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2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二上学期期中联考数学文试题


湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中) 2014-2015 学年高二上学期期中联考数学文试题
时 间:120 分钟 分值:150 分 枣阳一中 命题牵头学校:曾都一中 襄州一中 第I卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知 a 、 b 、 c 是两两不等的实数,点 P(b , b ? c) ,点 Q(a , c ? a) ,则直线 PQ 的倾斜角为 ( ) 甲 乙 宜城一中 命题教师: 学 校:曾都一中

A . 30

B . 45

C . 60

D . 135

8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 4 3 8 9 3 1 6 1 6 7 9 4 4 9 1 5 0 第2题 )

2.第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如右 图所示,则下列说法中正确的是( ) A .甲、乙两人单场得分的最高分都是 9 分; B .甲、乙两人单场得分的中位数相同; C .甲运动员的得分更集中,发挥更稳定; D .乙运动员的得分更集中,发挥更稳定. 3.用“除 k 取余法”将十进制数 259 转化为五进制数是(

A . 2012(5)

B . 2013(5)

C . 2014(5)

D . 2015(5)


4.已知圆 M 的一般方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 ,则下列说法中不正确 的是( ...

A .圆 M 的圆心为 (4, ?3)

B .圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 D .圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6


C .圆 M 的半径为 25

5.如图所示是四棱锥的三视图,则该几何的体积等于(

A.16

B. 34 ? 6 5

C.6

D. 17 ? 6 5

6.已知变量 x 与 y 呈相关关系,且由观测数据得到的样本数据散点图如图 所示,则由该观测数据算得的回归方程可能是( ) ? ? ?1.314 x ? 1.520 ? ? 1.314 x ? 1.520 A.y B.y

? ? 1.314 x ? 1.520 C.y
7.下列说法中正确的是( )

? ? ?1.314 x ? 1.520 D.y

A .若事件 A 与事件 B 是互斥事件,则 P( A) ? P( B) ? 1;

第6题

B .若事件 A 与事件 B 满足条件:P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 1 , 则事件 A 与事件 B 是 对立事
件;

C .一个人打靶时连续射击两次,则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是
对立事件;

D .把红、橙、黄、绿 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 人,每人分得 1 张,则事件“甲分
得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件. 8.如果直线 m 、n 与平面 ? 、? 、? 满足:n ? ? ? ? ,n ∥ ? ,m ? ? 和 m ? ? , 那么必有 ( )

A .? ∥ ? 且? ? ?

B .? ? ? 且 m ? n C . m ∥ ? 且 m ? n D .? ? ? 且 m ∥ ?

9.将一个棱长为 4 cm 的立方体表面涂上红色后,再均匀分割成棱长为 1 cm 的小正方体.从涂有红 ... 色面的小正方体 中随机取出一个小正方体,则这个小正方体表面的红色面积不少于 2 cm 的概率 ....... 是( )
2

A.

4 7

B.

1 2

C.

3 7

D.

1 7

2 10. 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? x 、 n ? R) 的 两 个 零 点 分 别 在 ( 0 , 1) 与 (1, 2) 内 , 则 ? m x? n ( m

(m ? 1)2 ? (n ? 2)2 的取值范围是(
A . [2, 5] B . ( 2, 5)



C . [2,5]
第 II 卷

D . (2,5)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上, 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.已知高一年级有学生 450 人,高二年级有学生 750 人,高三年级有学生 600 人.用分层抽样从该

校的这三个年级中抽取一个容量为 n 的样本,且每个学生被抽到的概率为 0.02,则应从高二年级 抽取的学生人数为 . 12.在空间直角坐标系 Oxyz 中, y 轴上有一点 M 到已知点 A(4,3, 2) 和点 B(2,5, 4) 的距离相等,则 点 M 的坐标是 . .

13.点( a ,1)在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的右下方,则 a 的取值范围是

14.某学生 5 天的生活费(单位:元)分别为: x , y ,8,9,6.已知这组数据的平均数为 8,方差 为 2,则 | x ? y |? .

15.某校 1000 名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示,分数不低于 a 即为优秀,如果优秀的人 数为 175 人,则 a 的估计值是________. 16.如图所示的算法中, a ? e , b ? 3 , c ? e ,其中 ? 是圆周率, e ? 2.71828 ?是自然对数的
3

?

?

底数,则输出的结果是



开始 输入 a、b、c

a<b? N a<c? N
输出 a

Y

a=b

Y

a=c

15 题图
2 2 2

结束

第 16 题
2

17.已知圆 C1 : ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 5sin ? ) ? ( y ? 5cos ? ) ? 1 ,

? , ? ?[0, 2? ) ,过圆 C1 上任意一点 M 作圆 C2 的一条切线 MN ,切点为 N ,则 | MN | 的取值范
围是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 65 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点. ⑴若直线 l 平行于直线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求直线 l 的方程;

⑵若直线 l 垂直于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 ,求直线 l 的方程. 19.(本小题满分 13 分)如图是学校从走读生中随机调查 200 名走读生早上上学所需时间(单位: 分钟)样本的频率分布直方图. ⑴学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟? ⑵根据调查, 距离学校 500 米以内的走读生上学时间不超过 10 分钟, 距离学校 1000 米以内的走读生上学时间不超过 20 分钟.那么,距 离学校 500 米以内的走读生和距离学校 1000 米以上的走读生所占全 校走读生的百分率各是多少?

第 19 题

20.(本小题满分 13 分)图 2 中的实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的 1 概率是 . 4 (1)从正方形 ABCD 的四条边及两条对角线共 6 条线段中任取 2 条线段(每条线段被取到的可能 性相等) ,求其中一条线段长度是另一条线段长度的 2 倍的概率; (2 求此长方体的体积.

第 20 题

AD ? AE ? BE ? 2 , 21. (本小题满分 13 分) 已知平面 ABCD ? 平面 ABE , 四边形 ABCD 是矩形, M 、 H 分别是 DE 、 AB 的中点,主(正)视图方向垂直平面 ABCD 时,左(侧)视图的面积
为 2. ⑴求证: MH ∥平面 BCE ; ⑵求证:平面 ADE ? 平面 BCE . D M A H B C

E 第 21 题

22. (本小题满分 14 分)已知圆 M 经过第一象限,与 y 轴相切于点 O (0, 0) ,且圆 M 上的点到 x 轴 的最大距离为 2,过点 P(0, ?1) 作直线 l . ⑴求圆 M 的标准方程; ⑵当直线 l 与圆 M 相切时,求直线 l 的方程; ⑶当直线 l 与圆 M 相交于 A 、 B 两点,且满足向量 PA ? ? PB , ? ?[2, ??) 时,求 | AB | 的取 值范围.

曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中 1-10: B D C C A

2014-2015 学年上学期高二期中考试数学(文科)参考答案

B D B A D
14. 3 15.135 16. 3
?

11.15 12. M (0, 4, 0) 13. (?2, ??) 18.⑴由 ?

17. [ 3,3 7]

?2 x ? y ? 8 ? 0 ? x ? 3 得? 即直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交于点 (3, 2) , ? x ? 2 y ?1 ? 0 ? y ? 2

所以直线 l 经过点 (3, 2) ,????4 分 因为直线 l 平行于直线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ,可设直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? m ? 0 ,则有

3 ? 3 ? 2 ? 2 ? m ? 0 得 m ? ?5 ,
所以直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 5 ? 0 .????8 分 ⑵因为直线 l 垂直于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 ,可设直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? n ? 0 ,则有

3 ? 3 ? 4 ? 2 ? n ? 0 得 n ? ?17 ,
所以直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 17 ? 0 .???????12 分 19.解:⑴

x ? 4 ? 0.02 ? 4 ? 8 ? 0.08 ? 4 ? 12 ? 0.09 ? 4 ? 16 ? 0.03 ? 4 ? 20 ? 0.03 ? 4 ? 11.52 , 所以,走读生早上上学所需要的平均时间约为 11.52 分钟.??????6 分
⑵P 1 ? 0.02 ? 4 ? 0.08 ? 4 ? 0.40 ? 40 ﹪, P 2 ? 0.03 ? 4 ? 2 ? 0.06 ? 6 ﹪,???12 分 所以距离学校 500 米以内的走读生占全校走读生的 40﹪,距离学校 1000 米以上的走读生占全校 走读生的 6﹪.????????????13 分

20.解: (1) 记事件 M : 从 6 条线段中任取 2 条线段, 其中一条线段长度是另一条线段长度的 2 倍. 从 6 条线段中任取 2 条线段, 有 15 种等可能的取法:AB 和 BC , AB 和 AC ,AB 和 CD , AB CD 和 AC ,CD 和 AD , 和 AD ,AB 和 BD ,BC 和 CD ,BC 和 BD ,BC 和 AC ,BC 和 AD , CD 和 BD , AD 和 AC , AD 和 BD , AC 和 BD ?3 分 其中事件 M 包含 8 种结果:AB 和 AC ,AB 和 BD ,BC 和 AC ,BC 和 BD ,CD 和 AC ,CD 和 BD , AD 和 AC , AD 和 BD ??????????????? 4 分

8 8 ,因此,所求事件的概率为 ?????????6 分 15 15 (2)记事件 N :向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内. P( M ) ?
设 长 方 体 的 高 为 h , 则 图 2 中 虚 线 围 成 的 矩 形 长 为 2 ? 2 h , 宽 为 1 ? 2h , 面 积 为 9分 ( 2? 2 h ) (1 ? h 2 ????? ) 长方体的平面展开图的面积为 2 ? 4h ;?????10 分 由几何概型的概率公式知 P( N ) ?

2 ? 4h 1 ? ,得 h ? 3 ,????12 分 (2 ? 2h)(1 ? 2h) 4

所以长方体的体积是 V ? 1?1? 3 ? 3 . ?????13 分 21.⑴证明:方法一、取 CE 的中点 N ,连接 BN , 因为 ?CDE 中, M 、 N 分别是 DE 、 CE 的中点, 所以 MN ∥ CD 且 MN = D M A H N B C

1 CD ;????????1 分 2

1 因为矩形 ABCD 中, H 是 AB 的中点, BH ∥ CD 且 BH = CD ; P 2 所以 MN ∥ BH 且 MN = BH ,得平行四边形 BHMN , MH ∥ BN ??2 分 因为 MH ? 平面 BCE , BN ? 平面 BCE ,所以 MH ∥平面 BCE ;??4 分 方法一、取 AE 的中点 P ,连接 MP 、 HP , 因为 ?ABE 中, P 、 H 分别是 AE 、 AB 的中点,所以 HP ∥ BE , 因为 HP ? 平面 BCE , BE ? 平面 BCE ,所以 HP ∥平面 BCE ;???1 分 同理可证 MP ∥平面 BCE ;??????????????????2 分 因为 MP ? HP = P ,所以平面 MPH ∥平面 BCE ;???????3 分 因为 MH ? 平面 MPH ,所以 MH ∥平面 BCE ;????????4 分 ⑵证明:取 CD 中点 F ,连接 EH 、 EF 、 FH , D 则矩形 ABCD 中, FH ? AB , FH ? AD ? 2 ,??????5 分 因为 ?ABE 中 AE ? BE ? 2 ,所以 EH ? AB , 因为平面 ABCD ? 平面 ABE ,交线为 AB ,所以 EH ? 平面 ABCD , A EH ? FH , 所以 Rt ?EFH 的面积等于几何体 E ? ABCD 左(侧)视图的面积,得 1 1 EH ? FH ? EH ? 2 ? 2 即 EH ? 2 ;???????8 分 2 2
所以 ABE 中, AH ? EH ? BH ? EH ? AE ? DE ? 2 , AH ? BH ?
2 2 2 2 2 2 2

E

F C

H

B

E

2,

AB ? 2 2 , AE 2 ? DE 2 ? AB2 ? 8 , AE ? BE ;????????10 分
因为平面 ABCD ? 平面 ABE ,四边形 ABCD 是矩形,所以 AD ? 平面 ABE , 因为 BE ? 平面 ABE ,所以 AD ? BE ;????????11 分 因为 AD ? AE ? A ,所以 BE ? 平面 ADE ;???????12 分 因为 BE ? 平面 BCE ,所以平面 ADE ? 平面 BCE . ????????13 分 22 .解:⑴因为圆 M 经过第一象限,与 y 轴相切于点 O (0, 0) ,得知圆 M 的圆心在 x 的正半轴 上;????1 分 由圆 M 上的点到 x 轴的最大距离为 2,得知圆 M 的圆心为 (2 , 0) ,半径为 2.??2 分 所以圆 M 的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .??????4 分 ⑵若直线 l 的斜率存在,设 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 kx ? y ? 1 ? 0 , 因为直线 l 与圆 M 相切,所以圆心 M 到直线 l 的距离等于半径得

| 2k ? 1| k 2 ?1

?2,

3 ,直线 l 的方程: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 ; 4 若直线 l 的斜率不存在,由直线 l 与圆 M 相切得直线 l 的方程: x ? 0 ??????6 分
解得 k ? ? 所以,直线 l 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 4 ? 0 .???????8 分 ⑶由直线 l 与圆 M 相交于 A 、 B 两点知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,点 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ,则直线 l 的方程为 kx ? y ? 1 ? 0 ,
由?

?( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 2 2 得 (k ? 1) x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 , kx ? y ? 1 ? 0 ?

3 2k ? 4 1 ? ? 16k ? 12 ? 0 即 k ? ? , x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? 2 , 4 k ?1 k ?1
由向量 PA ? ? PB ? ( x1, y1 ?1) ? ?( x2 , y2 ?1) ,得 x1 ? ? x2 , 由 x1 ? x2 ?

2k ? 4 1 ? 2k ? 4 2 1 ?( 2 ) ? 2 , x1 ? x2 ? 2 , x1 ? ? x2 消去 x1 、 x2 得 , 2 2 k ?1 k ?1 (? ? 1) k ?1 k ?1

即 4 ? 4?

4k ? 3 1 4k ? 3 (? ? 1) 2 1 9 ? .?11 分 ? ? ? ? ? 2 ? , ? ?[2, ??) ,化简得 2 2 k ?1 8 k ?1 ? ? 2

| AB |? 2 4 ?

2 (2k ? 1)2 4k ? 3 1 2 且 | AB |? 2 R ? 4 ,即 | AB |? [ , 4] . ?2 2 ?2 ? 2 2 k ?1 k ?1 8 2

?????????13 分 所以 | AB | 的取值范围是 [

2 , 4] .??????????14 分 2


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