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江苏省淮安市涟水县涟水中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省淮安市涟水县涟水中学高一(上)期中数学 试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)2lg4+lg =.

2. (5 分)M=(﹣1,1) ,N=[0,2) ,则 M∩N=. 3. (5 分)函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为. 4. (5 分)方程 4x ﹣12x+k﹣3=0 没有实根,则 k 的取值范围是. 5. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,8) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是. 6. (5 分)方程 2 =20 的解集是. 7. (5 分)f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +x+1,则 f(﹣1)=. 8. (5 分)不等式 lg(x﹣2)<1 的解集是. 9. (5 分)方程 3x +6x﹣ =0 的实数根个数为.
x x 2 3 2x 2 x

10. (5 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中,计算得到 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间. 11. (5 分)y=x|x|+3 的单调增区间是. 12. (5 分)已知关于 x 的方程 x +3x+2a﹣3=0 在(1,3]上有解,则实数 a 的取值范围为.
2

13. (5 分)

的值域为 R,则 a 的取值范围是.

14. (5 分)已知函数 值范围是.

为 R 上的单调函数,则实数 a 的取

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)已知集合 A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求(?RA)∩B; (2)若 A?C,求 a 的取值范围. 16. (14 分)求下列各式的值: (Ⅰ)

(Ⅱ)

(其中 e=2.71828…)

17. (14 分)设函数 f(x)=( )

10﹣ax

,其中 a 为常数,且 f(3)= .

(1)求 a 的值; (2)若 f(x)≥4,求 x 的取值范围.

18. (16 分)设函数

是实数集 R 上的奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性并加以证明; (3)求函数 f(x)的值域. 19. (16 分)某批发公司批发某商品,每件商品进价 80 元,批发价 120 元,该批发商为鼓励 经销商批发,决定当一次批发量超过 100 个时,每多批发一个,批发的全部商品的单价就降 低 0.04 元,但最低批发价不能低于 102 元.求下列问题: (1)当一次订购量为多少个时,每件商品的实际批发价为 102 元? (2)当一次订购量为 x 个,每件商品的实际批发价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)根据市场调查发现,经销商一次最大定购量为 500 个,则当经销商一次批发多少个零件 时,该批发公司可获得最大利润. (x∈[1,+∞)且 m<1) .

20. (16 分)已知函数

(Ⅰ)用定义证明函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数; (Ⅱ)设函数 ,若[2,5]是 g(x)的一个单调区间,且在该区间上

g(x)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2014-2015 学年江苏省淮安市涟水县涟水中学高一(上) 期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)2lg4+lg =1.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得出; 解答: 解:原式= ═lg10=1,

故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 2. (5 分)M=(﹣1,1) ,N=[0,2) ,则 M∩N=[0,1) . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据题意和交集的运算求出 M∩N 即可. 解答: 解:因为 M=(﹣1,1) ,N=[0,2) , 所以 M∩N=[0,1) , 故答案为:[0,1) . 点评: 本题考查交集及其运算,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为(0,+∞) . 考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 计算题. x 分析: 先根据指数函数的性质求出真数 3 +1 的范围,然后根据对数函数的单调性求出函数 的值域即可. 解答: 解:∵3 +1>1 x ∴log2(3 +1)>0 x ∴f(x)=log2(3 +1)的值域为(0,+∞) 故答案为: (0,+∞) 点评: 本题主要考查了对数函数的值域,同时考查了指数函数的值域,属于基础题. 4. (5 分)方程 4x ﹣12x+k﹣3=0 没有实根,则 k 的取值范围是 k>12. 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一元二次方程根的个数的判断方法即可得到结论. 2 解答: 解:若方程 4x ﹣12x+k﹣3=0 没有实根, 则判别式△ =144﹣4×4(k﹣3)<0, 解得 k>12,
2 x x

故答案为:k>12 点评: 本题主要考查一元二次方程根与判别式△ 之间的关系,比较基础. 5. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,8) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是 3. 考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,把点(2,8)代入,得 2 =8,解得 a=3.故 f(x)=x ,由此能 求出满足 f(x)=27 的 x 的值. a 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , 把点(2,8)代入,得 2 =8, 解得 a=3. 3 ∴f(x)=x , ∵f(x)=27, 3 ∴x =27, ∴x=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用,是基础题.解题时要认真审题,注意 待定系数法的合理运用. 6. (5 分)方程 2 =20 的解集是{
2x a a a 3

}.

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2x x 分析: 由题意 2 =20 可化为 4 =20;从而解得. 2x 解答: 解:2 =20 可化为 x 4 =20; 故 x=log420; 故答案为:{log420}. 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 7. (5 分)f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +x+1,则 f(﹣1)=﹣3. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 3 分析: 由已知得当 x<0 时,f(x)=x +x﹣1,由此能求出 f(﹣1) . 3 解答: 解:∵f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +x+1, 3 ∴当 x<0 时,f(x)=x +x﹣1, 3 ∴f(﹣1)=(﹣1) +(﹣1)﹣1=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
3

8. (5 分)不等式 lg(x﹣2)<1 的解集是(2,12) . 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由对数函数的单调性,不等式 lg(x﹣2)<1,即有 0<x﹣2<10,解得即可. 解答: 解:不等式 lg(x﹣2)<1 即为 lg(x﹣2)<lg10, 即有 0<x﹣2<10, 解得,2<x<12. 则解集为(2,12) . 故答案为: (2,12) . 点评: 本题考查对数不等式的解法,考查对数函数的单调性的运用,考查运算能力,属于 基础题和易错题.
2

9. (5 分)方程 3x +6x﹣ =0 的实数根个数为 3.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 方程 3x +6x﹣ =0 的实数根个数即 f(x)=3x +6x 与 g(x)= 的交点的个数,作图 求解. 解答: 解:方程 3x +6x﹣ =0 的实数根个数即 f(x)=3x +6x 与 g(x)= 的交点的个数, 作 f(x)=3x +6x 与 g(x)= 的图象得,
2 2 2 2 2

故答案为:3. 点评: 本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用,属于基础题. 10. (5 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中,计算得到 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间(1.25,1.5) . 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据零点存在定理,可得方程的根落在区间. 解答: 解:∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, ∴根据零点存在定理,可得方程的根落在区间(1.25,1.5) , 故答案为: (1.25,1.5) 点评: 本题考查零点存在定理,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 11. (5 分)y=x|x|+3 的单调增区间是(﹣∞,+∞) . 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简函数 y=f(x) ,讨论 y=f(x)的单调性即可得出它的单调区间. 解答: 解:∵函数 y=f(x)=x|x|+3= ,
x x

当 x≥0 时,y=f(x)=x +3 的图象从左向右是上升的,是增函数; 2 当 x<0 时,y=f(x)=﹣x +3 的图象从左向右也是上升的,是增函数; ∴y=f(x)在定义域(﹣∞,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)的单调增区间是(﹣∞,+∞) . 故答案为: (﹣∞,+∞) . 点评: 本题考查了含有绝对值的函数的单调性问题,解题时应去掉绝对值,是基础题. 12. (5 分) 已知关于 x 的方程 x +3x+2a﹣3=0 在 (1, 3]上有解, 则实数 a 的取值范围为[﹣ ﹣ ) .
2

2



考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 方程 x +3x+2a﹣3=0 可化为 2a=﹣(x +3x)+3;从而可得﹣15≤2a<﹣1;从而解得. 2 解答: 解:方程 x +3x+2a﹣3=0 可化为 2 2a=﹣(x +3x)+3; ∵1<x≤3; 2 ∴4<x +3x≤18, 2 故﹣15≤﹣(x +3x)+3<﹣1; 即﹣15≤2a<﹣1; 则实数 a 的取值范围为:[﹣ 故答案为:[﹣ ,﹣ ) . ,﹣ ) ;

点评: 本题考查了方程的解与函数的值域的关系应用,属于基础题.

13. (5 分)

的值域为 R,则 a 的取值范围是 a≥1.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知 4+a≤2+3a,从而解得. x 解答: 解:由题意,2 +a>4+a; x+3a≤2+3a; 故由题意得, 4+a≤2+3a, 解得 a≥1, 故答案为:a≥1. 点评: 本题考查了分段函数的值域的求法应用,属于基础题.

14. (5 分)已知函数 值范围是[﹣1,0) .

为 R 上的单调函数,则实数 a 的取

考点: 指数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 分类讨论:当函数在 R 上单调递增时,根据表达式中的二次函数部分可得 a 为正数, 再根据表达式中的指数函数部分,可得 a+2 是正数,最后结合在 x=0 时指数表达式对应的值 小于或等于二次函数对应的值,可得到实数 a 的取值范围;当函数在 R 上单调递减时,可用 类似于单调增的方法,讨论得 a 的取值范围.最后综合可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:①若 f(x)在 R 上单调递增, ,解得 a∈?;

则有

②若 f(x)在 R 上单调递减,

则有

,解得﹣1≤a<0,

综上所述,得实数 a 的取值范围是[﹣1,0) . 故答案为:[﹣1,0) .

点评: 本题以二次函数和指数类型的函数为载体,考查了函数的单调性、基本初等函数等 知识点,属于中档题. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)已知集合 A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求(?RA)∩B; (2)若 A?C,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.

专题: 集合. 分析: (1)由全集 R 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可; (2)由 A 为 C 的子集,确定出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)∵A={x|1<x<6},B={x|2<x<10}, ∴?RA={x|x≤1 或 x≥6}, ∴(?RA)∩B={x|6≤x<10}; (2)∵A={x|1<x<6},C={x|x<a},且 A?C, ∴a≥6. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 16. (14 分)求下列各式的值: (Ⅰ)

(Ⅱ)

(其中 e=2.71828…)

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的运算性质即可得出; (2)利用指数的运算性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)原式= =1+2=3.

(Ⅱ)原式= = +2= .

+1﹣

+2

点评: 本题考查了指数与对数的运算性质,属于基础题.
10﹣ax

17. (14 分)设函数 f(x)=( )

,其中 a 为常数,且 f(3)= .

(1)求 a 的值; (2)若 f(x)≥4,求 x 的取值范围. 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(3)= ,可得( ) (2)由已知( )
10﹣3x
﹣2

10﹣3a

= ,故有 10﹣3a=1,解得 a 的值.

≥4=( ) ,可得 10﹣3x≤﹣2,由此解得 x 的范围.
10﹣3a

解答: 解: (1)由 f(3)= ,可得( ) 所以,10﹣3a=1,解得 a=3.

= ,

(2)由已知( )

10﹣3x

≥4=( ) ,所以 10﹣3x≤﹣2,解得 x≥4,

﹣2

故 f(x)≥4 解集为{x|x≥4}. 点评: 本题主要考查指数不等式的解法,指数函数的单调性,属于中档题.

18. (16 分)设函数

是实数集 R 上的奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性并加以证明; (3)求函数 f(x)的值域. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直接根据 f(﹣x)=﹣f(x) ,整理即可得到结论. (2)直接根据单调性的证明过程证明即可. (3)先对原函数分离常数,再借助于指数函数的最值即可得到结论. (也可以采用反函数的思 想) . 解答: 解: (1)∵f(x)是 R 上的奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 即(a﹣1) (2 +1)=0 ∴a=1 (或者∵f(x)是 R 上的奇函数∴f(﹣0)=﹣f(0) ,∴f(0)=0.∴ a=1,然后经检验满足要求. ) (2)由(1)得 . ,解得
x

,即

设 x1<x2∈R,则 f(x1)﹣f(x2)=(1﹣

)﹣(1﹣



=



∵x1<x2∴ ∴f(x1)﹣f(x2)<0, 所以 f(x)在 R 上是增函数 (3) ,

∵2 +1>1,∴ ∴ ∴ ,

x



所以

的值域为(﹣1,1)

或者可以设

,从中解出 2 =

x

,所以

,所以值域为(﹣1,1)

点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、指数函数的性质等基础知 识,考查运算求解能力与化归与转化思想.属于中档题. 19. (16 分)某批发公司批发某商品,每件商品进价 80 元,批发价 120 元,该批发商为鼓励 经销商批发,决定当一次批发量超过 100 个时,每多批发一个,批发的全部商品的单价就降 低 0.04 元,但最低批发价不能低于 102 元.求下列问题: (1)当一次订购量为多少个时,每件商品的实际批发价为 102 元? (2)当一次订购量为 x 个,每件商品的实际批发价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)根据市场调查发现,经销商一次最大定购量为 500 个,则当经销商一次批发多少个零件 时,该批发公司可获得最大利润. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)设一次订购量为 100+n(n∈N) ,求出批发价,建立等量关系可求出 n 的值; (2)直接根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数,用分段函数表示出 P=f(x)即可; (3) 当经销商一次批发个零件 x 时, 该批发公司可获得利润为 y, 根据利润= (批发价﹣进价) ×个数求出利润函数,然后根据分段函数的最值的求法求出所求. 解答: 解: (1)设一次订购量为 100+n(n∈N) , 则批发价为 120﹣0.04n,令 120﹣0.04n=102,∴120﹣102=0.04n,∴n=450, 所以当一次订购量为 550 个时,每件商品的实际批发价为 102 元.…(5 分) (2)由题意知 …(10 分)

(3)当经销商一次批发 x 个零件时,该批发公司可获得利润为 y,根据题意知: …(12 分) 设 f1(x)=40x,在 x=100 时,取得最大值为 4000; 2 2 2 设 f2(x)=﹣0.04x +44x=﹣0.04(x﹣550) +0.04×550 所以当 x=500 时,f2(x)取最大值 12000. …(15 分) 答:当经销商一次批发 500 个零件时,该批发公司可获得最大利润.…(16 分)

点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及二次函数的性质,同时考查计算能力 和建模能力,属于中档题. (x∈[1,+∞)且 m<1) .

20. (16 分)已知函数

(Ⅰ)用定义证明函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数; (Ⅱ)设函数 ,若[2,5]是 g(x)的一个单调区间,且在该区间上

g(x)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ) 设 1≤x1<x2<+∞, (x1﹣x2) ( 函数. (Ⅱ) 5],由此进行分类讨论,能够求出实数 m 的取值范围. 解答: (Ⅰ)证明:设 1≤x1<x2<+∞, =(x1﹣x2) ( ∵1≤x1<x2<+∞,m<1, ∴x1﹣x2<0, >0, ) ,对称轴 ,定义域 x∈[2, =

) ,由 1≤x1<x2<+∞,m<1,能够证明函数 f(x)在[1,+∞)上为增

∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数. (Ⅱ)解: 对称轴 ,定义域 x∈[2,5]

①g(x)在[2,5]上单调递增,且 g(x)>0,

②g(x)在[2,5]上单调递减,且 g(x)>0, 无解

综上所述

点评: 本题考查函数的恒成立问题的性质和应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考 查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.解题时要认真审题,仔细解 答.


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