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数学实验与数学建模课程的作业1


传染病传播问题
二、问题分析 假设 y(t)为发现第一个病人后 t 小时时刻的传染人数,则 y(t)对 时间 t 的导数
dy 可以描述该传染病的传染速率。常识表明, 传染 dt

病的传染速率既受到传染人数的影响,又受未被传染人数的影 响。一般情况下,传染人数越多,传染速度越快(因为有很多的 传染源) ;未被传染人数越多,传染速度越快(因为会有很多的 人传染) 。因此,其影响关系都为正比关系。本题中在 t 时刻未 被传染的人数为 1000- y(t),于是可以用微分方程描述传染速率:
dy =ky(1000-y),y(0)=1,y(10)=2,k 为比例常数 dt

求解此微分方程即可。

一、问题描述 一艘游船载有 1000 人,一名游客患了某种传染病,10 小时后有 2 人被传染发病。由于这种传染病没有早期症状,故传染者不能被 及时隔离。假设直升飞机将在 50~60 小时将疫苗运到,试估算疫 苗运到时患此传染病的人数。

三、问题求解 用 mathematica 求解:

DSolve y ' t ? k ? y t ? 1000 ? y t , y t , t ?
1000 1000 ? k t

? ? ? ? ? ?
y t ?
1000 1000 ? kt? ? C 1

??? ??? ??? ? ?

因此得到解 y=
e1000 kt e1000 kt ? c1 1000

化简为 y=
1000 1 ? c1e ?1000 kt

由 y(0)=1 可得 c 1 =999;由 y(10)=2,可以得 1000k=0.0694149. y1[t_]:=1000/(1+999*Exp[-0.0694149t]) 于是得到 t 小时时刻的传染人数
1000 ? 0.0694149 t y(t)= 1 ? 999 e

Plot y1 t , t, 0, 200
输出图形如下图:
1000 800 600 400 200

? ? ? ? ?
100 150 200

50

y1 50
y1 60

? 32 31.1888

? 61 60.548

? ? ? ?
? ? Graphics? ?

因此,在 t=50 小时患此传染病的人数约为 32 人,在 t=60 小时 患此传染病的人数约为 61 人。从这些数字可以看到,从 50 小时到 60 小时这 10 小时之间,被传染发病的人数几乎翻了一倍,因此在传 染病流行期间应该及时采取措施是很重要的。如果不采取措施,通过 y(t)的图形可以看到,当 t 在 50~150 小时之间传染最快,且当 t 趋于 无穷大时,y(t)趋于 1000 人,即导致全游艇任素华都被传染。


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