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高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5_图文


1 .2 余弦定理 学 习 目 标 1.掌握余弦定理及其证明. 2.会用余弦定理解决两类解三角形问题. 3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形 问题. 思 维 脉 络 1.余弦定理 (1)语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们的夹角的余弦的积的两倍. (2)公式表达:在△ABC中, a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C. 【做一做1】 在△ABC中,符合余弦定理的是( ) A.c2=a2+b2-2abcos C B.c2=a2-b2+2bccos A C.b2=a2-c2-2bccos A 解析:根据余弦定理可知A正确,其余均错.注意余弦定理形式,特别 是正负号问题. 答案:A 2 + +2 D.cos C= 2 2 归纳总结对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”. (3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的 余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互 化. 2.余弦定理的变形 在△ABC中, cos cos cos +2 -2 A= , 2 2 +2 -2 B= , 2 2 2 + -2 C= . 2 2 【做一做2】 在△ABC中,若a=3, b= 7 ,c=2,则B等于( A.30° B.45° C.60° D.120° 答案:C ) 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)余弦定理仅适用于钝角三角形或锐角三角形. ( ) (2)在△ABC中,若sin2C>sin2A+sin2B,则△ABC为钝角三角形. ( ) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个 角的类型问题,则求解时都只有一个解. ( ) 答案:(1)× (2) (3) 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 利用余弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中,已知 a=2 3,b=2 2,B=45°,求角A,C及边c. 分析:给出条件为两边一角,容易想到先利用正、余弦定理都可 以进行求解得出第三条边,再使用正弦定理或余弦定理结合三角形 内角和为180°求出另外两角的大小. 解法一:由正弦定理得, sin A= = = 2. 2 2 因为 B=45°<90°,且 b<a, 所以 A=60°或 A=120°. 当 A=60°时,C=75°,c= 当 sin 2 2sin75° = = sin sin45° sin 2 2sin15° A=120°时,C=15°,c= sin = sin45° = sin 2 3sin45° 3 6 + 2; 6 ? 2. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法二:由利用余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 将已知条件代入,整理得 c2-2 6c+4=0. 解之得 c= 6 ± 2.当 c= 6 + 2时, cos 2 +2 -2 A= 2 = 8+( 6+ 2)2 -12 2×2 2× ( 6+ 2) = , 1 2 从而 A=60°,C=75°;当 c= 6 ? 2时, 同理可求得 A=120°,C=15°. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1.已知两边及其中一边的对角解三角形时,可使用正弦 定

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