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8-4走向高考数学章节


第八章

立体几何初步

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立体几何初步

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立体几何初步

考纲解读 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识

和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题.

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考向预测 1.以选择题、填空题的形式,考查线面垂直、面面

垂直的判定定理和性质定理.
2.解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定 及逻辑推理能力为主. 3.通过考查线面角,考查空间想象能力及运算能力, 常以解答题的形式出现.

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知识梳理 1.直线与平面垂直
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(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义:如果直线l与平面α内的 任何 直线都垂直,则 直线l与平面α互相垂直. ②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条 相交 直线都垂直,则该直线和此平面垂直.

(

③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个
平面,那么另一条直线也 垂直 这个平面.

)

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(2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内的 任何 直线.

②垂直于同一个平面的两条直线 平行 . ③垂直于同一直线的两平面 平行 .

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2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法

①定义:如果两个平面所成的二面角是 直角 ,就说
这两个平面互相垂直. ②判定定理:一个平面过另一个平面的一条垂线 ,则 这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质

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如果两平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们
交线 的直线垂直于另一个平面.

)

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3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的

图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点, 在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线,这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.

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基础自测 1.(2011·庆阳模拟)已知α,β表示两个不同的平面,
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m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 [答案] B

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[解析]

本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用
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充要条件解题的能力.

由已知m?α,若α⊥β则有m⊥β,或m∥β或m与β相交;
反之,若m⊥β,∵m?α,∴由面面垂直的判定定理知 α⊥β.∴α⊥β是l⊥β的必要不充分条件.故选B.

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2.(2011·广东月考)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那

么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两 个平面相互垂直;

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③垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不 垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) B.②和③

( )

C.③和④
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D.②和④
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[答案] D [解析] 考查空间线面的位置关系的判定与性质.

①错,②正确,③错,④正确.故选D.

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3.(2011·九江调研)设α,β是两个不同的平面,l是一 条直线,以下命题正确的是( )
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A.若l⊥α,α⊥β,则l?β
B.若l∥α,α∥β,则l?β C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β

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[答案] C [解析] 本小题主要考查立体几何基础知识,考查了

线面平行与垂直,和面面的平行与垂直.
由线面垂直的判定方法知,若l⊥α,α∥β,则l⊥β成 立. 故选C.

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4.对于直线m、l和平面α、β,α⊥β的一个充分条件 是( )
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A.m⊥l,m∥α,l∥β
B.m⊥l,α∩β=m,l?α C.m∥l,m⊥α,l⊥β D.m∥l,l⊥β,m?α [答案] D

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[解析]

本题考查空间线面位置关系的判定.A:与
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两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定;B:平

面内的一条直线与另一个平面的交线垂直,这两个平面的
位置关系也不能确定;C:这两个平面也有可能重合可能 平行;D是成立的,故选D.

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5.(2010·山东淄博)正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M、 N 分 别 是 棱 AA1 和 AB 上 的 点 , 若 ∠ B1MN 是 直 角 , 则

∠C1MN=________.

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[答案] 90° [解析] ∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN?平面ABB1A1,

∴MN⊥B1C1又MN⊥B1M,B1M∩B1C1=B1,
∴MN⊥平面B1C1M,MC1?平面B1C1M, ∴MN⊥MC1即∠C1MN=90°.

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6.对于四面体ABCD,给出下列四个命题: ①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;

②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD; ④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD. 其中真命题的序号是________.(把你认为正确命题 的序号都填上)

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[答案] ①④

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[解析] 本题考查四面体的性质,取BC的中点E, 则BC⊥AE,BC⊥DE,

∴BC⊥平面ADE,∴BC⊥AD,故①正确.
设 O 为 A 在 面 BCD 上 的 射 影 , 依 题 意 OB⊥CD , OC⊥BD, ∴O为垂心,∴OD⊥BC,∴BC⊥AD,故④正确, ②③易排除,故答案为①④.

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7 . 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 , ∠ ACB = 90°,B1C⊥BD.求证:AB1⊥BD.

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[解析] 由直三棱柱得C1C⊥AC, 又∠ACB=90°,即AC⊥BC,

∴AC⊥平面CB1,而BD?平面CB1,
∴AC⊥BD,又B1C⊥BD, ∴BD⊥平面AB1C,AB1?平面AB1C, ∴BD⊥AB1.

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[例 1] 已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是 三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中真命题 是( ) ①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α ∥β ③若 m? α,n? β,m∥n,则 α∥β ④若 m、n 是异面 直线,m? α,m∥β,n? β,n∥α,则 α∥β A.①② C.③④
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B.①③ D.①④
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[解析]

命题①为真命题,垂直于同一条直线的两个
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不重合平面必平行.

命题②为假命题,例如正方体交于同一点的相邻三个
面. 命题③为假命题,例如(如图). 正四棱锥中,AB?面SAB,CD?面SCD,AB∥CD. 但面SAB与面SCD不平行,而是相交.

( )

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命题④为真命题,因为过直线n作平面γ和平面α相交, 设交线为a,则a∥n.∵m、n为异面直线,m?α,n?β,

∴m,a为相交直线
∵m∥β,a∥β,∴α∥β.故选D. [答案] D

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设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的 平面,考察下列命题,其中正确的命题是( A.m⊥α,n? β,m⊥n?α⊥β B.α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n C.α⊥β,m⊥α,n∥β?m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β
[答案] B

)

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[解析] 如下图(1)满足 m⊥α, β, n? m⊥n, β∥α, 但 故 A 错; ? α∥β ? ? ??m⊥β? m⊥α? ? ??m⊥n,故 B 对; ? n∥β ?

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如图(2)满足α⊥β,m⊥α,n∥β,但m∥n,故C错; 如图(3)α⊥β,α∩β=m,
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AB⊥m于B,BC⊥m于B,直线AC为直线n,显然满足
D的条件,但不能得出n⊥β.故D错.∴选B.

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[例2]

如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,

M、N分别是AB、PC的中点,若∠PDA=45°,求证:
MN⊥平面PCD.

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[分析]

取PD的中点E,连接AE,则有MN∥AE,考
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虑证明AE⊥平面PCD.

[证明] 如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE. 1 ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点,∴EN 綊 CD. 2 1 又∵M 为 AB 的中点,∴AM 綊 CD. 2

( )

∴EN 綊 AM.∴四边形 AMNE 为平行四边形.
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∴MN∥AE.∵PA⊥ 平 面 ABCD , ∴ PA⊥AD , 又 ∠PDA=45°,

∴△PAD为等腰直角三角形.∴AE⊥PD.
又∵CD⊥AD,CD⊥PA, ∴CD⊥平面PAD.而AE?平面PAD, ∴CD⊥AE.又CD∩PD=D, ∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.

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[点评] 证明线面垂直的常用方法: (1)利用线面垂直的定义:证一直线垂直于平面内任

一直线,这条直线垂直于该平面.
(2)用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的 两条相交直线都垂直,这条直线与平面垂直. (3)利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于 平面,则另一条也垂直于这个平面.

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(4)用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平
面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.

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(5)用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平 面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.
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(6)用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三
个平面,那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.

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如图,AC⊥平面 α,AB∥平面 α,CD? α,点 M 是 AC 的中点,点 N 是 BD 的中点.若 AB=4,AC=2,CD =4,BD=6. (1)求证:AB⊥平面 ACD; (2)求证: 即和 AC 垂直又和 BD 垂直, MN 并计算 MN 的长.

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[分析] 本题主要考查线面垂直的判定与性质. (1)利用勾股定理判断出AB⊥AD,即通过计算来证明

垂直关系,这在高考题中是常用的.
(2)将图形补完整,把证MN⊥BD转化为CF⊥面BDE.

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[证明] (1)∵AC⊥平面 α, ∴在 Rt△ACD 中, AC2+CD2=AD=2 5. 在△BAD 中,AB2+AD2=16+20=36=BD2, ∴∠BAD=90° ,即 AB⊥AD. 又 AC⊥平面 α,AB∥平面 α,∴AB⊥AC,且 AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD.

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(2)如图,B 作 BE⊥平面 α 于 E, ∵AB∥平面 α,AC⊥平面 α,∴四边形 ABEC 是矩 形. 1 设 F 是 DE 的中点,连接 NF、CF,则 NF 綊 BE. 2 1 ∵MC= AC,BE=AC,∴NF 綊 MC, 2

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∴MNFC 是平行四边形,∴MN 綊 CF.
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又 CE=AB=4,CD=4,∴△DCE 是等腰三角形, ∴CF⊥DE,又 BE⊥CF,∴CF⊥平面 BDE, ∴MN⊥平面 BDE, ∴MN⊥BD,又 AC⊥α,∴AC⊥CF,而 CF∥MN, ∴AC⊥MN,故 MN 是既和 AC 又和 BD 垂直. 由(1)知 AB⊥平面 ACD,而 CE∥AB,∴CE⊥平面 ACD, ∴CE⊥CD,∴△DCE 是等腰直角三角形, 1 ∴CF= DE=2 2,∴MN=2 2. 2
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[例3]

如图所示,△ABC为正三角形 ,EC⊥平面

ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:

(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA; (3)平面DEA⊥平面ECA.

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[证明] (1)取 EC 中点 F,连接 DF, 由 EC⊥平面 ABC 及 BD∥CE 知 DB⊥平面 ABC. 故 DB⊥AB,EC⊥BC, 1 又 BD∥FC,BD= CE=FC, 2 ∴四边形 FCBD 为距形, 于是 DF⊥EC,又 DF=BC=BA,∴Rt△DFE≌Rt△ ABD, 所以 DE=DA.
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(2)由(1)知△DAE 为等腰三角形, 且 M 为底面 EA 的中点,故 DM⊥AE. 取 CA 中点 N,连接 MN、NB, 1 则 MN∥EC,且 MN= EC, 2 1 又 DB∥EC,且 DB= EC, 2 故 BD∥MN,且 BD=MN, 又由 DB⊥平面 ABC 知 DB⊥BN,

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所以四边形MNBD为矩形, 于是DM⊥MN,因MN∩AE=M,

所以DM⊥平面ECA,而DM?平面BDMN,
则平面BDM⊥平面ECA. (3)因DM⊥平面ECA,又DM?平面DEA, 所以平面DEA⊥平面ECA.

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[点评]

证明线面垂直的方法:证明一个面过另一个
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面的垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先

从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中
点、高线与添加辅助线解决.

( )

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(2010· 辽 宁 文 ) 如 图 , 棱 柱 ABC - A1B1C1 的 侧 面 BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1; (2) 设 D 是 A1C1 上 的 点 , 且 A1B∥ 平 面 B1CD , 求 A1D∶DC1的值.

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[解析]

本题考查立体几何中的线面关系,两平面的
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垂直关系线面平行的性质在本题中都有体现.

(1)因为侧面BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1,
又已知B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B, 所以B1C⊥平面A1BC1,又B1C?平面AB1C 所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .

( )

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(2)设BC1 交B1C于点E,连接DE,则DE是平面A1BC1 与平面B1CD的交线.

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因为A1B∥平面B1CD,A1B?平面A1BC1,平面A1BC1∩ 平面B1CD=DE,所以A1B∥DE.

又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点.
即A1D∶DC1=1.

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[例 4]

已知三棱锥 A-BCD 中,∠BCD=

90° BC=CD=1, , AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60° , AE AF E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且 = = AC AD λ(0<λ<1). (1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平 面 ABC; (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD.
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[分析]

(1)只需证明面BEF中恒有一直线与平面ABC
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垂直即可;
(2)探究过点B且与面ACD垂直的直线,并求此时λ的 值.

[解析] (1)证明:AB⊥平面 BCD,∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC,∴CD⊥平面 ABC. AE AF 又∵ = =λ(0<λ<1), AC AD ∴不论 λ 为何值,恒有 EF∥CD. ∴EF⊥平面 ABC.EF? 平面 BEF, ∴不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC.
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( )

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(2)由(1)知,BE⊥EF,故要使平面 BEF⊥平面 ACD, 只要 BE⊥平面 ACD.即 BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90° ,∠ADB=60° , ∴BD= 2,AB= 2tan60° 6.∴AC= 7. = 6 AE 6 由 AB =AE· 得 AE= ,∴λ= = . AC AC 7 7
2

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6 故当 λ= 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

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[点评]

空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、
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平面与平面垂直三者之间可以相互转化,每一种垂直的判

定都是从某种垂直开始转向另一种垂直,最终达到目的,
其转化关系为:

(

高考中有时会出现一些与垂直有关的探究题,主要是

探究某一点的位置使得一垂直结论成立,这一类问题的解
决主要利用垂直的判定和性质来探究.点的确定往往是两 条直线的交点或直线与平面的交点.
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)

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(2009· 浙 江 理 , 20) 如 图 , 平 面 PAC⊥ 平 面 ABC , △ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为 PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.

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(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE; (2)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,

并求点M到OA,OB的距离.
[分析] 本题主要考查空间线线、线面、面面位置, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能 力和推理论证能力.

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[解析] 方法一:
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(1)证明:如图,连接 OP,以点 O 为坐标原点,分别 以 OB,OC,OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系 Oxyz.则 O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0), C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3). 由题意,得 G(0,4,0) → → 因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3), 所以平面 BOE 的法向量 n=(0,3,4), → → 由FG=(-4,4,-3),得 n· =0. FG 又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG∥平面 BOE.
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(2)解:设点 M 的坐标为(x0,y0,0), → 则FM=(x0-4,y0,-3). → 因为 FM⊥平面 BOE,所以FM∥n, 9 9 因此 x0=4,y0=- .即点 M 的坐标是(4,- ,0). 4 4 在平面直角坐标系 xOy 中,△AOB 的内部区域可表示 ?x>0, ? 为不等式组?y<0, ?x-y<8. ?
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第八章

立体几何初步

经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组 所以,在△AOB 内存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE 9 由点 M 的坐标, 得点 M 到 OA,OB 的距离分别为 4, . 4 方法二: (1)如图,取 PE 的中点 H,连接 HG,HF,∵点 E、O、 G、H 分别是 PA、AC、OC、PE 的中点,∴HG∥OE,HF ∥EB.因此平面 FGH∥平面 BOE. ∵FG 在平面 FGH 内,∴FG∥平面 BOE.
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(2)解:在平面OAP内,过点P作PN⊥OE,交OA于点 N,交OE于点Q.连接BN,过点F作FM∥PN,交BN于点M.

下证FM⊥平面BOE.

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由题意,得 OB⊥平面 PAC,所以 OB⊥PN, 又因为 PN⊥OE,所以 PN⊥平面 BOE. 因此 FM⊥平面 BOE. 1 24 在 Rt△OAP 中,OE= PA=5,PQ= , 2 5 PQ 4 cos∠NPO= = , OP 5 9 ON=OP· tan∠NPO= <OA, 2

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所以点 N 在线段 OA 上, 因为 F 是 PB 的中点,所以 M 是 BN 的中点. 因此点 M 在△AOB 内,点 M 到 OA,OB 的距 离分别为 1 1 9 OB=4, ON= . 2 2 4

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1.垂直关系的转化:
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在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的 垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解 决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内

(

作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为
线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的 转化条件是解决这类问题的关键.
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2.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义: 与 α 内任何直线垂直?a⊥α; a m、n? α,m∩n=A? ? ??l⊥α; (2)判定定理 1: ? l⊥m,l⊥n ? (3)判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; (4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a? α,a⊥l? a⊥β.

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3.证明线线垂直的方法 (1)定义:两条直线所成的角为 90° ;(2)平面几何中证 明线线垂直的方法;(3)线面垂直的性质:a⊥α,b? α?a ⊥b;(4)三垂线定理及其逆定理;(5)线面垂直的性质:a ⊥α,b∥α?a⊥b. 4.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面 角; (2)判定定理:a? α,a⊥β?α⊥β.
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