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2013年江门佛山联考(佛山二模)文科数学试题及答案


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

2013.4

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 A ? x ? 1 ? x ? 2, x ? N ,集合 B ? ?2,3?,则 A ? B 等于 A. ? ,2,3? 1 B. ?0,1,2,3? C. ?2? D. ?? 1,0,1,2,3?

?

?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. 3i C. ? 3i D. ? 3

2 3.已知命题 p : ? x ? 1 , x ? 1 ? 0 ,那么 ? p 是

A. ? x ? 1, x ? 1 ? 0
2

B. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

C. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

D. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

4.为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画 出样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? B.60 D.80

频率/组距

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则 2?

0.04 0.02 0.01

1] A. f ( x ) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] B. f ( x ) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 0 C. f ( x ) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x ) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减.

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图

6.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? a2 ”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? 7.已知幂函数 f ( x) ? x ,当 x ? 1 时,恒有 f ( x) ? x ,则 ? 的取值范围是

A. 0 ? ? ? 1

B. ? ? 1

C. ? ? 0

D. ? ? 0

8.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题:

文科数学试题卷 第 1 页 共 9 页

① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? 其中真命题的序号是 A.①④ B. ②③

②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ④若 m // n,

n ? ? ,则 m // ?
D. ①③

C.②④

? x?0 ? y?0 ? 9.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示平面区域的公共点有 ? x ? y ? ?2 ?4 x ? 3 y ? 20 ?
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 10.已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记 作 d ( P, l ) .设 l 是长为 2 的线段,点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积为 A.

?

B. 2?

C. 2 ? ?

D. 4 ? ?

二、填空题:本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?

2 , ? a ? b? ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为

. .

12.已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为 13.将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大,
s t

3 5 9 10 ? ?
第 13 题图

左小右大的原则排成如图的三角形数表,将数表中位于 第 i 行第 j 列的数记为 bij ( i ? j ? 0 ),则 b43 = (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) .

6 12 ?

?

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为 A、B , 则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .
B O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,

直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于 D, 若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______.
A E C D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 15 题图 16. (本题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值. (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S?AOB . 5
文科数学试题卷 第 2 页 共 9 页

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设 工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否 堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返回经甲地赶去乙地上班, (1)写出李生可能走的所有路线; (比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙,再走 D 路回到甲,然后走 A 路到 达乙); (2)假设从甲到乙方向的道路 B 和从丙到甲方向的 道路 D 道路拥堵,其它方向均通畅,但李生不知道 相关信息,那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少?



A B C

第 17 题图



D E



18. (本题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧棱 D1 D 垂直于底面
ABCD ,且 D1 D ? 3 .

D1 A1

C1 B1

(1)点 P 在侧棱 C1C 上,若 CP ? 1 , 求证: A1 P ? 平面 PBD ; (2)求三棱锥 A1 ? BDC1 的体积 V .

P D A B
第 18 题图

C

19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F ?1,0 ? , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,直线 l 过点

M (4, 0).
(1)写出抛物线 C2 的标准方程; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴
文科数学试题卷 第 3 页 共 9 页

长的最小值.

20. (本题满分 14 分) 环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计

20 年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房
总面积为 64a m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积 a m ,前四年每年以100% 的 增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加 a m .设第 n (n ? 1, 且n ? N )年新城区的住房总
2 2 2

面积为 an m ,该地的住房总面积为 bn m . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若每年拆除 4a m ,比较 an +1 与 bn 的大小.
2

2

2

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 ln x , g ( x) ? , a 是常数. x?a x?a

(1)求 f (x) 的单调区间; (2)若 g ( x) 有极大值,求 a 的取值范围.

文科数学试题卷 第 4 页 共 9 页

文科数学评分参考
一、填空题 二、填空题 ? 11. 4 BDBCACBDBD

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

13. 20 15.
1 3

? 2 14. ? sin(? ? ) ? (或 ? sin ? ? ? cos? ? 1) 4 2

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) , ??1 分 ??? ? ??? ? ??2 分 OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 ??3 分 1 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? ??4 分 3 解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ??1 分 ??2 分 kOA ? ?3 , kOB ? tan ? ∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1 ??3 分 1 ?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? ??4 分 3 解法 3、 设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 ? 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分) ??6 分 ? ?? 10 10 10 10 4 3 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分) ∵ OB ? 1 ??8 分 5 5 3 10 4 10 3 3 10 (列式计算各 1 分) ??10 分 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ? (列式计算各 1 分) ??12 分 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? 2 2 2 10 解法 2、 由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 ??6 分 4 3 3 则 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 B ( , ) (列式计算各 1 分) ??8 分 5 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 (列式计算各 1 分) 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? ??10 分 10 10 又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ?
1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 分)?12 分 2 2 10 2
第 5 页 共 9 页

文科试题参考答案

解法 3、
4 3 3 即 B ( , ) (每式 1 分) 5 5 5 ??? ? 4 3 ??? ? 即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) , 5 5

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

??6 分 ??7 分

??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 2 2 5 5 ? 10 ??9 分 OA ? (?1) ? (3) ? 10 , OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分)
3 10 ??10 分 10 1 1 3 10 3 则 S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ??12 分 ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2 解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个 内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)

∴ sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ?

17.⑴李生可能走的所有路线分别是:DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB, EEC,EDA,EDB,EDC(1-2 个 1 分,3-5 个 2 分,5-7 个 3 分,7-11 个 4 分, ??5 分 ) 共 12 种情况 ??6 分 ⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有:DEA,DEC,EEA,EEC ??7 分 共 4 种情况, ??8 分 4 1 ? (文字说明 1 分)??12 分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P ? 12 3 18.⑴解法 1、 依题意, CP ? 1 , C1P ? 2 ,在 Rt ?BCP 中, PB ? 12 ? 12 ? 2 同理可知, A1 P ? 22 ? 22 ? 2 2 , A1 B ? 32 ? 12 ? 10 (每式 1 分)
2 2 2

??1 分 ??3 分

所以 A1P ? PB ? A1B , ??4 分 则 A1P ? PB , ??5 分 同理可证, A1P ? PD , ??6 分 由于 PB ? PD ? P , PB ? 平面 PBD , PD ? 平面 PBD , ??7 分 所以, A1 P ? 平面 PBD . ??8 分 解法 2、 由 A1P ? PB (或 A1 P ? PD )和 A1 P ? BD 证明 A1 P ? 平面 PBD (证明任何一个线线垂直关系
给 5 分,第二个线线垂直关系给 1 分)

⑵解法 1、 如图 1,易知三棱锥 A1 ? BDC1 的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体 积,即 VA1 ?BDC1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? 4VA1 ? ABD (文字说明 1 分)??11 分 D1
1 ?1 ? ? ? AB?AD ??A1 A ? 4 ? ? ? AB?AD ??A1 A ??13 分 3 ?2 ? 1 ? ? 2 ? 2 ?3 ? 2 ??14 分 3
A1
B1 C1 A1
N

C1

D A
文科试题参考答案 第 6 页 共 9 页

C

D B (第 18 题图 2) M

B (第 8 题图 1)

解法 2、 依题意知,三棱锥 A1 ? BDC1 的各棱长分别是

AC1 ? BD ? 2 , A1B ? A1D ? C1B ? C1D ? 11 (每式 1 分)??10 分 1 如图 2,设 BD 的中点为 M ,连接 A1M,C1M ,
则 A1M ? BD , C1M ? BD ,且 A1M ? C1M ? 10 , 于是 BD ? 平面 A1C1M , ??12 分 设 AC1 的中点为 N ,连接 MN ,则 MN ? AC1 ,且 MN ? A1M 2 ? A1 N 2 ? 10 ? 1 ? 3 , 1 1 则三角形 A1C1M 的面积为 S?A1C1M ?
1 1 A1C1 ?MN ? ? 2 ? 3 ? 3 , ??13 分 2 2 1 1 所以,三棱锥 A1 ? BDC1 的体积 V ? ?S ?A1C1M ?BD ? ? 3 ? 2 ? 2 . ??14 分 3 3

19.⑴由题意,抛物线 C2 的焦点 F ?1,0 ? ,则 所以方程为: y 2 ? 4 x . ⑵解法 1、 设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) ,
m n 2 2

p ? 1, p ? 2 2

??2 分 ??3 分 ??4 分

m ?n ? 2 ? k ( 2 ? 4) ? 因为 O、 P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所以 ? (每方程 1 分)??6 分 ? n ? k ? ?1 ? m ? 2 ? 8k ?m? ?km ? n ? 8k ? 1? k2 , 即? ,解之得 ? ??7 分 ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? 1? k2 ? 8k 2 8k 2 将其代入抛物线方程,得: (? ,所以 k 2 ? 1 (列式计算各 1 分)??9 分 ) ? 4? 1? k2 1? k2 ? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ??11 分 ? 2 ?1 ? 2 b ?a

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , 注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

??12 分 ??13 分 ??14 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 解法 2、 ? m2 ? 设 P? , m ? ,因为 O、 P 两点关于直线 l 对称,则 OM ? MP =4 , ? 4 ?
2

??5 分

k AB

? m2 ? 即 ? ??6 分 ? 4 ? ? m2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 ? 4 ? 即 P (4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B 如图.则 1 ??9 分 ?? ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 (讨论、斜率与方程各 1 分) kOP
文科试题参考答案 第 7 页 共 9 页

? y ? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

??11 分 ??12 分 ??13 分 ??14 分

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , 注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a2 ? 17 ,所以 a ? 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .
y
l
34 ,即 2a ? 34 , 2

y

B

O F

M
P

x

O F
A

M
P

x

20.⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 ?n m 2 ,则当 1 ? n ? 4 时, ?n ? 2n?1 a ;??1 分 当 n ? 5 时, ?n ? (n ? 4)a . ??2 分 所以, 当 1 ? n ? 4 时, an ? (2n ?1)a 当 n ? 5 时, an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? …? (n ? 4)a ? ??3 分
n 2 ? 9n ? 22 a (列式 1 分)??5 分 2

?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n2 ? 9n ? 22 ??6 分 a(n ? 5). ? ? 2 ⑵ 1 ? n ? 3 时, an?1 ? (2n?1 ?1)a , bn ? (2n ?1)a ? 64a ? 4na ,显然有 an?1 ? bn ??7 分 n ? 4 时, an?1 ? a5 ? 24a , bn ? b4 ? 63a ,此时 an?1 ? bn . ??8 分
n 2 ? 11n ? 12 n2 ? 9n ? 22 a , bn ? a ? 64a ? 4na (每式 1 分)??10 分 2 2 ??11 分 an?1 ? bn ? (5n ? 59)a . 所以, 5 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ; 12 ? n ? 16 时, an?1 ? bn . n ? 17 时,显然 an?1 ? bn ??13 分
5 ? n ? 16 时, an ?1 ?

(对 1-2 种情况给 1 分,全对给 2 分) 故当 1 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;当 n ? 12 时, an?1 ? bn . 21.⑴ f ?( x) ?

??14 分

1 1 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ??1 分 ? ? x ( x ? a) 2 x( x ? a ) 2 设 h( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ,其判别式 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a2 ? 4a ? 1 ??2 分 1 ①当 a ? ? 时,? ? 0, h( x) ? 0, x( x ? a)2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 , f (x) 在定义域 ? 0, ??? 上是增函 4 数; ??3 分 2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4 a ? 1 当 ? ? 0 时,由 h( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? 0 解得: x1 ? , x2 ? 2 2 (每个根 1 分)??5 分
文科试题参考答案 第 8 页 共 9 页

1 ? 2 ②当 ? ? a ? 0 时, ? 0 , a ? 1 ? 0 ; (2a ? 1)2 ? (4a ? 1) ? 4a2 ? 0 , 2a ? 1 ? 4a ? 1 ? 0 , 又 ? 4 2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4 a ? 1 故 x2 ? x1 ? 0 ,即 h( x) 在定义域 ? 0, ??? 上有两个零点 x1 ? , x2 ? 2 2 2 在区间 ? 0, x1 ? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a) ? 0 ,? f ?( x) ? 0 , f (x) 为 ? 0, x1 ? 上的增函数

在区间 ? x1 , x2 ? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a)2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 , f (x) 为 ? x1 , x2 ? 上的增函数

在 区 间 ? x2 , ??? 上 , h( x ) ? 0, x( x ? a)2 ? 0 , ? f ?( x) ? 0 , f (x) 为 ? x2 , ??? 上 的 增 函 数. ??6 分 ③当 a ? 0 时, x1 ? 0, x2 ? 1 ,在区间 ? 0,1? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a) ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ;在区
2

间 ?1, ?? ? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a)2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,

??7 分

④当 a ? 0 时,函数 f (x) 的定义域是 ? 0, a ? ? ? a, ??? ,? h(a) ? ?a ? 0 , h( x) 在 ? 0, a ? 上有 零点 x1 ?
2a ? 1 ? 4 a ? 1 2a ? 1 ? 4a ? 1 , ? a, ??? 上有零点 , x2 ? 在 ; 在区间 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ??? 上, 2 2 f ?( x) ? 0 , f (x) 在 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ??? 上为增函数; 在区间 ? x1, a ? 和 ? a, x2 ? 上, f ?( x) ? 0 , f (x) 在

? x1, a ? 和 ? a, x2 ? 上位减函数.

??8 分

1 1 综上: 当 a ? ? 时,函数 f (x) 的递增区间是 ? 0, ??? ;当 ? ? a ? 0 时, f (x) 的递增区间 4 4 是 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ??? ,递减区间是 ? x1 , x2 ? ;当 a ? 0 时, f (x) 的递减区间是 ? 0,1? ;递增区间是

?1, ??? ; 当 ? x2 , ??? .
g ?( x) ?

a ? 0 时 , f (x) 的 递 减 区 间 ? x1 , a ? 和 ? a, x2 ? , 递 增 区 间 是 ? 0, x1 ? 和

??9 分

⑵当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域是 ? 0, ??? ,当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域是 ? 0, a ? ? ? a, ??? ,
x(1 ? ln x) ? a ,令 t (x) ? x(1 ?ln x) ,则 t ?(x) ? ?ln x (每个导数 1 分) x( x ? a ) 2 在区间 ? 0,1? 上, t ?( x) ? ? ln x ? 0 , t ( x) ? x(1 ? ln x) 是增函数且 0 ? t ( x) ? 1;

??11 分

在区间 ?1, ?? ? 上, t ?( x) ? ? ln x ? 0 , t ( x) ? x(1 ? ln x) 是减函数且 t ( x) ? 1 ; 当 x ? 1 时,t (1) ? 1. ??12 分 故当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 无极大值; 当 0 ? a ? 1 时, t (a) ? a ? 0 ,方程 t ( x) ? a 在区间 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 上分别有一解 x?, x?? ,此时 函数 g ( x) 在 x ? x?? 处取得极大值; ??13 分 当 a ? 0 时,方程 t ( x) ? a 在区间 ?e, ?? ? 上有一解 x??? ,此时函数 g ( x) 在 x ? x??? 处取得极大 值. 综上所述,若 g ( x) 有极大值,则 a 的取值范围是 ? ??,1? . ??14 分

文科试题参考答案

第 9 页 共 9 页


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