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2005级数学分析第1学期第1次测验2005-10

数学分析测验
得分 一、否命题叙述(每题 5 分,共 15 分)
1. 函数
f (x)

2005.10

姓名_______班级_______学号________成绩_ _ _ 题号 一 二 三 四 五 总 分

在区间 I 上不是上有界的确切说法是:

2. 常数 a 不是数列 { x n } 极限的确切说法是: 3. 数列 { x n } 不满足 Cauchy 收敛准则的确切说法是:

二、判断题(每题 4 分,共 12 分)
4. 设 x n A C
? ( ? 1) n
n

?

1 ? ( ? 1) 2

n

(n?

N) ,则 B D
inf{ x n } ? inf{ x n } ?

inf{ x n } ? inf{ x n } ?

0,

s up {n} ? x

1; 3/2;

-1, sup{ 0 , sup{

xn} ? xn} ?

1; 3/2 ( )

-1, sup{

xn} ?

5. 考虑下列断语: Ⅰ 若 y n ? x n ? z n ( n ? N),且 lim Ⅱ 若 yn
? x n ? z n (n ?

n? ?

(zn ? yn ) ? 0
n? ?

,则 { x n } 收敛; ,则 { y n } 和 { z n } 都收敛 ( )

N), { x n } 收敛且 lim

(zn ? yn ) ? 0

A Ⅰ正确,而Ⅱ不正确; C Ⅰ和Ⅱ都不正确; 6. 设 { x n } 为正数列且 lim A C D
{xn } {xn } {x }
n n n n

B Ⅰ不正确,而Ⅱ正确; D Ⅰ和Ⅱ都正确
xn ? 0

,则当 n B

? ?

时 与{ n
x n } 都未必为无穷小量;

n? ?

与{ n

x n } 必都为无穷小量;

{xn }

n

必为无穷小量,而 { n 未必为无穷小量, { n

x n } 未必为无穷小量;

x n } 必为无穷小量



三、计算题(3 小题,共 24 分)计算下列极限
7(6 分)求 8(6 分)求
n? ?

lim

n (

n ?1 ?

n )

n? ?

lim

n

n ? arctan

n

9(8 分)求 lim

1?

2 ?? n n

n

n? ?

四、ε-Ν 方法基本论证题(本题 9 分)
10 按 ?
? N

方法证明

n? ?

lim

5n

2

? n ? 2
2

3n

? 2

?

5 3

五、证明题(每题 10 分,共 40 分)
11 设 E 为非空数集, ? ? inf E ,? ? E ,证明自 E 中可选取严格递减数列{xn}使得其极限为 ? .

12.

设 ? M ? 0 , 对 ? n ? N ,有

x 2 ? x 1 ? x 3 ? x 2 ? ? ? x n ?1 ? x n ? M ,证明:数列{xn}收敛

13.非无穷大数列中必含有有界子列. 14.设 0 ?
a ? 1 ,令 x 1 ?
a 2

, x n ?1

?

a 2

?

xn 2

2

(n ?

N), 证明数列 { x n } 收敛并求其极限值.

数学分析测验
得分 一、否命题叙述(每题 6 分,共 12 分)
1. 常数 a 不是数列 { x n } 极限的确切说法是: 2. 数列 { x n } 不满足 Cauchy 收敛准则的确切说法是:

2005.10

姓名_______班级_______学号________成绩___ 题号 一 二 三 四 五 总 分

二、判断题(每题 6 分,共 12 分)
3. 设 x n A C
? ( ? 1) n
n

?

1 ? ( ? 1) 2

n

(n?

N) ,则 B D
inf{ x n } ?

inf{ x n } ?

0,

s up {n} ? x

1; 3/2;

-1, sup{ 0 , sup{

xn} ?

1; 3/2 ( )

inf{ x n } ?

-1, sup{

xn} ?

inf{ x n } ?
? ?

xn} ?

4. 设 { x n } 为正数列且 lim A C D
{xn } {xn } {x }
n n n n

n? ?

xn ? 0

,则当 n B

时 与{ n
x n } 都未必为无穷小量;

与{ n

x n } 必都为无穷小量;

{xn }

n

必为无穷小量,而 { n 未必为无穷小量, { n

x n } 未必为无穷小量;

x n } 必为无穷小量





三、计算题(3 小题,共 30 分)计算下列极限
5(6 分)求 6(6 分)求
n? ?

lim

n (

n ?1 ?

n )

n? ?

lim

n

n ? arctan

n

7(8 分)求 lim

1?

2 ?? n n

n

n? ?

四、ε-Ν 方法基本论证题(本题 14 分)
8 按?
? N

方法证明

n? ?

lim

5n

2

? n ? 2
2

3n

? 2

?

5 3

五、证明题(每题 16 分,共 32 分)
9 设 E 为非空数集, ? ? inf E ,? ? E ,证明自 E 中可选取严格递减数列{xn}使得其极限为 ? . 10.设 0 ?
a ? 1 ,令 x 1 ?
a 2

, x n ?1

?

a 2

?

xn 2

2

(n ?

N), 证明数列 { x n } 收敛并求其极限值.


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