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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题:专题7第二讲 概率、随机变量及其分布列

专题七

概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、 复数

第二讲

概率、随机变量及其分布列

1.若事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A∪B)=1,即 P(A) =1-P(B).

1

P(AB) 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= P(A) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.特别地,对于 古典概型,由于组成事件 A 的各个基本事件发生的概率相等,因此 n(AB) 其条件概率也可表示为:P(B|A)= . n(A)

1.事件 A 与事件 B 相互独立. 设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事 件 B 相互独立,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立. 2.独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中, 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)
k n- k =Ck ,k=0,1,2,?,n. np (1-p)

2

3

4

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.(√) (2)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典 概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(×) (3)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反 面”,这三个结果是等可能事件.(×) (4)某人射击时命中的概率为 0.5, 此人射击三次命中的次数 X 服 从两点分布.(×) (5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和 可以小于 1.(×)

1.(2014· 新课标Ⅰ卷)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一 天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D) 1 A. 8 5 C. 8 B. 3 8 7 8

D.

解析:由已知,4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加 公益活动共有 24=16 种不同的结果,而周六、周日都有同学参加公
2 益活动有两类不同的情况:①一天一人,另一天三人,有 C1 4A2 = 8

5

种不同的结果;②周六、周日各 2 人,有 C2 4=6 种不同的结果,故周 六、周日都有同学参加公益活动有 8+6=14 种不同的结果,所以周 六、周日都有同学参加公益活动的概率为 14 7 = .故选 D. 16 8

2.甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取 胜的概率相等, 现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛, 胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为(D) 1 A. 6 1 C. 3 B. 1 4 1 2

D.

2 C2 4C2 解析:所有可能的比赛分组情况共有 4× =12 种,甲、乙 2!

相遇的分组情况恰好有 6 种.故选 D. 3.(2015· 广东卷)已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品, 现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率为(B) A.0.4 C.0.8 B.0.6 D.1

解析:记 3 件合格品为 a1,a2,a3,2 件次品为 b1,b2,则任取 2 件构成的基本事件空间为 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1, b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共 10 个元素. 记“恰有 1 件次品”为事件 A,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2, b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},共 6 个元素. 6 故其概率为 P(A)= =0.6. 10 4.(2015· 新课标Ⅰ卷)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次 才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮
6

是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(A) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
2 解析: 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k=2)=C3 ×0.62×(1-0.6),

投中 3 次的概率为 P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为 P(k=2)+
2 3 P(k=3)=C2 3×0.6 ×(1-0.6)+0.6 =0.648.故选 A.

5.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示:

X P

-1 a

0 b

1 c

2 1 12

若 E(X)=0,D(X)=1,则 a= 解析:由题知 a+b+c= 1 5 1 × =1,解得 a= ,b= . 12 12 4

5 1 ,b= . 12 4

11 1 ,-a+c+ =0,12×a+12×c+22 12 6

一、选择题 1 1.若 x∈A,且 ∈A,则称 A 是“伙伴关系集合”,在集合 M x
? 1 1 ? =?-1,0,3,2,1,2,3,4?的所有非空子集中任选一集合, 则该 ? ?

集合是“伙伴关系集合”的概率为(A) 1 A. 17 B. 1 51 C. 7 255
7

D.

4 255

2.电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都 由 4 个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概 率为(C) 1 A. 180 B. 1 288 C. 1 360 1 D. 480

解析:四个数字之和为 23 的情况有:09:59,18:59,19:58, 19: 49 四种, 基本事件总数为 60×24=1 440, 故所求概率为 P= 1 = . 360 3.(2014· 陕西卷)设样本数据 x1,x2,?, x10 的均值和方差分 别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,?,10),则 y1, y2,?, y10 的均值和方差分别为(A) A.1+a,4 C.1,4 B.1+a,4+a D.1,4+a 4 1 440

解析:由题得:x1+x2+?+x10=10×1=10;(x1-1)2+(x2-1)2 +?+(x10-1)2=10×4=40. y1,y2,?y10 的均值和方差分别为: 1 均值- y = (y1+y2+?+ y10) 10 1 = [(x1+a)+(x2+a)+?+(x10+a)] 10 1 = [(x1+x2+?+x10)+10a] 10 = 10+10a =1+a. 10 1 1 [(y1-- y )2+(y2-- y )2+?+(y10-- y )2]= [(x1+a)-(1 10 10

方差=

8

+a)]2+[(x2+a)-(1+a)]2+?+[(x10+a)-(1+a)]= -1)2+?+(x10-1)2]= 40 =4.故选 A. 10

1 [(x1-1)2+(x2 10

1 4.高二某班共有 60 名学生,其中女生有 20 名,三好学生占 , 6 而且三好学生中女生占一半. 现在从该班同学中任选一名参加某一座 谈会, 则在已知没有选上女生的条件下, 选上的是三好学生的概率为 (C) 1 A. 6 B. 1 12 1 C. 8 D. 1 10

解析: 设事件 A 表示“任选一名同学是男生”, 事件 B 表示“任 选一名同学为三好学生”,则所求概率为 P(B|A). 依题意得 P(A)= 40 2 5 1 = ,P(AB)= = . 60 3 60 12

1 P(AB) 12 1 故 P(B|A)= = = . 2 8 P(A) 3 5.(2015· 福建卷改编)如图,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标 为(2,4),函数 f(x)=x2,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取 自阴影部分的概率等于(A)

9

5 A. 7

B.

7 9

5 C. 12

D.

7 13

解析:由题意知,阴影部分的面积 1 5 S=?2(4-x2)dx=(4x- x3)|2 1= , 3 3 ?
1

5 3 S 5 ∴ 所求概率 P= = = . S矩形ABCD 1×4 12 6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣 小组的概率为(A) 1 A. 3 二、填空题 7.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动 一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概 1 5 率都是 ,质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率是 . 2 16 解析:点 P 移动 5 次后到达点(2,3)可看作是 5 次移动中选择 2
2 次右移、3 次上移,故有 C5 种不同的移动方法,而所有的移动方法有

B.

1 2

2 C. 3

3 D. 4

C2 5 5 2 种,故所求的概率为 P= 5 = . 2 16
5

8.(2015· 江苏卷)袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只 白球,1 只红球,2 只黄球.从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球 5 颜色不同的概率为 . 6
2 C2 4-C2 解析:由古典概型概率公式,得所求事件的概率为 P= = C2 4

5 . 6
10

三、解答题 9.(2014· 全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用 某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相 互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 分析:(1)首先用字母表示有关的事件,Ai 表示事件:同一工作 日乙、丙恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2;B 表示事件:甲需使用 设备;C 表示事件:丁需使用设备;D 表示事件:同一工作日至少 3 - 人需使用设备. 将 D 分解为互斥事件的和; D=A1· B· C+A2· B· C - +A2· B· C+A2· B· C, 再利用互斥事件的概率加法公式计算 P(D); (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,先用分解策略分别求 P(X= i)(i=0,1,2,3,4),最后利用离散型随机变量数学期望公式求 E(X) 的值. 解析:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙恰有 i 人需使用设备, i=0,1,2;B 表示事件:甲需使用设备;C 表示事件:丁需使用设 备;D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. (1)D=A1·B·C+A2·B·- C +A2·- B ·C+A2·B·C,又 P(B) =0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, ∴P(D)=P(A1·B·C+A2·B·- C +A2·- B ·C+A2·B·C)= - - P(A1· B· C)+P(A2· B· C )+P(A2· B· C)+P(A2· B· C)=P(A1)P(B)P(C) +P(A2)P(B)P(- C )+P(A2)P(- B )P(C))+P(A2)P(B)· P(C)=0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4. P(X=0)=P(- B ·A0·- C )=P(- B )P(A0)P(- C )=(1-0.6)×0.52×(1
11

-0.4)=0.06, - - P(X=1)=P(B· A0· C +- B· A0· C+- B· A1· C )=P(B)P(A0)P(- C) + P( - B )P(A0)P(C) + P( - B )P(A1)P( - C ) = 0.6 × 0.52 × (1 - 0.4) + (1 - 0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06 -0.25-0.25-0.06=0.38. ∴数学期望 E(X) = 0×P(X = 0) + 1×P(X = 1) + 2×P(X = 2) + 3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2. 10. 甲、 乙、 丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、 乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与 轮空者进行比赛, 而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直 进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜负 1 的概率均为 ,且各局胜负相互独立,求: 2 (1)打满 3 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数 ξ 的分布列与期望 E(ξ). 解析:令 Ak,Bk,Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式 1 1 知,打满 3 局比赛还未停止的概率为 P(A1C2B3)+P(B1C2A3)= 3+ 3 2 2 1 = . 4 (2)ξ 的所有可能值有 2,3,4,5,6,且 1 1 1 P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= 2+ 2= , 2 2 2
12

1 1 1 P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)= 3+ 3= , 2 2 4 1 1 1 P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)= 4+ 4= , 2 2 8 1 1 1 P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)= 5+ 5= , 2 2 16 1 1 1 P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)= 5+ 5= . 2 2 16 故 ξ 的分布列为: ξ 2 1 2 3 1 4 4 1 8 5 1 16 6 1 16

P

1 1 1 1 1 47 从而 E(ξ)=2× +3× +4× +5× +6× = . 2 4 8 16 16 16

13


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