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山东省菏泽市2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试卷(b卷) Word版含解析

2014-2015 学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(文科) (B 卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,毎小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的) 1.函数 f(x)= A. 的导数是( B. )

C.

D.

2.曲线 y=x ﹣4x +4 在点(1,1)处的切线方程为( ) A. y=﹣x+2 B. y=5x﹣4 C. y=﹣5x+6 D. y=x﹣1 3.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是( A. 没有一个内角是钝角 B. 有两个内角是钝角 C. 有三个内角是钝角 D. 至少有两个内角是钝角 )

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4.函数 f(x)的定义域为(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在(a,b)内有极小值点( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.函数 f(x)=2x﹣sinx 在(﹣∞,+∞)上( ) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值 6.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据: (x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) , 则下列说法中不正确的是( ) A. 由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心( , ) B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C. 用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好 D. 若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r=﹣0.9362,则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 7.已知函数 f(x)=lnx+x ﹣bx 在其定义域内是增函数,则 b 的取值范围是( A. (﹣∞,2 ) B. (2 ,+∞) C. (﹣∞,2) D. (2,+∞)
2 2 2



8.某演绎推理的“三段”分解如下:①(2 ﹣1)不能被 2 整除;②一切奇数都不能被 2 50 整除;③(2 ﹣1)是奇数.按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是( ) A. ①→②→③ B. ③→②→① C. ②→①→③ D. ②→③→① 9.设曲线 y=x +1 在点(x,f(x) )处的切线的斜率为 g(x) ,则函数 y=g(x)cosx 的部分 图象可以为( )
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50

A.

B.

C.
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D.

10.若函数 f(x)=x ﹣12x 在区间(k﹣1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) A. ﹣3<k<﹣1 或 1<k<3 B. k≤﹣3 或﹣1≤k≤1 或 k≥3 C. ﹣2<k<2 D. 不存在这样的实数 k

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. 一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s= t , 则当 t=2 时,此木块在水平方向的瞬时速度为 12.观察下表: 1 2 3 4…第一行 2 3 4 5…第二行 3 4 5 6…第三行 4 5 6 7…第四行 ? ? ? ? ? ? ? ? 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为 13.已知 f(x)=x +2xf(1) ,则 f(0)=
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14.已知某化妆品的广告费用 x(万元)与销售额 y(百万元)的统计数据如下表所示: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

从散点图分析,y 与 x 有较强的线性相关性,且 =0.95x+ ,若投入广告费用为 5 万元,预 计销售额为 百万元.
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15.若函数 f(x)=x(x﹣c) 在 x=1 处有极小值,则常数 c 的值为



三、解答题(本大共 6 小题,共 75 分) 16.已知曲线 y= (x<0)在 P 点处的切线平行于直线 x+4y﹣4=0,求 P 点的坐标.

17. (1)已知 a,b∈R,求证 2(a +b )≥(a+b) . 2 (2)已知 x∈R,a=x ﹣1,b=2x+2,求证 a,b 中至少有一个不小于 0. 18.在研究高血压与患心脏病的关系调查中,调查了有高血压者 30 人,其中有 20 人患心脏 病;调查的 80 个不高血压者中有 30 人患心脏病, (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)若认为“高血压与患心脏病有关” ,则出错的概率会是多少? 参考公式:K = P(K >k) k
2 2

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;n=a+b+c+d 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

0.50 0.455

19.某种商品每件进价 12 元,售价 20 元,每天可卖出 48 件.若售价降低,销售量可以增 加,且售价降低 x(0≤x≤8)元时,每天多卖出的件数与 x +x 成正比.已知商品售价降低 3 元时,一天可多卖出 36 件. (1)试将该商品一天的销售利润表示成 x 的函数; (2)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大? 20.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
2

(Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)求回归直线方程; (Ⅲ)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大?

(可能用到的公式: =

, = ﹣

,其中 、 是对回归直线方程 =a+bx

中系数 a、b 按最小二乘法求得的估计值)

21.设函数 f(x)=x ﹣6x+5,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x﹣1)恒成立,求实数 k 的取值范围.

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2014-2015 学年山东省菏泽市高二 (下) 期中数学试卷 (文 科) (B 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,毎小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的) 1.函数 f(x)= A. 的导数是( B. )

C.

D.

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的运算法则进行求导即可. 解答: 解:函数的导数 f′(x)= = ,

故选:C. 点评: 本题主要考查导数的计算,根据导数求导公式和运算法则是解决本题的关键.比较 基础. 2.曲线 y=x ﹣4x +4 在点(1,1)处的切线方程为( ) A. y=﹣x+2 B. y=5x﹣4 C. y=﹣5x+6 D. y=x﹣1 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求出函数 y=x ﹣4x +4 在 x=1 处的导数值,这个导数值即函数图象在该点处的切线 的斜率,然后根据直线的点斜式方程求解即可. 解答: 解:由曲线 y=x ﹣4x +4, 2 所以 y′=3x ﹣8x, 3 2 曲线 y=x ﹣4x +4 点(1,1)处的切线的斜率为:y′|x=1=3﹣8=﹣5. 此处的切线方程为:y﹣1=﹣5(x﹣1) ,即 y=﹣5x+6. 故选:C. 点评: 本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程, 考查计算能力. 3.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是( A. 没有一个内角是钝角 B. 有两个内角是钝角 )
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C. 有三个内角是钝角 D. 至少有两个内角是钝角 考点: 命题的否定. 专题: 常规题型. 分析: 写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可 解答: 解:命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角 是钝角” 故选 D. 点评: 本题考查命题的否定,命题中含有量词最多,书写否定是用的量词是至少,注意积 累这一类量词的对应. 4.函数 f(x)的定义域为(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在(a,b)内有极小值点( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数值是先负后正,再结 合图象即可求得结论. 解答: 解;因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数值是先负后正, 由图得:导函数值先负后正的点只有一个.故函数 f(x)在区间(a,b)内极小值点的个 数是 1. 故选:A. 点评: 本题的易错点在于把原点包含在内,原点处虽然导函数值为 0,但在原点两侧,导 函数值同号,所以原点不是极值点. 5.函数 f(x)=2x﹣sinx 在(﹣∞,+∞)上( ) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数,得到导函数大于 0,从而得到答案. 解答: 解:∵f′(x)=2﹣cosx>0, ∴函数 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上单调递增, 故选:A. 点评: 本题考查了函数的单调性,考查导数的应用,是一道基础题. 6.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据: (x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) , 则下列说法中不正确的是( ) A. 由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心( , )

B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C. 用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好 D. 若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r=﹣0.9362,则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 考点: 两个变量的线性相关. 专题: 常规题型. 分析: 线性回归方程一定过样本中心点,在一组模型中残差平方和越小,拟合效果越好, 相关指数表示拟合效果的好坏,指数越小,相关性越强. 解答: 解:样本中心点在直线上,故 A 正确, 残差平方和越小的模型,拟合效果越好,故 B 正确, R 越大拟合效果越好,故 C 不正确, 当 r 的值大于 0.75 时,表示两个变量具有线性相关关系, 故选 C 点评: 本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法,要想知道两个变量之间的有关或无关 的精确的可信程度,只有利用独立性检验的有关计算,才能做出判断.大于 0.75 时,表示 两个变量有很强的线性相关关系. 7.已知函数 f(x)=lnx+x ﹣bx 在其定义域内是增函数,则 b 的取值范围是( A. (﹣∞,2 ) B. (2 ,+∞) C. (﹣∞,2) D. (2,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据函数 f(x)是增函数,等价为 f′(x)≥0 恒成立,即可得到结论. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) ,要使 f(x)=lnx+x ﹣bx 在定义域内是增函数, 则等价为 f′(x)≥0 恒成立, ∵f(x)=lnx+x ﹣bx, ∴f′(x)= +2x﹣b≥0, 即 b≤ +2x 恒成立, 当 x>0 时,y= +2x≥2 =2 ,
2 2 2 2 2 2



则 b≤2 , 故选:A. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用和判断,根据函数导数和单调性之间的关系转化为 函数恒成立即可得到结论. 8.某演绎推理的“三段”分解如下:①(2 ﹣1)不能被 2 整除;②一切奇数都不能被 2 50 整除;③(2 ﹣1)是奇数.按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是( ) A. ①→②→③ B. ③→②→① C. ②→①→③ D. ②→③→① 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 规律型.
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分析: 本题考查的知识点是演绎推理中三段论的概念,由三段论:①(2 ﹣1)不能被 2 50 整除;②一切奇数都不能被 2 整除;③(2 ﹣1)是奇数;我们易得大前提是②,小前提是 ③,结论是①.则易得答案. 解答: 解:三段论: ①(2 ﹣1)不能被 2 整除; ②一切奇数都不能被 2 整除; ③(2 ﹣1)是奇数; 大前提是②,小前提是③,结论是①. 故排列的次序应为:②→③→①, 故选:D 点评: 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的 依据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供 了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来, 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系, 从而产生了第三个判断结论. 演绎推理是一种必然 性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是 正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 9.设曲线 y=x +1 在点(x,f(x) )处的切线的斜率为 g(x) ,则函数 y=g(x)cosx 的部分 图象可以为( )
2 50 50

50

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先研究函数 y=g(x)cosx 的奇偶性,再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判 定. 解答: 解:g(x)=2x,g(x) ? cosx=2x? cosx, g(﹣x)=﹣g(x) ,cos(﹣x)=cosx, ∴y=g(x)cosx 为奇函数,排除 B、D. 令 x=0.1>0. 故选:A. 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及考查学生识别函数的图象的能力,属于基础题. 10.若函数 f(x)=x ﹣12x 在区间(k﹣1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( )
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A. ﹣3<k<﹣1 或 1<k<3 B. k≤﹣3 或﹣1≤k≤1 或 k≥3 C. ﹣2<k<2 D. 不存在这样的实数 k 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 若连续函数 f(x)=x ﹣12x 在区间(k﹣1,k+1)上不是单调函数,则函数的极值 点在区间(k﹣1,k+1)上,利用导数法求出极值点,可得答案. 解答: 解:∵ f(x)=x ﹣12x 2 ∴f′(x)=3x ﹣12 令 f′(x)=0,解得 x=﹣2,或 x=2 即函数 f(x)=x ﹣12x 极值点为±2 3 若函数 f(x)=x ﹣12x 在区间(k﹣1,k+1)上不是单调函数, 则﹣2∈(k﹣1,k+1)或 2∈(k﹣1,k+1) 解得﹣3<k<﹣1 或 1<k<3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数单调性与导数的关系,其中连续函数在定区间上不是单调 函数,则函数的极值点在区间上,构造不等式是解答的关键. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. 一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s= t , 则当 t=2 时,此木块在水平方向的瞬时速度为 .
2 3 3 3

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的物理意义进行求导即可. 解答: 解:函数的导数为 s′= t, 则当 t=2 时,s′= ×2= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查导数的计算,根据导数的物理意义是解决本题的关键. 12.观察下表: 1 2 3 4…第一行 2 3 4 5…第二行 3 4 5 6…第三行 4 5 6 7…第四行 ? ? ? ? ? ? ? ? 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为 2n﹣1 .

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据表中的数据归纳出:在第 n 行第 n 列交叉点上的数构成一个等差数列,由条件 和等差数列的通项公式求出答案. 解答: 解:由题意知,1 2 3 4…第一行 2 3 4 5…第二行 3 4 5 6…第三行 4 5 6 7…第四行 ? ? ? ? 观察可得,在第 n 行第 n 列交叉点上的数分别为 1、3、5、7、…, 这些数恰构成一个等差数列,且公差为 2,首项为 1, ∴第 n 行第 n 列交叉点上的数应为:2n﹣1, 故答案为:2n﹣1. 点评: 本题考查归纳推理,以及等差数列的通项公式,难点是根据已知的式子找出数之间 的内在规律,考查观察、分析、归纳的能力,是基础题. 13.已知 f(x)=x +2xf(1) ,则 f(0)= 0 . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的值. 函数的性质及应用. 将 x 取 1,得到关于 f(1)的等式求出 f(1) ,然后将 x 取 0 计算. 解:由已知得到 f(1)=1+2f(1) ,所以 f(1)=﹣1,
2 2

所以 f(x)=x ﹣2x, 所以 f(0)=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了函数值的求法;关键是求出 f(1) ,得到函数解析式,然后求函数值. 14.已知某化妆品的广告费用 x(万元)与销售额 y(百万元)的统计数据如下表所示: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

从散点图分析,y 与 x 有较强的线性相关性,且 =0.95x+ ,若投入广告费用为 5 万元,预 计销售额为 7.35 百万元. 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 回归直线过样本点的中心, 故 = ﹣0.95×2=2.6,从而求预计销售额. 解答: 解:由题意, = = =4.5; =2, =2, = =4.5; 则 a=4.5

则 a=4.5﹣0.95×2=2.6, 则代入 x=5 可得, y=0.95×5+2.6=7.35, 故答案为:7.35. 点评: 本题考查了样本点的中心的求法及回归直线过样本点的中心,属于基础题. 15.若函数 f(x)=x(x﹣c) 在 x=1 处有极小值,则常数 c 的值为 1 . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导数可得 f′(x)=(x﹣c) (3x﹣c) ,令其为 0,分类讨论可得函数取极小值的 情形,比较已知可得 c 的方程,解之可得. 解答: 解:展开可得 f(x)=x(x﹣c) =x ﹣2cx +c x, 2 2 求导数可得 f′(x)=3x ﹣4cx+c =(x﹣c) (3x﹣c) 令 f′(x)=(x﹣c) (3x﹣c)=0 可得 x=c,或 x= , 当 c=0 时,函数无极值,不合题意, 当 c>0 时,可得函数在(﹣∞, )单调递增,在( ,c)单调递减,在(c,+∞)单调 递增, 故函数在 x=c 处取到极小值,故 c=1,符合题意; 当 c<0 时,可得函数在(﹣∞,c)单调递增,在(c, )单调递减,在( ,+∞)单调 递增, 故函数在 x= 处取到极小值,故 c=3,矛盾, 故答案为:1. 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,涉及分类讨论的思想,属中档题. 三、解答题(本大共 6 小题,共 75 分) 16.已知曲线 y= (x<0)在 P 点处的切线平行于直线 x+4y﹣4=0,求 P 点的坐标.
2 3 2 2 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数,设出 P 点的坐标,得到﹣ =﹣ ,从而求出 P 点的坐标.

解答: 解:设切点 P(x0,y0) ,由 y′=﹣

,得

k=y′|x=x0=﹣



又 x+4y﹣4=0 的斜率为﹣ . ∴﹣ =﹣ ,∴x0=2,或 x0=﹣2

∵x<0,∴x0=﹣2,y0=﹣ ∴P(﹣2,﹣ )为所求. 点评: 本题考查了导数的应用,考查曲线的切线问题,是一道基础题. 17. (1)已知 a,b∈R,求证 2(a +b )≥(a+b) . 2 (2)已知 x∈R,a=x ﹣1,b=2x+2,求证 a,b 中至少有一个不小于 0. 考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;推理和证明. 分析: (1)直接利用分析法、综合法的证明步骤证明即可; (2)假设 a<0,b<0,则 a+b<0,又 a+b=x ﹣1+2x+2=x +2x+1=(x+1) ≥0,这与假设所 得结论矛盾,故假设不成立. 解答: 证明: (1)证法 1:要证 2(a +b )≥(a+b) , 2 2 2 2 只要证 2a +2b ≥a +2ab+b , 2 2 只要证 a +b ≥2ab, 2 2 而 a +b ≥2ab 显然成立, 2 2 2 所以 2(a +b )≥(a+b) 成立. 2 2 2 证法 2:因为 2(a +b )﹣(a+b) 2 2 2 2 =2a +2b ﹣(a +2ab+b ) 2 2 =a +b ﹣2ab 2 =(a﹣b) ≥0, 2 2 2 所以 2(a +b )≥(a+b) . (2)假设 a,b 都小于 0,即 a<0,b<0, 所以 a+b<0, 又 a+b=x ﹣1+2x+2=x +2x+1=(x+1) ≥0, 这与假设所得结论矛盾,故假设不成立. 所以 a,b 中至少有一个不小于 0. 点评: 本题考查分析法的证明方法,考查用反证法证明数学命题,推出矛盾是解题的关键, 考查逻辑推理能力. 18.在研究高血压与患心脏病的关系调查中,调查了有高血压者 30 人,其中有 20 人患心脏 病;调查的 80 个不高血压者中有 30 人患心脏病, (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)若认为“高血压与患心脏病有关” ,则出错的概率会是多少? 参考公式:K =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

;n=a+b+c+d

P(K >k) k

2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)根据调查了有高血压者 30 人,其中有 20 人患心脏病;调查的 80 个不高血压 者中有 30 人患心脏病,列出列联表; (2)代入公式计算得出 K 值,结合临界值,即可求得结论. 解答: 解: (1)给出如下列联表: 患心脏病 高血压 不高血压 合计 20 30 50 患其他病 10 50 60 合计 30 80 110
2

(2)由列联表中的数据可得: K=
2 2

=7.486,

又 P(K ≥6.635)=0.010, 若认为“高血压与患心脏病有关系” ,则出错的概率是 0.010. 点评: 本题考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 19.某种商品每件进价 12 元,售价 20 元,每天可卖出 48 件.若售价降低,销售量可以增 加,且售价降低 x(0≤x≤8)元时,每天多卖出的件数与 x +x 成正比.已知商品售价降低 3 元时,一天可多卖出 36 件. (1)试将该商品一天的销售利润表示成 x 的函数; (2)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大? 考点: 函数最值的应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)确定每件商品的利润,每天卖出的商品件数,即可求得该商品一天的销售利润 表示成 x 的函数; (2)求导函数,确定函数的极值,从而可得最大利润. 解答: 解: (1)由题意可设,每天多卖出的件数为 k(x +x) ,∴36=k(3 +3) ,∴k=3 2 又每件商品的利润为(20﹣12﹣x)元,每天卖出的商品件数为 48+3(x +x) 2 3 2 ∴该商品一天的销售利润为 f(x)=(8﹣x)[48+3(x +x)]=﹣3x +21x ﹣24x+384(0≤x ≤8) (2)由 f'(x)=﹣9x +42x﹣24=﹣3(x﹣4) (3x﹣2) 令 f'(x)=0 可得 或 x=4
2 2 2 2

当 x 变化时,f'(x) 、f(x)的变化情况如下表: 0 4 8

﹣ 0 + 0 ﹣ 384 ↘ 极小值 ↗ 极大值 432 ↘ 0 ∴当商品售价为 16 元时,一天销售利润最大,最大值为 432 元 点评: 本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,解题的关键是确定函数的解析式. 20.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)求回归直线方程; (Ⅲ)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大?

(可能用到的公式: =

, = ﹣

,其中 、 是对回归直线方程 =a+bx

中系数 a、b 按最小二乘法求得的估计值) 考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中,得到散点图, (Ⅱ)根据所给的数据先做出数据的平均数,即样本中心点,根据最小二乘法做出线性回归 方程的系数,写出线性回归方程. (Ⅲ)把所给的广告费支出为 9 百万元时,代入线性回归方程,做出对应的销售额,这是一 个预报值,与真实值之间有一个误差. 解答: 解: (Ⅰ)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中,得到散点图,如 图 (Ⅱ) =5, =50, xiyi=1390, =145,

∴b=

=6.5,a=17.5,

∴线性回归方程为 =6.5x+17.5. (Ⅲ)当 x=10 时, =82.5. 即当广告费支出为 10 百万元时,销售额为 82.5 百万元.

点评: 本题考查求线性回归方程,是一个运算量比较大的问题,解题时注意平均数的运算 不要出错,注意系数的求法. 21.设函数 f(x)=x ﹣6x+5,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x﹣1)恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的导数,从而求出函数的单调区间和极值; (2)画出函数的大致图象,结合图象从而求出 a 的范围; (3)问题转化为 k≤x +x﹣5 在(1,+∞)上恒成立,结合二次函数的性质求出即可. 2 解答: 解: (1)f′(x)=3(x ﹣2) ,令 f′(x)=0,得 x1=﹣ ,x2= ∴,x<﹣ 或 x> 时,f′(x)>0,当﹣ 时,f′(x)<0, f(x)的单调递增区间(﹣ )和( ) ,单调递减区间是(﹣ 当 x=﹣ ,f(x)有极大值 5+4 ; 当 x= ,f(x)有极小值 5﹣4 . (2)由(1)可知 y=f(x)图象的大致形状及走向如图示: , ) ,
2 3

∴当 5﹣4 <a<5+4 时,直线 y=a 与 y=f(x)的图象有 3 个不同交点, 即当 5﹣4 <a<5+4 时方程 f(x)=a 有三解. 2 (3)f(x)≥k(x﹣1)即(x﹣1) (x +x﹣5)≥k(x﹣1) 2 ∵x>1,∴k≤x +x﹣5 在(1,+∞)上恒成立. 2 令 g(x)=x +x﹣5,由二次函数的性质,g(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴g(x)>g(1)=﹣3 ∴所求 k 的取值范围是 k≤﹣3. 点评: 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题,考查导数的应用,二次函数的性质, 本题是一道中档题.


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