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《金版新学案》高一数学 1.1.3集合的基本运算(第2课时补集及综合应用)课件 新人教A版_图文

1.1.3 集合的基本运算(第2课时 补集及综合应用)

1.并集、交集的定义 A∪B={x|x∈A或x∈B};A∩B={x|x∈A且x∈B}

2.并集、交集的运算性质
A∪B= B∪A ,A∩B= B∩A ; A∪?= ?∪A ,A∩?= ? ;

A∪B=B? A?B ,A∩B=B? B?A .

1.全集
如果一个集合含有我们 研究问题涉及的所有元素 ,那么 就称这个集合为全集,通常记作 U .

2.补集
不属于A

自然语 言

对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的 集合称为集合A相对于全集U的补集,记作?UA

符号语 言

?UA={x|x∈U且x?A} ______________

图形语 言

1.全集一定包含任何一个元素吗? 【提示】 全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而 非任何元素. 2.?AC与?BC相等吗? 【提示】 不一定.若A=B,则?AC=?BC,否则不相等.

已知全集U、集合A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},?UB= {1,4,6,8,9},求集合B. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:

①A与?UA已知;
②B的补集已知. 解答本题可由A及?UA求出全集U,再由补集定义求出集合B,或

利用Venn图求出集合B.
【解析】 借助Venn图,如右图所示,

得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
∵?UB={1,4,6,8,9}, ∴B={2,3,5,7}.

(1)根据补集定义,借助Venn图,可直观地求出全集,此类问 题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图;当集合中元素无

限时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
(2)补集的几个性质:?UU=?,?U?=U,A∪?UA=U,解题 时要注意使用.

1.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,|a-5|},M?U,?UM=

{5,7},则a的值为(
A.2或-8

)
B.-8或-2

C.-2或8 D.2或8

【解析】 由?UM={5,7},得M={1,3},所以|a-5|=3,即a=
2或a=8.故选D. 【答案】 D

已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-2<x<2},B={x|-3< x≤3}.求?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B.

【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:
①全集U,集合A、B均为无限集; ②所求问题为集合间交、并、补运算.解答此题可借助数轴

求解.

【解析】 把全集U和集合A,B在数轴上表示如下:

由图可知, ?UA={x|x≤-2或2≤x≤5},A∩B={x|-2<x<2}, ?U(A∩B)={x|x≤-2或2≤x≤4}, (?UA)∩B={x|-3<x≤-2或2≤x≤3}.

求解与不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数 轴求解,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及

取到与否.

2.本例中,若将条件“A={x|-2<x<2}”改为“A={x|-

4≤x≤2}”,求?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B.

【解析】 把全集U和A、B集合在数轴上表示如下:

由图可知

?UA={x|x<-4或2<x≤5}
A∩B={x|-3<x≤2} ?U(A∩B)={x|x≤-4或2<x≤5}

(?UA)∩B={x|2<x≤3}.

已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?RB)=R.则
实数a的取值范围是( A.a≤2 B.a<1 )

C.a≥2 D.a>2
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①集合A不确定,集合B确定;

②A∪(?RB)=R.解答本题可结合数轴求解.
【解析】 ∵B={x|1<x<2}, ∴?RB={x|x≤1或x≥2}.

由A∪(?RB)=R,如下图所示
可知a≥2,故选C.

【答案】 C

对于数集运算,可借助数轴,根据集合间的关系求解,具 体操作时,要注意端点值的“取”与“不取”.

3.(1)本例中,若将条件“A∪(?RB)=R”改为“A??RB”,则a 的范围又是什么? (2)本例若变为“已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2}, 且A??RB”,则a的取值范围是什么?

【解析】 (1)?RB={x|x≤1或x≥2},
若A??RB,则a≤1(如图所示) (2)?RB={x|x≤1或x≥2},A??RB, ∴分A=?和A≠?两种情况讨论, ①若A=?,∵A??RB, ∴此时有2a-2≥a, ∴a≥2. ②若A≠?, 则有 或 , ∴a≤1或a∈?, 综上所述,a≤1或a≥2.

1.全集与补集概念的理解

(1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种
运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集 的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可 分割的两个概念. (2)若x∈U,则x∈A和x∈?UA二者必居其一,不仅如此,结 合Venn图及全集与补集的概念,不难得到如下性质:A∪(?UA)= U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A.

2.交集、并集、补集的关系 (1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)(如下图所示)

(2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)(如下图所示)

设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数
a的值. 【错解】 因为?UA={5},所以5∈U且5?A,所以a2+2a-3=5,

且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4,即实数a的值是2或-4.
【错因】 本题解答错误在于忽略了集合A的元素|2a-1|是由a确立 的,事实上,当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意,而当a=-

4时,A={9,2},不是U的子集.
【正解】 因为?UA={5},则5∈U且5?A,且|2a-1|=3.解得:a =2,即a的取值是2.也可以采用错解中的步骤,最后加上错因分析中的

验证一步.

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