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2-1.欧氏空间和酉空间


矩阵论电子教程

哈尔滨工程大学理学院应用数学系

Department of Mathematics, College of Sciences

第 二 章
内积空间

Department of Mathematics

教学内容和基本要求

1.理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系. 理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系 理解内积空间的概念 2. 了解内积空间的同构的含义,掌握判断正交变换的判定 了解内积空间的同构的含义, 方法. 方法 3. 理解酋空间的概念,会判定空间是否酋空间的方法, 理解酋空间的概念,会判定空间是否酋空间的方法, 4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点: 重点: 难点: 难点: 内积空间的概念; 内积空间的概念;正交基及子空间的正交关系 正交变换的判定方法

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§2,1 欧氏空间和酉空间 一、欧氏空间与酉空间的定义 1. 欧氏空间的定义 定义:设 是 上线性空间 上线性空间,存在映射 定义 设V是R上线性空间 存在映射 使对任意x, z∈ c∈R,有 使对任意x, y, z∈ V, c∈R,有 (1). ( x, y) = ( y, x) (2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) (3). ( cx, y) = c ( x, y)
(对称性) 对称性) (可加性) 可加性) (数乘) 数乘)

V ×V → R ,

(4). ( x, x) ≥ 0且等号成立当且仅当 = 0. (正定性) 且等号成立当且仅当x 且等号成立当且仅当 正定性)
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则称在V上定义了一个内积 线性空间V称为 称为: 则称在 上定义了一个内积( ). 线性空间 称为 上定义了一个内积 实内积空间.有限维实内积空间称为 实内积空间 有限维实内积空间称为Euclid空间 有限维实内积空间称为 空间 是特殊的线性空间 注: 欧氏空间 V是特殊的线性空间 上的线性空间; ① V为实数域 R上的线性空间 为实数域 上的线性空间 除向量的线性运算外, ② V除向量的线性运算外,还有“内积”运算 除向量的线性运算外 还有“内积”运算; ③ 内积 ( x , y ) ∈ R
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例1.在 R n 中,对于向量 .

α = ( a1 , a2 ,L , an ) , β = ( b1 , b2 ,L , bn )
T

T

1)定义 )

(α , β ) = a1b1 + a2b2 + L + anbn

(1) )

易证 (α , β ) 满足定义中的性质 1o~ 4o . 所以, 为内积. 所以, (α , β ) 为内积. 就成为一个欧氏空间. 这样 R n 对于内积 (α , β ) 就成为一个欧氏空间

(

当 n = 3 时,1)即为几何空间 R 3 中内积在直角 ) 坐标系下的表达式 . (α , β ) 即 α ? β .

)

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例2. C (a , b )为闭区间 [a , b]上的所有实连续函数 . 所成线性空间, 所成线性空间,对于函数 f ( x ), g ( x ) ,定义
b

( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a

(2) )

则 C (a , b ) 对于(2)作成一个欧氏空间 对于( )作成一个欧氏空间.

? 证: f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ? k ∈ R

1 . ( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ g ( x ) f ( x ) dx = ( g , f )
o a a

b

b

2 . ( k f , g ) = ∫ k f ( x ) g ( x ) dx = k ∫ f ( x ) g ( x ) dx
o a a

b

b

= k( f , g )
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3 . ( f + g , h) = ∫
o a

( f ( x ) + g( x ) ) h( x ) dx a
b b a

= ∫ f ( x )h( x ) dx + ∫ g ( x )h( x ) dx
= ( f , h) + ( g , h ) 4 . ( f , f ) = ∫ f 2 ( x ) dx
o a b

b

Q

f 2 ( x ) ≥ 0,

∴ ( f , f ) ≥ 0.
2 则 f ( x ) > 0,

且若 f ( x ) ≠ 0, 故

从而 ( f , f ) > 0.

( f , f ) = 0 ? f ( x ) = 0.

( 因此, 为内积, 为欧氏空间. 因此, f , g ) 为内积, C (a , b )为欧氏空间
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补充:复共轭转置矩阵 补充 复共轭转置矩阵 定义: 定义:设 A ∈ C , 用 A 表示以 A 的元素的共 H T 轭复数为元素组成的矩阵, 轭复数为元素组成的矩阵,记 A = ( A)
n ×n

复共轭转置矩阵。 则称 AH 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭 转置矩阵满足下列性质: 转置矩阵满足下列性质:

(1)

AH = ( AT )
H H H

(2) ( A + B ) = A + B (3) ( kA) H = k AH (4) ( AB ) = B A
H H H

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(5) ( Ak ) H = ( AH ) k (6) ( A ) = A (7) A= A
H ?1 H H

(8) ( A ) = ( A?1 ) H
定义: 定义:设 A ∈ C n×n ,如果 如果 Hermite矩阵 矩阵, 矩阵 如果 矩阵。 为反Hermite矩阵。 矩阵

A = A,那么称 A 为 H A = ? A ,那么称 A
H

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2、酉空间的定义 、 定义:设 是 上线性空间 存在映射: 上线性空间,存在映射 定义 设V是C上线性空间 存在映射 V ×V →C 使得对任意x, 使得对任意 y, z∈V, c∈C,有 ∈ ∈ 有 (1). ( x, y) = ( y, x) (2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z) (3). (cx, y) = c ( x, y) (4). (x, x) ≥ 0且等号成立当且仅当 x = 0. 且等号成立当且仅当 则称在V上定义内积 称为复内积空间 则称在 上定义内积( ,). V称为复内积空间 上定义内积 称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间 有限维复内积空间称为酉空间. 酉空间
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维复向量空间, 例3 设 C n是 n 维复向量空间,任取

α = (a1 , a2 ,L , an ) , β = (b1 , b2 ,L , bn )
T

T

规定

(α , β ) := α ( β )T = a1b1 + a2b2 + L + an bn

容易验证 (α, β) 是 n 上的一个内积,从而Cn 成为 C 上的一个内积, 一个酉空间 例4 在

C

m×n

定义: 中,对 ?A, B ∈ C m×n , 定义 对
H

( A, B ) = tr ( A B )

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C

m× n

是酉空间

3、几点说明 、几点说明: 欧氏空间和酉空间统称为内积空间。 欧氏空间和酉空间统称为内积空间。 定义x的长度为 定义 的长度为: 的长度为

x = ( x, x)

定义x与 的距离为 的距离为: 定义 与y的距离为 d( x, y) = x ? y 定义x, 的夹角 的余弦为: 的夹角θ的余弦为 定义 y的夹角 的余弦为

( x, y) cosθ = x y
正交,记 ⊥ 当( x, y) = 0时, 称x与y正交 记x⊥y. 时 与 正交
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二, 内积的简单性质 1. 欧氏空间的性质: 欧氏空间的性质:

(1) (α , k β ) = k (α , β ) (2) (α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) (3) ( ∑ kiαi , β ) = ∑ ki (αi , β )
i =1 i =1 t t t

(4) (α , ∑ ki β i ) = ∑ ki (α , β i )
i =1 i =1

t

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2. 酉空间的性质: 酉空间的性质:

(1) (α , k β ) = k (α , β ) (2) (α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) (3) (∑ kiαi , β ) = ∑ ki (αi , β )
i =1 i =1 t t t

(4) (α , ∑ ki βi ) = ∑ ki (α , βi )
i =1 i =1

t

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3. 定理 定理: 是实的或复的内积空间,设 ∈ 设V是实的或复的内积空间 设x, y∈V, c为常数 是实的或复的内积空间 为常数 (实数或复数 则 实数或复数), 实数或复数 (1).

cx = c x
( x, y) ≤ x y

(2). (Cauchy-Schwarz不等式 ) 不等式

(3). (三角不等式 三角不等式) 三角不等式

x+ y ≤ x + y
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三, 内积在基下的矩阵 在线性空间V 中,向量是可以由基来唯一的表 而内积空间是赋予了运算的向量空间, 示,而内积空间是赋予了运算的向量空间,即是两个 向量的运算,所以, 向量的运算,所以,自然要考虑到内积与基的关系 定义:设 V是 n 维内积空间,ε 1 , ε 2 , L , ε n 为其一组 维内积空间, 定义: 基底, ,则称 则称: 基底,令: a ij = (ε i , ε j ) , i , j = 1,2, L n ,则称:

A = (a ij ) n×n
下的矩阵(又称度量矩阵) 又称度量矩阵 为内积在基 ε1 , ε2 ,L, εn下的矩阵 又称度量矩阵
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定理1:设 的一组基,则 定理 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为内积空间 V 的一组基 则: (1) 内积在基下的矩阵 A = ( a ij ) n× n 是Hermite矩阵 矩阵 ~ y ~ H A ~ ,其中 x , ~ ∈ C n y 其中 (2) ( x , y ) = x 其中:

y = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) ~ y ~ (3) 若 θ ≠ x ∈ C n ,均有 ~ H A~ > 0 均有: 均有 x x ~ x = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) x

定理2:设内积空间 定理 设内积空间 V 的内积在两组基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n ,

′ ′ ′ 并且: 并且 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵分别为 A 和 B ,并且 ′ ′ ′ (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) P ,则: 则
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B = P H AP

证明: 证明 设 A = ( a ij ) n× n , a ij = (ε i , ε j ) , i , j = 1,2, L n

B = (bij ) n×n bij = (ε i′ , ε ′j ) , i , j = 1,2,L n
P = ( p1 p2 L pn ) 则:

′ ′ ′ ε 1 , ε 2 ,L , ε n = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) P = (ε 1 , ε 2 , L , ε n )( p1 p2 L pn )
所以

ε i′ = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) pi ε ′j = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) p j
′ , ε ′j ) = piH Ap j bij = (ε i

B = (bij ) n×n = ( piH Ap j ) n×n
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B = (bij ) n×n = ( piH Ap j ) n×n

? p1H Ap1 ? =? M H ? pn Ap1 ?
H 1

p1H Ap2 L M
H pn Ap2 L

p1H Apn ? ? M ? H pn Apn? ?

?p ? ? ? H = ? M ? [ Ap1 L Apn ] = P AP H ? pn ? ? ?
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? 定义内积: 例5, f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ]3 ,定义内积 , 定义内积

( f ( x ), g( x )) = ∫ f ( x ) g ( x )dx
0

2

P[ x ]3 ,求内积在基 1, x ? 1 , ( x ? 1) 2 对欧氏空间 求内积在基

下的矩阵. 下的矩阵 解: a = dx = 2, a = ( x ? 1)dx = 0, 12 11 ∫ ∫
0 2 2 0 2 2 2

2 2 2 a13 = ∫ ( x ? 1) dx = , a 22 = ∫ ( x ? 1) dx = , 3 3 0 0
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2 a 23 = ∫ ( x ? 1) dx = 0, a 33 = ∫ ( x ? 1) dx = , 5 0 0
3 4

2

2

是实对称阵,所以 所以: 由于 A是实对称阵 所以

? ?2 ? A = ?0 ? ?2 ?3 ?
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0 2 3 0

2? 3? ? 0? ? 2? 3? ?

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