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高中数学 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换学案 苏教版选修4-4

亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……
学习资料专题
4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换,能运用伸缩变化进行简单的变换. 2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.

[基础·初探]

1.横坐标的伸缩变换

一般地,由?????kyx==yx′′, (k>0)所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为 k 向着 y 轴的伸 缩变换(当 k>1 时,表示伸长;当 0<k<1 时,表示压缩),即曲线上所有点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 k 倍(这里(x,y)是变换前的点,(x′,y′)是变换后的点).

2.纵坐标的伸缩变换

一般地,由?????xky==x′ y′, (k>0)所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为 k 向着 x 轴的伸缩

变换(当 k>1 时,表示伸长;当 0<k<1 时,表示压缩),即曲线上所有点的横坐标不变,

纵坐标变为原来的 k 倍(这里(x,y)是变换前的点,(x′,y′)是变换后的点).

3.伸缩变换 一 般 地 , 设 点 P(x , y) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 , 在 变 换 φ :

??x′=λ x λ > ???y′=μ y μ >



的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直

角坐标系中的坐标伸缩变换,简称为伸缩变换.

[思考·探究]

1.如果 x 轴的单位长度保持不变,y 轴的单位长度缩小为原来的12,圆 x2+y2=4 的图

尚水作品

形变为什么图形?伸缩变换可以改变图形的形状吗?那平移变换呢? 【提示】 x2+y2=4 的图形变为椭圆:x42+y2=1. 伸缩变换可以改变图形的形状,但平移变换仅改变位置,不改变它的形状. 2.如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换? 【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变 x 轴或 y 轴的单位长度,将会对
图形产生影响.其特点是坐标系和图形发生了改变,而图形对应的方程不发生变化.如在下 列平面直角坐标系中,分别作出 f(x,y)=0 的图形:(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度; (2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 k 倍;(3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的1k. 第(1)种坐标系中的意思是 x 轴与 y 轴上的单位长度一样,f(x,y)=0 的图形就是我们以前 学过的平面直角坐标系中的 f(x,y)=0 的图形;第(2)种坐标系中的意思是如果 x 轴上的单 位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为原来的1k,此时 f(x,y)=0 表示的图形与第(1) 种坐标系中的图形是不同的;第(3)种坐标系中的意思是如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原来的1k,此时 f(x,y)=0 表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是 不同的.
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 3:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________
伸缩变换 对下列曲线进行伸缩变换?????kkxy==xy′′, (k≠0,且 k≠1). (1)y=kx+b; (2)(x-a)2+(y-b)2=r2. 【自主解答】 设 P(x,y)是变换前的点,P′(x′,y′)是变换后的点,由题意,得
尚水作品

??kx=x′, ???ky=y′,

??x=1kx′, 即???y=1ky′.

(1)由1ky′=k(1kx′)+b,y′=kx′+kb,得直线 y=kx+b 经过伸缩变换后的方程为

y=kx+kb,仍然是一条直线. 当 b=0 时,该直线和原直线重合;当 b≠0 时,该直线和原直线平行.

(2)由(1kx′-a)2+(1ky′-b)2=r2,(x′-ka)2+(y′-kb)2=(kr)2,得圆(x-a)2+(y

-b)2=r2 经过伸缩变换后的方程为(x-ka)2+(y-kb)2=(kr)2,它是一个圆心为(ka,kb), 半径为|kr|的圆.

[再练一题]

1.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,求满足图象

变换的伸缩变换.

【解】

设变换为?????xy′ ′= =λμ

x,λ y,μ

>0 >0



代入直线方程 2x′-y′=4

得:2λ x-μ y=4,即 λ x-μ2 y=2,

比较系数得:

λ =1,μ =4, 即直线 x-2y=2 图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x′-y′=4.

伸缩变换的应用

曲线 y=2sin 3x 变换成曲线 y=3sin 2x,求它的一个伸缩变换.

【导学号:98990021】

【思路探究】

设?????xy′ ′= =λμ

x y

λ> μ>



代入 y′=3sin 2x′,所得式再与 y=2sin

3x 比较即可求 λ 、μ . 【自主解答】 将变换后的曲线 y=3sin 2x 改成 y′=3sin 2x′.

设伸缩变换?????xy′ ′= =λμ

x y

λ> μ>

, ,

代入 y′=3sin 2x′;

得 μ y=3sin(2λ x)

尚水作品

即 y=μ3 sin(2λ x),与 y=2sin 3x 比较系数,

??2λ =3,

得? 3 ??μ

=2,

?? λ

3 =2,

即? ??μ

3 =2,

?? x′=32x,
所以伸缩变换为
???y′=32y.

确定一个伸缩变换,实际上就是求其变换方法,将新旧坐标分清,代入对应的曲线方程, 然后比较系数即可.

[再练一题]

2.(1)圆 x2+y2=a2 经过什么样的伸缩变换,可以使方程变为xa22+yb22=1(0<b<a)?

(2)分析圆 x2+y2=a2 的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩

变换后的位置关系.

【解】

x2 y2 (1)椭圆a2+b2=1

可以化为

x2+ab2y2 2=a2,

??x=x′, 设???y=aby′,

??x=x′, 即???bay=y′.

所以圆

x2+y2=a2

经过向着

x

轴方向上的伸缩变换,伸缩系数

b

x2

k=a,可以使方程变为a2

y2 +b2=1.

(2)若圆 x2+y2=a2 的一条弦所在直线的斜率存在且不为 0,设其方程为 y=kx+m,根

据垂径定理,经过该弦中点的直径所在直线的方程为 y=-1kx.

由aby′=kx′+m,得 y′=bakx′+bam.所以直线 y=kx+m 经过变换,方程可变为 y=bak

x+bam.

由aby′=-1kx′,得 y′=-kbax′,所以直线 y=-1kx 经过变换,方程可变为 y=-kba

尚水作品

x. b2
此时,两条直线的斜率乘积是定值-a2. 若圆 x2+y2=a2 的弦所在直线的方程为 x=n,则经过其中点的直径所在直线的方程为 y =0,伸缩变换后其方程分别变为 x=n,y=0.此时两直线依然垂直. 若圆 x2+y2=a2 的弦所在直线的方程为 y=n,则经过其中点的直径所在直线的方程为 x =0,伸缩变换后其方程分别变为 y=ban,x=0.此时两直线依然垂直.

[真题链接赏析]

(教材第 41 页习题 4.3 第 8 题)对下列曲线向着 x 轴进行伸缩变换,伸缩系

数 k=2:

(1)x2-4y2=16;(2)x2+y2-4x+2y+1=0.

求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线

x2+y2=1

x′2 y′2 变成曲线 9 + 4 =1.

【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换.

【解】

设变换为?????xy′ ′= =λμ

x,λ y,μ

>0, >0,

代入方程x′9 2+y′4 2=1,得λ

92x2+μ

y2 2 4 =1.



x2+y2=1

比较,将其变形为λ9

2x2+μ4

2
y2=1,比较系数得

λ

=3,μ

=2.

∴???x′=3x, 即将圆 x2+y2=1 上所有点横坐标变为原来的 3 倍,纵坐标变为原来的 ??y′=2y, x′2 y′2
2 倍,可得椭圆 9 + 4 =1.

1.直线 x+4y-6=0 按伸缩系数12向着 x 轴的伸缩变换后,直线的方程是________. 【答案】 x+8y-6=0 2.直线 2x-3y=0 按伸缩系数 3 向着 y 轴的伸缩变换后,直线的方程是________. 【答案】 2x-9y=0 3.曲线 x2+y2=4 按伸缩系数 2 向着 y 轴的伸缩变换后,曲线的方程是________.
【导学号:98990022】 x2 y2 【答案】 16+ 4 =1
尚水作品

4.y=cos x 经过伸缩变换?????xy′ ′= =23xy, 后,曲线方程变为______.

【解析】 由?????xy′ ′= =23xy

??x=12x′ ,得???y=13y′

,代入 y=cos x,

得13y′=cos 12x′,

即 y′=3cos 12x′.

【答案】

y=3cos

x 2

我还有这些不足: (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________

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