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河南省郑州市2011-2012学年高二下学期期末考试理科数学试题及答案解析


河南省郑州市 2011-2012 学年下期期末试题高二数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1. 用反证法证明“若 ?ABC 的三边长 a, b, c 的倒数成等差数列,则 B ? A. B ?

?
2

”时, “假设”应为( D. B ? )



?
2

B. B ?

?
2

C. B ?

?
2

?
2

2. 已知随机变量 ? ~ N ? ?,2? ,且 P ?? ? 1? ? A. 1 B.

1 ,则实数 ? 的值为( 2
C. 0 D. 2 ) D. ?i )

1 2

3. 已知 i 是虚数单位,则复数 A. 1 B. ?1

1? i 的共轭复数的虚部是( 1? i
C. i

4. 在回归模型中,预报变量的值与下列哪些因素有关( A. 受解释变量的影响与随机误差无关 C. 与总偏差平方和有关与残差无关

B. 受随机误差的影响与解释变量无关 D. 与解释变量和随机误差的总效应有关 )

5. 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表,则常数 q =(

A. 1 ?

2 2

B. 1 ?

2 2

X
P

0 0.5

1

2

2 C. 1 ? 2

D.

2 2

1? 2 p

q2

6. “因为对数函数 y ? loga x 在 ? 0, ??? 上是增函数(大前提) ,而 y ? log 1 x 是对数函数(小前提) ,所
2

以 y ? log 1 x 在 ? 0, ??? 上是增函数(结论) ” ,上面推理错误的是(
2



A. 大前提错误导致结论错 C. 推理形式错误导致结论错

B. 小前提错误导致结论错 D. 大前提和小前提错误都导致结论错 )

? ? 0.95x ? a ,则 a ? ( 7. 已知 x, y 的取值如下表,从所得的散点图分析, y 与 x 线性相关,且 y
A. 2.5 C. 2.7 B. 2.6 D. 2.8

x
1 1 1 ? ? ?? 2 3 4
y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

8. 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 1 ? +

1 2
n ?1

?1

? f ? n ? ? n ? 2, n ? N * ? 的过程中,由 n ? k 变到 n ? k ? 1 时,左边增加了(
B. k 项 C. 2
k ?1



A. 1 项



D. 2 项

k

-1-

9. 2010 年 11 月 1 日开始,我国开始了第 6 次全国人口普查,据统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如 果某个家庭共有了两个孩子,有一个是女孩,则这时另一个孩子是男孩的概率是( A. )

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

10. 2011 年 11 月 11 日这一天被称为“百年一遇的光棍节” ,因为这一天有 6 个“1” ,如果把“20111111” 中的 8 个数字顺序任意排列,可以组成的八位数为( A. 49 个 B. 36 个 C. 28 个 ) D. 24 个

11. 已知数列 , , , , , , , , , , ?,依它的前 10 项的规律,这个数列的第 2012 项 a2012 满足 ( )

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 10

A. 0 ? a2012 ?

B.

1 ? a2012 ? 1 10

C. 1 ? a2012 ? 10

D. a2012 ? 10

12. 已知函数 f ? x ? 1? 是偶函数,且 x ? ?1 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,又 f ? 2 ? ? 0 ,则 ? x ? 1? f ? x ? 2 ? ? 0 的解集为( A. C. ) B. D.

? ??, ?2? ? 4, ??? ? ?6, ?1? ? 0, ???

? ?6, ?1? ? 0,4? ? ??, ?6? ? 4, ???
?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 i 是虚数单位,则 i ? i ? i ? ? ?i
2 3

2012

14. 定积分

?

4

?1

1 ? x 2 dx ?
2

15. 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? c ? 在 x ? 2 处有极大值,则 c ? 16. 下列数阵称为“森德拉姆筛” ,其特点是每行每列都是等差数列,则表中数字 2012 共出现 次。 2 3 4 5 6 7 ? 3 5 7 9 11 13 ? 4 7 10 13 16 19 ? 5 9 13 17 21 25 ? 6 11 16 21 26 31 ? 7 13 19 25 31 37 ? ? ? ? ? ? ? ?

-2-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本大题满分 10 分) 某教授为了研究数学成绩与 物理成绩是否相关,对郑州市某中学高二(1)班 66 名学生的期末考试数学成绩与物理成绩的统计如右 表,根据以上数据,该教授能否得出:有 85%的把 握认为数学成绩与物理成绩有关? 参考数据:

P?K2 ? k?
k

0.50 0.455
2

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n ? ad ? bc ? 参考公式: K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? c ? d ?

18.(本大题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 1 ,且 an?1 ? (I)求 a2 , a3 , a4 的值,猜想数列 ?an ? 的通项公式; (II)请证明你的猜想。

an ( n ? 1, 2,3 ,?) 1 ? an

19.(本小题满分 12 分) 已知 a ?

?

?

2 0

a? ? cos xdx ,二项式 ? 2 x2 ? ? 的展开式的各项系数和为 243 x? ?

n

(I)求该二项展开式的二项式系数和; (II)求该二项展开式中 x 项的系数
4

20.(本小题满分 12 分) 第 30 届奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行,射击运动员正在积极备战,若某运动员在 1 次射击中 成绩为 10 环的概率为

1 ,该运动员在 4 次射击中成绩为 10 环的次数为 ? 。 3

(I)求在 4 次射击中恰有 2 次射击成绩为 10 环的概率; (II)求在 4 次射击中至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (III)求随机变量 ? 的数学期望 E? (结果用分数表示)

-3-

21.(本小题满分 12 分)某高校在 2012 年的自主招生 考试中随机抽取 60 名学生的笔试成绩, 按成绩共分成 五组: 第 1 组 [75,80) , 第 2 组 [80,85) , 第 3 组 [85,90) , 第 4 组 [90,95) ,第 5 组 [95,100) ,得到的频率分布 直方图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生为“优秀” ,成绩小于 85 分的学生为“良 好” ,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格。 (I)求出第 4 组的频率,并补全频率分布直方图; (II)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少 有一人是“优秀”的概率是多少? (III)若该校决定在第 4, 5 组中随机抽取 2 名学生接受考官 A 的面试,第 5 组中有 ? 名学生被考官 A 面 试,求 ? 的分布列。

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? b ln x , g ? x ? ? ax ? x ? a, b ? R ?
2

(I)若曲线 f ? x ? 与 g ? x ? 在公共点 A ?1,0 ? 处有相同的切线,求实数 a , b 的值; (II)当 b ? 1 时,若曲线 f ? x ? 与 g ? x ? 在公共点 P 处有相同的切线,求证:点 P 唯一; (III)若 a ? 0 , b ? 1 ,且曲线 f ? x ? 与 g ? x ? 总存在公切线,求正实数 a 的最小值

-4-

2011—2012 学年度下期期末考试 高中二年级
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 A 12 C

理科数学

参考答案

二、填空题 13.0; 三、解答题 17. 解:根据列联表中的数据,得到
n ? ad ? bc ? 132 ? 60 ?12 ? 6 ? 54 ? k? ? ? 2.316 ? 2.072. 66 ? 66 ?114 ? 18 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

14.

? ; 2

15.6;

16.2.

……8 分 ……10 分

因此,可以认为有 85℅的把握认为数学成绩与物理成绩有关. 18. 解: (Ⅰ )由 a1 ? 1, 且 an?1 ?
an (n ? 1, 2,3, ???) ,得 1 ? an

1 1 1 1 a2 ? , a3 ? , a4 ? . 猜想 an ? (n ? 1, 2,3, ???). 2 3 4 n a (Ⅱ )因为 a1 ? 1, 且 an?1 ? n (n ? 1, 2,3, ???) , 1 ? an

……6 分

所以

1 ? an 1 1 1 1 ? ? ? 1 ,即 ? ? 1, an?1 an an an ?1 an

?1? 1 因此 ? ? 是以 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列, a1 ? an ?



1 1 ? 1 ? ? n ? 1? ? n, 即 an ? (n ? 1, 2,3, ???). n an
? ?
2 0

……12 分

19. 解: (Ⅰ )因为 a ? ? 2 cos xdx ? sin x
0
n n

? sin

?
2

? sin 0 ? 1,

……2 分

a? 1? ? ? 所以二项式 ? 2 x2 ? ? ,即 ? 2 x2 ? ? 的展开式的各项系数和为 243, x? x? ? ?
-5-

3n ? 243 ? 35 , n ? 5.
该二项展开式的二项式系数和 25 ? 32.

……4 分 ……6 分

1? ? (Ⅱ ) ? 2 x 2 ? ? 的展开式的通项是 x? ? Tr ?1 ? C ? 2 x
r 5 2 5? r

5

?

?1? r 5?r 10?3r ? r ? 0,1, 2,3, 4,5? . ? ? ? C5 2 x x ? ?

r

……8 分 ……10 分 ……12 分
1 B (4, ). 3

根据题意,得 10 ? 3r ? 4, r ? 2.
2 5? 2 因此,该二项展开式中 x 4 项的系数是 C5 2 ? 80.

20.解:由题意知,随机变量 ? 服从二项分布,即 ?

……2 分

(Ⅰ )在 4 次射击中恰有 2 次射击成绩为 10 环的概率为

1 4 8 ?1? ? 1? P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? 6 ? ? ? . 9 9 27 ? 3? ? 3?
2 4

2

2

……4 分

(Ⅱ )记“在 4 次射击中至少有 3 次射击成绩为 10 环”为事件 A ,则

1 ?1? ? 1? 4 ?1? P ? A? = P ?? ? 3? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 4? ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? C4 ?? ? ? . ? 3? ? 3? ? 3? 9
3 4

3

4

……8 分 ……12 分

(Ⅲ )因为 ?

1 1 4 B (4, ), 所以 E? ? 4 ? ? . 3 3 3

21. 解: (Ⅰ )其它组的频率为 (0.01+0.07+0.06+0.02)× 5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2, 频率分布图如图:……3 分 (Ⅱ ) 依题意优秀与良好的人数比为 3:2, 所以采用分层抽 样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良好 2 人,记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 A
2 C2 1 9 ? P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? ? . …………6 分 C5 10 10

(Ⅲ )由频率分布直方图可知,第四组的人数为 12 人,第五组的人数为 6 人 ? 的所有可能取 值为 0,1,2.

P(? ? 0) ?

1 1 2 2 C12 C6 C6 C12 22 24 5 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? . 2 2 2 C18 51 C18 51 C18 51

…………10 分

-6-

? ? 的分布列为:
?

0

1

2

P

22 51 b , g ??x? ? 2ax ? 1 . x

24 51

5 51

. 22. 解: (Ⅰ ) f ?? x ? ?

………………12 分

∵ 曲线 f ?x ? 与 g ?x ? 在公共点 A?1 , 0? 处有相同的切线,

? f ?1? ? b ln1 ? 0, ? ∴ ? g ?1? ? a ? 1 ? 0, , ?b ? 2a ? 1. ?

?a ? 1, 解得, ? ?b ? 1.
…①

…………………3 分

2 (Ⅱ )设 P ? x0 , y0 ? ,则由题设有 ln x0 ? ax0 ? x0 ,

又在点 P 有共同的切线, ∴ f ' ? x0 ? ? g ' ? x0 ? ? 设 h? x ? ? ln x ?
1 1 1 ? x0 1 代入① 得 ln x0 ? ? x0 . . ………5 分 ? 2ax0 ? 1 ? a ? 2 2 2 x0 2 x0

1 1 1 1 ? x ,则 h? ? x ? ? ? ? x ? 0 ? , 2 2 x 2

∴h?x ? 在 ?0 ,?? ? 上单调递增,所以 h ? x ? =0 最多只有 1 个实根, 从而,结合(Ⅰ )可知,满足题设的点 P 只能是 P ?1,0? . (Ⅲ )当 a ? 0 , b ? 1 时, f ? x ? ? ln x , f ?? x ? ? …………………7 分

1 , x 1 1 ln t ? 处的切线方程为 y ? ln t ? ? x ? t ? ,即 y ? x ? ln t ? 1 . 曲线 f ? x ? 在点 ?t , t t

1 ? ? y ? x ? ln t ? 1, ? 1? 由? 得 ax2 ? ?1 ? ? x ? ln t ? 1 ? 0 . t ? t? ? y ? ax 2 ? x, ?
∵ 曲线 f ? x ? 与 g? x ? 总存在公切线,

? 1? ∴ 关于 t ?t ? 0? 的方程 ? ? ?1 ? ? ? 4a?ln t ? 1? ? 0 , ? t? ? 1? 即 ?1 ? ? ? 4a?1 ? ln t ? ? t?
2

2

??? 总有解.

………………9 分

-7-

? 1? 若 t ? e ,则 1 ? ln t ? 0 ,而 ?1 ? ? ? 0 ,显然 ??? 不成立,所以 0 ? t ? e .………10 分 ? t?
从而,方程 ??? 可化为 4a ? 则 h??t ? ?

2

?1 ? t ?2 .令 h?t ? ? ?1 ? t ?2 ?0 ? t ? e ? , t 2 ?1 ? ln t ? t 2 ?1 ? ln t ?

?1 ? t ??2 ln t ? t ? 1? . 2 t 3 ?1 ? ln t ?

∴ 当 0 ? t ? 1 时, h??t ? ? 0 ;当 1 ? t ? e 时, h??t ? ? 0 ,即 h?t ? 在 ?0 , 1? 上单调递减,在 ?1 , e ? 上 单调递增.∴h?t ? 在 ?0 , e ? 的最小值为 h?1? ? 4 , 所以,要使方程 ??? 有解,只须 4a ? 4 ,即 a ? 1 . 所以正实数 a 的最小值为 1. …………………12 分

-8-


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