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排列组合的基本方法


排列组合的基本方法
1. 分组(堆)问题 分组(
分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分; (④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则: ①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组(堆)问题 例 1、有 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1) 一堆一本,一堆两本,一堆三本 (2) 平均分成三堆 (3) 两堆一本,一堆四本 (4) 甲、乙、丙三人中,一人得一本,一人得两本,一人得三本 (5) 平均分给甲、乙、丙三人 (6) 甲、乙、丙三人中,两人各得一本,另一人得四本

变式 1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程. 共 有多少种不同的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: 1 ⑴先将四项工程分为三“堆”,有 C42C2C11 =6 种分法; A22 ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有 3!=6 种给法. ∴共有 6×6=36 种不同的发包方式 变式 2.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个 不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答) .

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2.插空法: 插空法: 插空法
解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以解决. 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 解:分两步进行: 5 第 1 步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 2 第 2 步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔): 有A6 =30种插入法

∴ 共有120 × 30=3600种排法

几个元素不能相邻时,先排一般元素,再让特殊元素插孔. 变式:学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票 12 张。8 个学生,4 个老师,要求老师 变式 在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法? 分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决 时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 解 先排学生共有 P 8 种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有 7 个空档可插,选其中 8 的 4 个空档,共有 P74 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 P88 P74 种.

3.捆绑法 捆绑法
可以采用“局部到整体”的排法, 即将相邻的元素局部排列当成“一个” 相邻元素的排列, 元素,然后再进行整体排列. 例 3 . 6 人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? (1)分两步进行: 解: 2 第一步,把甲乙排列(捆绑): 有A2=2种捆法 5 第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队: 有A5=120种排法

∴ 共有2 × 120=240种排法

.

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列.

变式:5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 变式 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们 要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题. 因为女生要排在一起,所以可以将 3 个女生看成是一个人,与 5 个男生作全排列, 解 6 有 A6 种排法,其中女生内部也有 A33 种排法,根据乘法原理,共有 A66 A33 种不同的排法

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4.消序法、留空法 消序法、 消序法
几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序.或者,先让 其它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例 4. 5 个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法? 5 解法 1:将 5 个人依次站成一排,有 A5 种站法, 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 3
2 A2

= 5 × 4 × 3 = A5

解法 2:先让甲乙之外的三人从 5 个位置选出 3 个站好,有 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有 1 种站法 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 3 3

A53

A5 ×1 = A5

5.剪截法(隔板法) 剪截法(隔板法) : 剪截法
n 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价 于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪截成 m 段. 例 5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把 16 个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学班, 每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种. 解析: 解析 问题等价于把 16 个相同小球放入 4 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问 题. 解: 问题等价于把 16 个相同小球放入 4 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问 题. 3 将 16 个小球串成一串,截为 4 段有 C15 = 455 种截断法,对应放到 4 个盒子里. 因此,不同的分配方案共有 455 种 . 变式:某学院二年级有 8 个班,组织一个 12 个人的年级学生分会,每班要求至少 1 人,名额分 变式 配方案有多少种? 此题可以转化为:将 12 个相同的白球分成 8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把这 12 解 个白球排成一排,在 11 个空档中放上 7 个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成 8 7 C7 份,显然有 C11种不同的放法,所以名额分配方案有 11 种.

6.错位法: 错位法: 错位法
编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小 球与盒子的编号都不同特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44. ,这种排列称为错位排列. 例 6. 编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为 1 至 6 的 6 个盒子里,每个盒子放一个小球,其中 恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有____种. 2 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C6 = 15 种,其余 4 组球与盒子需错位排列有 9 种放法. 故所求方法有 15×9=135 种.

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变式:同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张 变式 贺卡不同的分配方式有______________

7.剔除法 剔除法
从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 例 7. 我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法 有多少种? 分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情 况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算 中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程. 5 解 43 人中任抽 5 人的方法有 C43 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正 5 5 副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 C43 ? C40种.

8.剩余法 剩余法
在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.

例 8 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个,如果从袋中取出 2 元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以 理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题. 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以 理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题. 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15 元, 解 所以比 2 元多 0.15 元,所以剩下 0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角,所以共有 3 1 1 C23 + C23 ? C10 种取法.

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