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人教版高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差课件_图文

第 6节 离散型随机变量的分布列及均值和 方差 考纲展示 1.理解取有限个值的离散型随机 2.了解超几何分布,并能进行简单应用. 3. 理解取有限个值的离散型随机变量的 变量及其分布列的概念,认识分布 均值、方差的概念. 列刻画随机现象的重要性,会求某 4. 会求简单离散型随机变量的均值、方 些取有限个值的离散型随机变量 的分布列. 差,并能利用离散型随机变量的均值、方 差概念解决一些简单问题. 知识梳理自测 考点专项突破 解题规范夯实 知识梳理自测 【教材导读】 把散落的知识连起来 1.随机变量和函数有何联系和区别? 提示:联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果到实数 的映射,函数是实数到实数的映射,随机试验结果的范围相当于函数的定义 域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数的自变量是实数. 2.离散型随机变量分布列的性质是什么? 提示:随机变量的各个值对应的概率在[0,1]上且取所有值的概率之和等于1. 3.离散型随机变量方差的意义是什么? 提示:随机变量的取值与其均值的偏离程度,方差越大偏离程度越大. 知识梳理 1.离散型随机变量的概念与分布列 (1)随机变量:一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这 样的变量叫做随机变量.通常用大写字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ ,η ,ζ ) 等表示,而用小写字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 所有取值可以一一列出的随机变量,称为 离散型随机变量 . (2)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…, xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi以表格的形式表示如下: X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达 简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列. (3)离散型随机变量概率分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,…,n; ②p1+p2+…+pn= 1 . 2.离散型随机变量的均值 (1)概念:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X P 则称E(X)= x1 x2 … xi pi … … xn pn p1 p2 … x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望.它 反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)性质:若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的数学期望是 aE(X)+b E(X),则E(Y)= . 3.离散型随机变量的方差 (1)概念:离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 2 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,3,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)= ? ( x ? E( X )) i ?1 i n pi ,为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X) 的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差,称其算术平方根 D( X ) 为 随机变量X的标准差. (2)性质:D(aX+b)=a2D(X). 4.两点分布和超几何分布 (1)两点分布的分布列、均值和方差 X P 0 1-p 1 p 若X服从成功概率为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p). (2)超几何分布概念与分布列 其基本模型为“在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则 k n?k C C 事件{X=k}发生的概率为P(X=k)= M N ? M ,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且 n C * N n≤N,M≤N,n,M,N∈N ” 称分布列 X P 0 n ?0 C0 C M N ?M Cn N 1 M 1 … … m n?m Cm C M N ?M Cn N C C C n ?1 N ?M n N 为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从 超几何分布. 双基自测 1.抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的基本事件是( D ) (A)一颗是3点,一颗是1点 (B)两颗都是2点 (C)一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点 (D)甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点 解析:甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试验的两个不同结果,故选D. 2.某射手射击所得环数X的分布列为 X P (A)0.28 4 0.02 (B)0.88 5 0.04 6 0.06 7 0.09 (D)0.51 8 0.28 C 9 0.29 ) 10 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( (C)0.79 解析:P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 3.投掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则X的期望E(X)= 解析:X的分布列为 . X P 答案:0 -1 0.5 1 0.5 所求的均值为E(X)=-1×0.5+1×0.5=0. 4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完 即为旧的 , 用完后装回盒中 , 此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量 , 则 P(X=4) 的 值为 . 解析:事件“X=4”表示取出的 3 个球有 1 个新球,2 个旧球,故 2 C1 C 27 P(X=4)= 9 3 3 = . 220 C12 答案: 27 220 考点专项突破 考点一 离散型随机变量的分布列 在讲练中理解知识 【例1】 导学号 384862

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