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广东省深圳市南头中学2013届高三12月月考数学(理)试题


2012-2013 学年度深圳市南头中学高三年级 12 月月考理科数学试卷 2012.12.21 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考 试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题 目要求的,答案填入答题卡内。 1.已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)图是
2

?

?





2.命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q ”的否定是( A. ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q
3



B. ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q

C. ?x ? ?R Q , x3 ?Q

3.已知两个非零向量 a , b 满足| a + b |=| a ? b |,则下面结论正确的是( (A)

?

?

? ?

D. ?x ? ?R Q , x3 ?Q

? ? a ∥b
3

(B)

? ? a ⊥b

? ? ?? ? ? (C) | a |?| b |

(D)

? ? ? ? a +b =a ? b



4.公比为 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =(



( A) 4

( B) 5

(C ) ?

( D) ?

5.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) 3 4 (A)3×3! (B) 3×(3!) (C)(3!) (D) 9! 6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π

7.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,且双曲线的离心 2 a b

2 2 2

率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为(
2

x y x y x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. D. 3 6 12 24 27 18 18 27 3 8.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x∈[o,1]时, f ( x) ? x 又函数 1 3 g ( x) ?| x cos(? x) | ,则函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) [ ? . ]上的零点个数为( ) 2 2
A. A.5 B. 6 C.7 D. 8

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡横线上。 9.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an=____.
2

cos 10. 设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2, C ?
? x?0 ? 11.若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?

1 ,则 sin B ? 4

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? ______. 13.已知抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面
12.设 a ? 0 .若曲线 y ? 积为
?


?

14.已知菱形 ABCD 中,AB ? 2 ,?A ? 120 , 沿对角线 BD 将 △ ABD 折起, 使二面角 A ? BD ? C 为 120 ,则点 A 到 △BCD 所在平面的距离等于 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题共 13 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间

? ) 部分图象如图所示. 2
y
1
?? 3

? x ? [0, ] 上的最大值和最小值. 2

o
?1

? 6

x

16. (本小题满分 13 分) 某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性”得分为 x , “实用性”得分为 y ,统计结果如下表: 作品数量

y
1分 2分

实用性 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3

x

1分 1 3 创 2分 1 0 新 3分 2 1 性 b 4分 1 5分 0 0 (Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为

a
3

167 ,求 a 、 b 的值. 50

17、 (本小题共 14 分) 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的中点. E (Ⅰ)求证: BM ∥平面 ADEF ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; F (Ⅲ)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角 M

D

C

A

B

x2 ? y 2 ? 1.过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 L 交椭圆 G 于 A,B 两 4 点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值.
18. (14 分)已知椭圆 G :

19. (本小题满分 14 分)

?( x 2 ? 2ax )e x ,x ? 0 , g (x ) ? c 1 ? b ,且 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值 nx ?bx, x ? 0 点. (1)若方程 f ( x) ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范(2)若直线 l 是函数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 (2 , f (2)) 处 的 切 线 , 且 直 线 l 与 函 数 y ? g ( x) ) 的 图 象 相 切 于 点
已知函数, f ( x ) ? ? P( x0 , y0 ), x0 ?[e , e] ,求实数 b 的取值范围.
?1

20. (本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? an an?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a ? 4 ,其中 n ? N . (1) 3
2 2
*

求数列 {an } 的通项公式; (2)令 cn ? 1 ? 9 的大小,并加以证明。

n * ,记数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,其中 n ? N 试比较 Tn 与 an

2012-2013 学年度深圳市南头中学高三年级 12 月月考理科数学试卷 2012.12.21 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,答案 填入答题卡内 1.已知全集 U 图是 ( B )

? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x 2 ? x ? 0

?

? 关系的韦恩(Venn)

2.命题“ ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q ”的否定是( D
3 3 3

) C. ?x ? ?R Q , x ?Q D. ?x ? ?R Q , x ?Q
3 3

A. ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q B. ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q

3.已知两个非零向量 a , b 满足| a + b |=| a (A) 4.公比为

?

?

? ?

? ? a ∥b

(B)

? ? a ⊥b

(C)

? ? ? b |,则下面结论正确的是( B ?? ? ? ? ? ? ? (D) a + b = a ? b | a |?| b |
B



2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =( ( A) 4 ( B) 5 (C ) ? ( D) ?
3



5.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( C ) 3 4 (A)3×3! (B) 3×(3!) (C)(3!) (D) 9! 6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( D ) (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2 a b x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 ? ?1 )A. C . 3 ,则该双曲线的标准方程为( A 3 6 12 24 27 18 y 2 x2 ? ?1 D. 18 27 ? f ( 2 x, 且 当 x ∈ [o , 1] 时 , f ( x) ? x3 又 函 数 ? ) 8 . 设 函 数 f ( x)( x ? R) 满 足 f (? x) ? f ( x), f ( x ) 1 3 g ( x) ? | x cos( x ), 则 函 数 h( x) ? g ( x)? f ( x) ? . ] 上 的 零 点 个 数 为 ( B ? | [ ) A.5 B. 6 2 2
7.已知双曲线 C.7 D. 8 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡横线上。 9.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 10. 设△

? a2 ? 4 ,则 a =____ 2n ? 1
2
n

ABC 的内角 A、B、C

b 的对边分别为 a、b、c , a =1, 且

=2, C ? cs o

1 i , s B? 则n 4

15 4

? x?0 ? 11.若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ [?3, 0] ?2 x ? y ? 3 ?
12.设 a

? 0 .若曲线 y ? x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? _____ a ?

4 9

2 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ? ? ? 14.已知菱形 ABCD 中,AB ? 2 , A ? 120 , 沿对角线 BD 将 △ ABD 折起, 使二面角 A ? BD ? C 为 120 , 3 y 则点 A 到 △BCD 所在平面的距离等于 2 1 ? 15、本小题满分 13 分) ( 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 部 2 ?? 13.已知抛物线 分图象如图所示. (Ⅰ)求

f ( x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x , o ? 求函数 g ( x ) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值. 2 ?1 T 2? ? ? ? ? ? ,所以 T ? ? . ??2 分 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 2 3 6 2 ? ? 所以 ? ? 2 . 当x? 时 , f ( x ) ? 1, 可 得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 因 为 6 6

3

? 6

x

| ? |?

? 2







??

? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) .?????6 分 6 ? ? ? (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 6 6 6 ? ? ? ? 5? 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .??????10 分因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 6 2 6 6 6 2 2 ? ? ? ? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, g ( x ) 有最大值,最大值为 1 ;当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x ) 有最小值, 3 6 2 6 6 1 最小值为 ? .??13 分 2
所以 16. (本小题满分 13 分)某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性”得分为 x , “实用性”得 分为 y ,统计结果如下表: 作品数量

? . 6

???5 分

y
1分 1分 2分 3分 4分 1 1 2 1 2分 3 0 1

实用性

x
创 新 性

3分 1 7 0 6 1

4分 0 5 9 0 1

5分 1 1 3

b

a
3

5分 0 0 (Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为

167 ,求 a 、 b 的值. 50 解: (Ⅰ)从表中可以看出, “创新性为 4 分且实用性为 3 分”的作品数量为 6 件,∴“创新性为 4 分且实用性为 3 分” 6 ? 0.12 . 的概率为 ????4 分 50 (Ⅱ)由表可知“实用性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级,且每个等级分别有 5 件, b ? 4 件, 15 件, 15 件, a ? 8 件. ????5 分∴“实用性”得分 y 的分布列为: y 3 5 1 2 4 p 5 b?4 15 15 a?8 50 50 50 50 50 167 又 ∵ “ 实 用 性 ” 得 分 的 数 学 期 望 为 , ∴ 50 5 b? 4 1 5 a? 1 5 8 1 6 7 1? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 3 4 ? 5. ?????10 分 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 ∵作品数量共有 50 件,∴ a ? b ? 3 解得 a ? 1 , b ? 2 . ????????13 分
17、 (本小题共 14 分)

ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的中点. (Ⅰ)求证: BM ∥平面 ADEF ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (Ⅲ) 求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值.
如图,正方形

(Ⅰ)证明:取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点,
E 1 1 MN ∥ CD ,且 MN ? CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD , 2 2 F M 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABMN 为平行四边形. 所以 BM ∥ AN .又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , D 所以 BM ∥平面 ADEF .???????4 分 (Ⅱ) 证明: 在正方形 ADEF 中,ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD , 且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . A B 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,可得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,所以 BC ? BD .所以 BC ? 平面 BDE . 又因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC .????????9 分 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知 ED ? 平面 ABCD ,且 AD ? CD . 以 D 为原点, DA, DC , DE 所在直线为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系. B(2, 2, 0), C (0, 4, 0), E (0, 0, 2) . 平面 ADEF 的一个法向量 ??? ? 为 m ? (0,1,0) . 设 n ? ( x, y, z ) 为 平 面 BEC 的 一 个 法 向 量 , 因 为 BC ? (?2, 2,0), , z ??? ? ??2 x ? 2 y ? 0 E ,令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? 2 . CE ? (0, ?4,2) 所以 ? ??4 y ? 2 z ? 0 F 所以 n ? (1,1, 2) 为平面 BEC 的一个 法向 量. 设平面 BEC 与平面 N M ADEF 所 成 锐 二 面 角 为 ? . 则 | m ?n| 1 6 D .所以平面 BEC 与平面 ADEF cos ? ? ? ? | m | ? | n | 1? 1 ? 1 ? 4 6

所以

C

C

y

A

所成锐二面角的余弦值为

18.

B 6 .???14 分 x 6 x2 ? y 2 ? 1.过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 L 交椭圆 G 于 A,B 两点. (14 分) 已知椭圆 G : 4 (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值.

解: (Ⅰ)由已知得

a ? 2, b ? 1,

所以

c ? a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为

(? 3,0), ( 3,0)



e?
心率为

c 3 ? . a 2 (Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线

l 的方程

x ? 1 ,点

A、B 的坐标分别为

3 3 ), (1,? ), 2 2 | AB |? 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), 此时 (1,

? y ? k ( x ? m), ? 2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 ?x 2 ? ? y ? 1. ( x , y )(x2 , y 2 ) , 由? 4 设 A、B 两点的坐标分别为 1 1


x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2 又 由

x 2 ? y 2 ? 1相切, 得

| km | k ?1
2

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.
所 以

L

与 圆
4 ? 2 2

| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

? (1 ? k 2 )[

64 k m 4( 4 k m ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

?

4 3|m| . m2 ? 3

由于当

m ? ?3 时 ,

| AB |? 3,

所 以

4 3|m| | AB |? , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) m2 ? 3

| AB |?
. 因 为

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 |m|? 3 |m|

? 2,
且 当

m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.
19 . (本小题 满分 14 分) 已知函 数,

y ? f ( x) 的极值点. (1)若方程 是函数 y ? f ( x) 的图象在点(2,

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 f ( x) ? ? , g ( x) ? c1nx ? b ,且 x ? 2 是函数 bx, x ? 0 ? f ( x) ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若直线 l f (2))处的切线,且直线 l 与函数 y ? g ( x) )的图象相切于点 P( x0 , y0 ),

x0 ?[e?1, e] ,求实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an?1

2

2 ? 2an ? an an?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 ,其中

n? N* . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 cn ? 1 ?

n an

,记数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,其中 n ? N 试比较
*

Tn 与 9 的大小,并加以证明。


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