在 C 样式的灯泡中抽取 x 个,由题 17. 意得,

25 x ? , ,所以 x=40. 5000 8000
则 100-40-25=35,所以,

-----------2 分

25 35 ? , n=7000, 5000 n
故 z=2500 (2) 设所抽样本中有 m 个 10W 的灯泡,
高三文科数学第 4 页(共 3 页)

----------7 分

因为用分层抽样的方法在 A 样式灯泡中抽取一个容量为 5 的样本, 所以

2000 m ? , ,解得 m=2 5000 5

-----------9 分

也就是抽取了 2 个 10W 的灯泡,3 个 30W 的灯泡, 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 个的所有基本事件为 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个, (10 分) (11 分)

其中至少有 1 个 10W 的灯泡的基本事件有 7 个基本事件:

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 个, 至少有 1 个 10W 的灯泡的概率为

7 . 10

-----------13 分

18. (1)证明:矩形 ABCD 中,∵F 、G 分别是 BE 、 CD 中点
' ' ∵AC ? A D ? FG ? BC ? FG ? CD ' ? CD ? 平面 AGF ? CD ? A' F

? A' G? C D

(2)
' 几何体 A ? BCDE 的体积 V A? BCDE ?

1 ' 1 2?4 A F ? S四边形BCDE ? ? 2 ? ?2 ? 2 2 3 3 2

19. 解: (1)设动圆圆心 D( x ,y ) ,半径为 r ,由题意,动圆内切于圆 C1 ,且和圆 C 2 相 外切,

? DC1 ? 5 ? r , DC2 ? 1 ? r ,

? DC1 ? DC2 ? 6 ? C1C2 ? 2 ? D 点的轨迹图形 E 是 A、B 为焦点的椭圆
其中 2a ? 6 , c ? 1 , (3 分)

? a ? 3 , b2 ? a2 ? c2 ? 8 ? D 点的轨迹图形 E :

(4 分)

x2 y2 ? ? 1 (6 分) 9 8

0) (Ⅱ)解法一:由题设知 F (1, ,

?P 在E 上

?设 P(3 cos? ,2 2 sin ? ) , ? ? ?0,2? ?
则 | PF | ? (3 cos? ?1) 2 ? (2 2 sin ? )2
2

(8 分)

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? 9 cos2 ? ? 6 cos? ? 1 ? 8 sin 2 ? ? cos2 ? ? 6 cos? ? 9 (9 分)
PO ? (3 cos? ) 2 ? (2 2 sin ? ) 2 ? cos2 ? ? 8
2

(10 分)

? PF ? PO ? 2 cos 2 ? ? 6 cos ? ? 17 ? 2(cos ? ? ) 2 ?
2 2
2 2

3 2

25 2

(12 分)

(14 ? cos? ? ?? 1,1? ,?当 cos ? ? 1 时, PO ? PF 的最小值为 13. 分) 解法二:设 P( x, y), x ? ?? 3,3? , (7 分) 则 PO
2

? x 2 ? y 2 , (8 分)
(9 分) (10 分)

PF

2

? ( x ? 1) 2 ? y 2
2 2

? PO ? PF ? 2 x 2 ? 2 x ? 2 y 2 ? 1
点 P( x, y) 满足

x2 y2 x2 ? ? 1 ,? y 2 ? 8(1 ? ) , (11 分) 9 9 8
=

? PO ? PF
2

2 9 25 (x ? )2 ? (12 分) 9 2 2 2 2 (14 ? x ? ? 2 , 2 ,?当 x ? 3 时, PO ? PF 的最小值为 13. 分)
2

?

?

20. 解: (1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 , ? ? (?2a) 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4a 2 ? 24 ① 当 ? ? 0,即a ? ? 6或a ? 6时, f (x ) 在 R 上为增函数 ② 当 ? ? 0,即? 6 ? a ? 6时 , f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 有两个零点 x1 , x 2

a ? a2 ? 6 a ? a2 ? 6 , x2 ? x1 ? 3 3
此时 f (x ) 的单调增区间为: (??,

a ? a2 ? 6 a ? a2 ? 6 ), ( ,??) 3 3

单调减区间为: ( (2) x ? (2,??) 时, f ( x ) ?
3

a ? a2 ? 6 a ? a2 ? 6 , ) 3 3
1 x 恒成立 ? 2

x ? (2,??) 时, x

? ax 2 ? 2 x ?

1 x 恒成立 ? 2

x ? (2,??) 时, x 3 ?

3 x ? ax 2 恒成立 ? 2
高三文科数学第 6 页(共 3 页)

x ? (2,??) 时, x ?

3 3 3 ' ? a ,令 g ( x) ? x ? , g ( x) ? 1 ? , 2x 2x 2x 2

x ? (2,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递增,
故 x ? (2,??) , g ( x ) ? g ( 2) ? 21. (1)解: g ( x) ? x 2 ? 2 x
2 ? 2an?1 ? g (an ) = an ? 2an 1 1 a ? ? n ? bn ? 2 ? an 2 an?1

7 7 ,? a ? 4 4

1 an 1 a2 1 2(an?1 ? an ) 1 1 ? ? n ? ? ? ? 2 an?1 2 an an?1 2 an an?1 an an?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn a1 a2 a2 a3 a3 a4 an an?1 1 ? 2? an ?1 a 1 a a a 1 a 1 ? Rn ? b1b2b3 ?bn ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? n ? n ? 1 ? n?1 2 a2 a3 a4 an?1 2 an?1 2 an?1 1 1 =2 ?2? ? 2n?1 Rn ? Tn = 2 n?1 ? n?1 a n ?1 2 a n?1

? bn ? ?

(2) .证明:若证明 5 ? 4 ?
n n

5n Tn 4 ? 5n 成立,只须征 2[1 ? ( ) n ] ? Tn ? 2 成立? ① 5 2

1 1 2 ? 0 且由 an ?1 ? (an ? 2an ) 知,若 an ? 0 则 an?1 ? 0 2 2 ? an ? 0 1 ?2 ?由(Ⅱ)知 Tn ? 2 ? an ?1 1 2 又 an ?1 ? an ? an ? 0 2 an?1 ? an ? 0 ?
由 a1 ?

? {an } 是递增的正项数列 ? bn ?
? b1 ?

? {bn } 是递减的正项数列
1 2 ? 2 ? a1 5
2 5

1 1 ? ? bn?1 ? 0 2 ? an 2 ? an?1

? Rn ? b1b2b3 ? bn ? ( )n
? 2n?1 Rn ? Tn ? 2

? Tn ? 2 ? 2n?1 Rn ? 2(1 ? 2n Rn ) ? 2[1 ? ( ) n ]
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4 5

? 2[1 ? ( )n ] ? Tn ? 2 ? 5n ? 4n ?
5n Tn ? 5n 2

4 5

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