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2013高考海淀区高三理科数学查漏补缺试题答案


2013 高 考 海 淀 区 高 三 理 科 数 学 查 漏 补 缺 试 题 答 案
理科
题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 6 ①③ 11 -2

2013 年 5 月
2 C 7
[0 , 8 ]

3 C 8
5, ( 12 24 , ) 13 39

4 A 9 15 14 1

5
3 3π , 3 0 π

10
e
2

12
1, 3 0
?

13 B

15
a ? 53 5

解答题部分: 1. 解:﹙Ⅰ﹚ f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 3 sin x c o s x ? sin 2 x
? 3 sin 2 x ? c os 2 x

? 2 sin ( 2 x ?

?
6

)

所以 T ? ? , f ( x ) ? [ ? 2, 2 ] ﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2 sin ( A ?
2 2 A A

?
6

)? 2



所以 sin ( A ?

?
6

) ? 1.

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

.

由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c c os A 及 a 2 ? b c ,所以 ( b ? c ) 2 ? 0 . 所以 b ? c , 所以 B ? C ?
?
3

.

所以 ? A B C 为等边三角形.

2. 解:依题意 ? M O Q ? 因为 s in ? ?
1 3

π 3

,所以 ? P O Q ? ? M O Q ? ? M O P ?
π π , ) 2 2

π 3

??



,且 ? ? ( ?
π 3

,所以 c o s ? ?
π 3 c o s ? ? sin

2 3 π 3

2


2 2 ? 6 3

所以 c o s ? P O Q ? c o s(

? ? ) ? cos

sin ? ?



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理科 答案

1 / 10

(Ⅱ)由三角函数定义,得 P (c os ? , sin ? ) ,从而 Q (c o s ? , 3 c o s ? )

所以 S ? P O Q ?
?
?

1 2 1 2
1 2

| c o s ? ||
2

3 c o s ? ? sin ? |

|

3 c o s ? ? sin ? c o s ? |
3 2 ? 3 c o s 2? 2 ? 1 2 sin 2 ? |? 1 2 3 2 ? sin ( π 3 ? 2? ) |

|

|

?

1 2

|

3 2

? 1 |?

3 4

?

1 2

π π 因为 ? ? ( ? , ) 2 2

,所以当 ? ? ?
3 4

π 12
? 1 2

时,等号成立 .

所以 ? O P Q 面积的最大值为

3.解: (I) a ? ? 2 (II)因为 f ( x ) ? c os 2 x ? a c os x ? 1 ? 2 c os 2 x ? 2 c os x 设 t ? cos x , 因为 x ? [0, π ], 所以 t ? [ ? 1,1] 所以有 y ? 2 t 2 ? 2 t , t ? [ ? 1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2 t 2 ? 2 t 的对称轴为 t ? ? 所以当 t ? ?
1 2 1 2

,即 t ? c o s x ? ?

1 2

,x ?

2π 3

时,函数取得最小值 ?

1 2

当 t ? 1 ,即 t ? c os x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

4. 证明: (I)当 n ? 1 时, a 13 ? a 12 因为 a 1 ? 0 ,所以 a 1 ? 1
3 当 n ? 2 时, a 13 ? a 23 ? a 33 ? ? ? a n ? S n2



a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? S n ?1
3 3 3 3 2



①-②得, a n3 ? a n ( 2 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 a n ? 1 ? a n ) 因为 a n ? 0 所以 a n2 ? 2 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 a n - 1 ? a n ,
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2 / 10

即 a n2 ? 2 S n- a n

因为 a 1 ? 1 适合上式

所以 a n2 ? 2 S n- a n ( n ? N ? ) (Ⅱ)由(I)知 a n2 ? 2 S n -a n ( n ? N ? ) ③ 当 n ? 2 时, a n2 ? 1 ? 2 S n ? 1 ? a n ? 1 ④

③-④得 a n2 - a n2 -1 ? 2 ( S n -S n -1 ) -a n ? a n -1 ? 2 a n -a n ? a n -1 ? a n ? a n -1 因为
a n ? a n -1 ? 0

,所以 a n -a n -1 ? 1

所以数列 ? a n ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 a n ? n

5.(I)因为在正三角形 A C E 中, O 为 A C 中点, 所以 E O ? A C 又平面 A C E ? 平面 A B C D ,且平面 A C E ? 平面 A B C D ? A C , 所以 E O ? 平面 A B C D ,所以 E O ? C F 在 R t ? A C D 中, ta n ? F C O ?
2 2 , ta n ? O D C ? 2 2

所以 ? F C O ? ? O D C ,所以 ? F C D ? ? O D C ? 9 0 ? , 即 C F ? D O ,又 D O ? O E ? O 所以 C F ? 平面 D O E ,所以 C F ? D E (Ⅱ)以 O 为坐标原点, O F , O A , O E 所在直线为坐标轴建立坐标系, 则 O ( 0, 0, 0 ), F (
2 2 , 0, 0 ), A ( 0,1, 0 ), C ( 0, ? 1, 0 ), E ( 0, 0, 0 3 ) ??? ? 2 2

, D ( 2 , ? 1, 0 )

由(I)得平面 D O E 的法向量为 C F ? ( 设平面 D C E 的法向量为 n ? ( x , y , z ) 因为 C D ? ( 2 , 0, 0 ), C E ? ( 0,1, 3 ),
???? ? ?C D ? n ? 0, ?x ? 0 ? ? 所以 ? ??? ? 解得 ? ? ? y ? 3z ? 0 ?C E ? n ? 0, ? ?
? ???? ??? ? ?

,1, 0 )

,取 n ? ( 0, 3, ? 3 )

所以 c o s ? n , C F ? =

? ??? ?

2 2


π 4

所以二面角 O ? D E ? C 的值为

.

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3 / 10

6. 解: (Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A, 摸出一球得白球的概率为
2 5



摸出一球得黑球的概率为 ,
5

3

所以 P(A)=

2 5

× + ×
5 5

3

3

2 5


.

12 25

.

答:两球颜色不同的概率是

12 25

(Ⅱ)由题知 ? 可取 0,1,2, 依题意得
P (? ? 0 ) ? 3 5 ? 2 4 3 10
2

?

3 10

, P ( ? ? 1) ?

3 5

?

2 4

?

2 5

?

3 4

?

3 5

, P (? ? 2 ) ?

2 5

?

1 4

?

1 10

则 E?

? 0?

?1?

3 5

? 2?

1 10

?

4 5
2


2

4? 3 4? 3 ? 4? 1 9 ? ? D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? . 5? 10 ? 5? 5 ? 5? 10 25 ?

答: 摸出白球个数 ? 的期望和方差分别是

4 5



9 25

.

7. 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? ? 6 ln ( a x ? 2 ) ? 所以 f ' ( x ) ? ? 6 ?
a ax ? 2 ? x

1 2

x

2



由 f ' ( 2 ) ? 0 ,可得 a ? 2 经检验 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,
f ( x ) ? ? 6 ln ( 2 x ? 2 ) ?
f (x) ?
'

1 2

x

2


? ( x ? 3)( x ? 2 ) x ?1

?6 x ?1

? x ?

x ? x?6
2

x ?1

而函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ? ? ) , 当 x 变化时, f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x

( ? 1, 2 )
'

2

(2, ?? )
?

f (x)
f (x)

?

0

?

极小值

?

由表可知, f ( x ) 的单调减区间为 ( ? 1, 2 ) , f ( x ) 的单调增区间为 ( 2 , ? ? )

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(Ⅱ)若 f '( x ) ? k x ,则有 x 2 ? x ? 6 ? k x 2 ? k x ,其中 x ? ? 1 , 所以 ( k ? 1) x 2 ? ( k ? 1) x ? 6 ? 0 有大于 ? 1 的根, 显然 k ? 1 ,设 g ( x ) ? ( k ? 1) x 2 ? ( k ? 1) x ? 6 则其对称轴为 x ? ?
1 2

,根据二次函数的性质知道,

只要 ? ? ( k ? 1) 2 ? 2 4 ( k ? 1) ? 0 解得 k ? 2 5 或 k ? 1 .

8. (Ⅰ)解: f ?( x ) ? a e a x

( x ? 1)[( a ? 1) x ? 1] x
2

① 当 a ? ? 1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1
f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1) ;单调递增区间为 ( ? 1, 0 )

, (0, ? ? )

当 a ? ? 1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1 ,或 x ?

1 a ?1 1 a ?1 1 a ?1 , ?? )

② 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1) , (

单调递增区间为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 , ③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间 ④ 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 ,
1 a ?1 1 a ?1 )

)

单调递增区间为 ( ? ? , ? 1) , (

, ?? )

(Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时,若 x ? ( 0, ? ? ) , f ( x ) m in ? f (

1 a ?1

a

) ? e a ? 1 ( a ? 1) ? 1
2

若 x ? ( ? ? , 0 ) , f ( x ) m a x ? f ( ? 1) ? e ? a ? 1 ,不合题意 ② 当 a ? 0 时,显然不合题意 ③ 当 ? 1 ? a ? 0 时,取 x 1 ? ?
a 2

,则 f ( x 1 ) ? e

?

a

2

2

( a ? 1) ? 0

取 x 2 ? ? 1 ,则 f ( x 2 ) ? e ? a ? 0 ,符合题意 ④ 当 a ? ? 1 时,取 x 1 ? 1 ,则 f ( x 1 ) ? ? e ? 1 ? 0

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理科 答案

5 / 10

取 x 2 ? ? 1 ,则 f ( x 2 ) ? e ? a ? 0 ,符合题意 综上, a 的取值范围是 [ ? 1, 0 ) . 9.解: (Ⅰ)证明: f ?( x ) ? a x 2 ? 2 b x ? c ,由题意及导数的几何意义得
f ?(1) ? a ? 2 b ? c ? 0 ,

(1) , (2)

f ?( m ) ? a m ? 2 b m ? c ? ? a
2

又 a ? b ? c ,可得 4 a ? a ? 2 b ? c ? 4 c ,即 4 a ? 0 ? 4 c ,故 a ? 0, c ? 0, 由(1)得 c ? ? a ? 2 b ,代入 a ? b ? c ,再由 a ? 0 ,得
? 1 3 ? b a ? 1,

(3)

将 c ? ? a ? 2 b 代入(2)得 a m 2 ? 2 b m ? 2 b ? 0 ,即方程 a x 2 ? 2 b x ? 2 b ? 0 有实根. 故其判别式 ? ? 4 b 2 ? 8 a b ≥ 0 得 由(3)(4)得 0 ≤ ,
b a ?1 b a
≤ ?2

,或

b a

≥0



(4)



(Ⅱ)由 f ?( x ) ? a x 2 ? 2 b x ? c 的判别式 ? ? ? 4 b 2 ? 4 a c ? 0 , 知方程 f ?( x ) ? a x 2 ? 2 b x ? c ? 0 ( ? ) 有两个不等实根,设为 x 1 , x 2 , 又由 f ?(1) ? a ? 2 b ? c ? 0 知, x 1 ? 1 为方程( ? )的一个实根,则由根与系数的关系得
x1 ? x 2 ? ? 2b a , x2 ? ? 2b a ? 1 ? 0 ? x1 ,

当 x ? x 2 或 x ? x 1 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x 2 ? x ? x 1 时, f ?( x ) ? 0 , 故函数 f ( x ) 的递增区间为 [ x 2 , x 1 ] ,由题设知 [ x 2 , x 1 ] ? [ s , t ] , 因此 | s ? t |? | x 1 ? x 2 |? 2 ?
2b a

,由(Ⅰ)知 0 ≤

b a

?1



| s ? t | 的取值范围为 [ 2 , 4 )

.

10.解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为: (Ⅱ)设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则

x

2

? x1 4
2

y

2

? 1. y1 3
2

4 ?

3 ?1, x2 4
2

?

y2 3

2

?1.
2

依题意有 | P M | ? | P N | ,即 x 12 ? ( y 0 ? y 1 ) 2 ? 整理得 ( x 12 ? x 22 ) ? ( y 12 ? y 22 ) ? 2 y 0 ( y 1 ? y 2 ) ? 0 .
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x2 ? ( y0 ? y2 )
2



理科 答案

6 / 10

将 x 12 ? 4 ?

4 y1 3

2

, x 22 ? 4 ?

4 y2 3

2

代入上式,消去 x 12 , x 22 ,

得 ( y 12 ? y 22 ) ? 6 y 0 ( y 1 ? y 2 ) ? 0 . 依题意有 y 1 ? y 2 ? 0 ,所以 y 0 ? ? 注意到 | y 1 | ? 所以 y 0 ? ( ?
3

y1 ? y 2 6

.

, | y2 |?
, 3 3 )

3

,且 M , N 两点不重合,从而 ? 2 3 ? y 1 ? y 2 ? 2 3 .

3 3

.

11. 解:(I) 设 Q ( x , y ), 因 为 N P ?

1 ???? y P Q , 所 以 N ( 0, ? ), 2 2 ???? ? ???? y 3y 又 M ( ? 3 m , 0 ), 所 以 M N ? ( 3 m , ? ), N Q ? ( x , ), 2 2 ???? ???? ? 3 由已知 M N ? N Q ? 0, 则 3 m x ? y 2 ? 0 4
y ? 4 m x ,即 Q 点 轨 迹 方 程 为 y ? 4 m x .
2 2

??? ?

(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 A、 B 在 x 轴的下方(包括 x 轴) , 记 A、 B 、 C 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 3 ) ,其中 y 3 ? 0 ? y 2 ? y 1
k 并设直线 A B 的斜率为 ( k < 0)
? y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ) ? 则有 ? ??① 1 ? y3 ? y2 ? ? ( x3 ? x2 ) k ?

y

又因为 A、 B 、 C 在抛物线 y 2 ? 4 m x 上,故有
x1 ? y1
2

C D

4m

, x2 ?

y2

2

4m

, x3 ?

y3

2

代入①式得 ??②

4m

O

B A

x

y1 ?

4m k

? y2 , y3 ? ?4m k ? y2

因为 | A B |? | B C | 即 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 所以 1 ?
1 k
2

( x3 ? x2 ) ? ( y3 ? y2 )
2

2

( y 2 ? y1 ) ?

1 ? k ( y3 ? y2 )
2

所以 ( y 2 ? y 1 ) ? ? k ( y 3 ? y 2 ) 将②代入可得:

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7 / 10

y2 ?

4m k

? y2 ? ? k (?4m k ? 2 y2 ) 4m k ? ? 2 ( ? k ? 1) y 2 ,
4m

即 ?4m k 2 ?

4mk ?
2

得 y2 ?

k 2 ( ? k ? 1)

正方形的边长为 | A B |? 1 ? k 2 ( y 3 ? y 2 ) ? 1 ? k 2 ( ? 4 m k ? 2 y 2 )
4mk ?
2

4m
3

?

1 ? k (?4m k ?
2

k ) ? 4m 1 ? k 2 ??k ? k ? 1 ? ? ? ?k ? 1 k ( ? k ? 1) ? ?

? 4m

1 ? k ( k ? 1)
2 2

? k ( ? k ? 1)
( k ? 1)
2

易知

?k

? 2,

1? k

2

?k ? 1

?

2 2

, 所以 4 m

1 ? k ( k ? 1)
2 2

? k ( ? k ? 1)

? 4

2m

所以正方形 ABCD 面积的最小值为 3 2 m 2 .

12.解: (Ⅰ)设圆心坐标为 ( x , y ) ,那么 2 2 ? y ? ( y ? 2 ) 2 ? x 2 ,化简得 x 2 ? 4 y (Ⅱ)解法一:设 P ( x 1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) 设直线 PQ 的方程为 y ? k x ? b ,代入曲线 C 的方程得 x 2 ? 4 k x ? 4 b ? 0 , 所以 x 1 ? x 2 ? 4 k , x 1 x 2 ? ? 4 b , ? ? 1 6 k 2 ? 1 6 b ? 0 因为 P Q ? 2 ,所以 (1 ? k 2 )[( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 ] ? 4 ,? (1 ? k 2 )[1 6 k 2 ? 1 6 b ] ? 4 所以, 4 (1 ? k 2 )[ k 2 ? b ] ? 1,? k 2 ? b ?
1 4 (1 ? k )
2

2

过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为 y ? y 1 ? 两式相减,得 y 2 ? y 1 ?
? x 2 ? x1
2 2

x1 2

( x ? x 1 ), y ? y 2 ?

x2 2

( x ? x2 )

x 2

( x1 ? x 2 ) ? x 2 ? x1
2 2

x 2 ? x1
2

2

2

?

x 2

4

( x1 ? x 2 ) ?

2

, ? x 1 ? x 2 ,? x ?
x1 2 ( x1 ? x 2 2

x1 ? x 2 2 ? x1 )

? 2k

代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y 1 ?
? y? x1 4
2

?

x1 2

(

x1 ? x 2 2

? x1 )

,? y ?

x1 x 2 4

? ?b

即两条切线的交点 M 的坐标为( 2 k , ? b ) ,所以点 M 到直线 PQ 的距离为
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8 / 10

d ?

2k ? 2b
2

?

2 k ?b
2

?

1
3

1? k

2

1? k

2 2

2 (1 ? k ) 2

当 k ? 0 时, d m a x ?

1 2

,此时 ? P Q M 的面积的取最大值 S m a x ?

1 2

? P Q ? d m ax ?

1 2

解法二: 设 P ( x 1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) ,则过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为
y ? y1 ? x1 2 ( x ? x 1 ), y ? y 2 ?
x 2

x2 2

( x ? x2 )
x 2 ? x1
2 2

两式相减得 y 2 ? y 1 ?
? x 2 ? x1
2 2

( x1 ? x 2 ) ? x 2 ? x1
2 2


x1 ? x 2 2 ? x1 )

2

?

x 2

4

( x1 ? x 2 ) ?

2

, ? x 1 ? x 2 ,? x ?
x1 2 ( x1 ? x 2 2

代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y 1 ?
? y? x1 4
2

?

x1 2

(

x1 ? x 2 2

? x1 )

,? y ?

x1 x 2 4 y1 ? y 2 2 y1 ? y 2 2
2

即两条切线的交点 M 的坐标为( 设 PQ 中点为 C,则 C 的坐标为(
x1 x 2 4 y1 ? y 2 2 x1 x 2 4

x1 ? x 2 2 x1 ? x 2 2

, ,

) ),所以 MC 平行于 y 轴,所以
2

MC ?

?

?

?

x1 ? x 2
2

?

( x1 ? x 2 ) 8

?

( x1 ? x 2 ) 8
2

2

8

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,那么 d ? M C ? 立) .

( x1 ? x 2 ) 8

(当且仅当 x 1 ? x 2 ? 0 时等号成

又因为 P Q ? 2 ,所以 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 2 ,
( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 )
2 2

即 ( x1 ? x 2 ) 2 ?

? 2

16

,? ( x 1 ? x 2 ) 2 [1 ?

( x1 ? x 2 ) 16

2

] ? 2



所以 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 (当且仅当 x 1 ? x 2 ? 0 时等号成立) . 因此 d ?
1 2

, S ?PQM ?

1 2

PQ ? d ? 1 2

1 2

?2?

1 2

?

1 2



所以 ? P Q M 的面积的最大值为



13.解:(Ⅰ) a 2 ? 4 , b 2 ? 3 ,所以, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 。 所以,椭圆的离心率 e ?
c a ? 1 2



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理科 答案

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右焦点 F ? 1, 0 ? 。 (Ⅱ) (i) A ? ? 2 , 0 ? , B ? 2 , 0 ? 。设 M ? 4 , m ? ,显然 m ? 0 。 则MA : y ?
m 6

?x ? 2? ,MB

: y ?

m 2

?x

? 2? 。

2 m ? ? 54 ? 2m y ? ? x ? 2?, xP ? , ? ? 2 6 ? ? 27 ? m 由? 2 解得 ? 2 ?x ? y ?1 ? y ? 18m . 2 ? 4 ? P 3 27 ? m ? ? 2 m ? ? 2m ? 6 y ? ? x ? 2?, xQ ? , ? ? 2 ? 2 ? m ?3 由? 2 解得 ? 2 ?x ? y ?1 ? y ? ?6m . 2 ? 4 ? Q 3 ? m ?3 ?

当 m 2 ? 9 时, x P ? x Q ? 1 , P , Q , F 三点共线。 当 m 2 ? 9 时, k F P ?
yP ? 0 xP ? 1
yQ ? 0 xQ ? 1

?

18m 2 7 ? 3m
?6m m ?9
2

2

?

6m 9?m
2



k FQ ?

?

?

6m 9?m
2



所以, k F P ? k P Q ,所以, P , Q , F 三点共线。 综上, P , Q , F 三点共线。 (Ⅱ)因为 P , Q , F 三点共线,所以,△PQB 的面积
9 ? ? 12 ? m ? ? m ? ? 9 ? ? ?m ? ? ? 12 m ? ?
2

S ?

1 2

? F B ? y P ? yQ ?

12m ? m ? 9 ?
2

?m

2

? 3? ? m ? 27 ?
2

?

设u ? m ?

9 m

,则 S ?

12u u ? 12
2

因为 S ' ?

24 ?6 ? u ?

?u

2

? 12 ?

2

,且 u ? m ?

9 m

? 6 ,所以, S ' ? 0

,且仅当 u ? 6 时, S ' ? 0 ,

所以, S ? 所以, S ?

12u u ? 12
2

在 [6, ? ? ) 上单调递减。
? 3 2 3 2

12 ? 6 6 ? 12
2

,等号当且仅当 u ? 6 ,即 m ? ? 3 时取得。 .

所以,△PQB 的面积的最大值为

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