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高中数学必修5新教学案:2.2等差数列(第2课时)


必修 5

2.2 等差数列(学案)
(第 2 课时)

【知识要点】 1.等差中项的概念; 2.等差数列的性质; 3.等差数列的判定方法; 4.等差数列的常用设法. 【学习要求】 1.理解等差中项的概念; 2.探索并掌握等差数列的性质,并会运用等差中项和等差数列的性质解题; 3.体会等差数列和一次函数的关系.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 36 页~第 39 页) 1.等差中项 (1)如果 a、A、b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 (2)如果 an ?1 ?

. .

an ? an ? 2 对任意正整数 n 都成立,则数列 ?an ? 是 2

2.等差数列的性质
* (1)若 ?an ? 是等差数列且 m ? n ? p ? q , ( m, n, p, q ? N )则有_____________.

(2) 若 ?an ? 是等差数列且 m ? n ? 2k , ( m, n, k ? N )则有______________.
* * (3) 思考:若 ?an ? 是等差数列且 m ? p ? q , ( m, p , q ? N )则有 am ? a p ? aq 吗?

3.等差数列的设项技巧 (1)若三个数成等差数列,则这三个数一般可设为_________________,若四个数成等 差数列,则这四个数一般可设为_____________________. 【基础练习】 1.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p, q 为常数,那么这个数列一定是等 差数列吗? 2. 已知数列 ?an ? 是等差数列. (1) 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么? (2) 2an ? an?1 ? an?1 ( n >1) 是否成立?据此你能得出什么结论?

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2an ? an?k ? an?k ( n > k >0) 是否成立?据此你又能得出什么结论?
【典型例题】 例 1 等差数列 ?an ? 是递增数列, a2 ? a4 ? 16, a1 ? a5 ? 28, 试求 an .

变式 1:等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36, 求 a5 ? a8 .

例2

已知:

1 1 1 y?z z?x x? y , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. x y z x y z

变式 2:若 m 和 2 n 的等差中项为 4, 2 m 和 n 的等差中项为 5,则 m 与 n 的等差中项 是 .

例 3 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a5 ? a8 ? 9, a3a5a7 ? ?21, 求数列的通项公式.

变式 3:已知成等差数列的四个数,四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40, 求这个等差数列.

2

1.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 10, a1 ? a2 ? a3 ? 3, 则( (A) a1 ? ?2, d ? 3 (B) a1 ? 2, d ? ?3

). (D) a1 ? 3, d ? ?2 .

(C) a1 ? ?3, d ? 2

2. 若 a ? b ,两个等差数列 a, x1 , x2 , b 与 a, y1 , y2 , y3 , b 的公差分别是 d1 , d 2 ,则 ( ). (A)

d1 ? d2

3 2

(B)

2 3

(C)

4 3

(D)

3 4
则m? 3 2 , 若 am ? 8 ,

3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? , 且 a3 ? a6 ? a a ? 0 1 ? 3 1 ( ). (A)8 (B)4 (C)6 (D)12

4. 数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 1,

2 1 1 ? ? ? n ? 2 ? ,则 an = an an ?1 an ?1

.

5.48, a, b, c ,-12 是等差数列中的连续五项,则 a, b, c 的值依次为______________. 6 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 和 a15 是 方 程 x ? 6 x ? 1? 0的 两 根 , 则
2

=_________________. a7 ? a8 ? a9 ? a1 0? a 1 1 7.在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 , a2 ? a5 ? 52 ,求公差 d . 8. 三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求此三个数.

2 1. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? n ? n ? ? an ? n ? 1, 2,?? , ? 是常数.

?

?

(1)当 a2 ? ?1 时,求 ? 及 a3 的值; (2)数列 ?an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理 由.

3

必修 5

2.2 等差数列(教案)
(第 2 课时)

【教学目标】 1.理解等差中项的概念. 2. 探索并掌握等差数列的性质,并会运用等差中项和等差数列的性质解题. 3. 体会等差数列与一次函数的联系. 【重点】理解等差中项的概念,探索并掌握等差数列的性质,会用等差中项和性质解决一些 简单的问题. 【难点】正确运用等差数列的性质解题.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 36 页~第 39 页) 1.等差中项 (1)如果 a、A、b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . (2)如果 an ?1 ?

an ? an ? 2 对任意正整数 n 都成立,则数列 ?an ? 是 等差数列 . 2
? N * )则有 am ? an ? a p ? aq .
*

2.等差数列的性质

,, , (1)若 ?an ? 是等差数列且 m ? n ? p ? q , ( mnpq

(2) 若 ?an ? 是等差数列且 m ? n ? 2k , ( m, n, k ? N )则有 am ? an ? 2ak .
* (3) 思考:若 ?an ? 是等差数列且 m ? p ? q , ( m, p , q ? N )则有 am ? a p ? aq 吗?

分 析 : 设 等 差 数 列 ?an ? 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 则 am ? a 1? d, 1 ?? m ?

ap ? aq ? a1 ? a1 ? ? p ? q ?1? d ? d ? am ? a1 ? d .所以当首项和公差相等时成立,否则不
成立. 3.等差数列的设项技巧 (1)若三个数成等差数列,则这三个数一般可设为 a ? d , a, a ? d ,若四个数成等差数 列,则这四个数一般可设为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d . 【基础练习】 1.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p, q 为常数,那么这个数列一定是等 差数列吗? 解: a1 ? p ? q , an?1 ? an ? p ? n ? 1? ? q ? ? pn ? q ? ? p .所以数列一定是等差数列. 2. 已知数列 ?an ? 是等差数列.
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(1) 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么? (2) 2an ? an?1 ? an?1 ( n >1) 是否成立?据此你能得出什么结论?

2an ? an?k ? an?k ( n > k >0) 是否成立?据此你又能得出什么结论?
解: (1)因为 a5 ? a3 ? a7 ? a5 ,所以 2a5 ? a3 ? a7 .同理有 2a5 ? a1 ? a9 也成立. (2)2an ? an?1 ? an?1 ( n >1),此结论说明,在等差数列中,从第二项起,每一项(有 限数列末项除外)都是它前后两项的等差中项;同样有 2an ? an?k ? an?k ( n > k >0)成立, 结论说明在等差数列中, 任取数列中的某项都是与它前后等距离两项的等差中项 (保证前后 两项存在). 【典型例题】 例 1 等差数列 ?an ? 是递增数列, a2 ? a4 ? 16, a1 ? a5 ? 28, 试求 an . 【审题要津】以性质 m ? n ? p ? q 知 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,运用方程思想求得 a1 和 a5 , 则公差可求;也可都用 a1 和 d 表示,求解 a1 和 d . 解:? a1 ? a5 ? a2 ? a4 ? 16 ,又 a1 ? a5 ? 28 ,且数列为递增数列,? a1 ? 2, a5 ? 14 . 由 a5 ? 14 ? a1 ? 4d ? 2 ? 4d ,? d ? 3 .?an ? 2 ? ? n ?1? ? 3 ? 3n ?1 . 【方法总结】解题过程中运用性质进行了过度,而能用性质求解的题目只是一部分,使 用基本量 a1 与 d 列方程的方法适用于任何与等差数列通项有关的题目,是通法. 变式 1:变式 1:等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36, 求 a5 ? a8 . 解:? a2 ? a11 ? a3 ? a10 ? a5 ? a8 . 又 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36, 2 ? a5 ? a8 ? ? 36,?a5 ? a8 ? 18 . 例2 已知:

1 1 1 y?z z?x x? y , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. x y z x y z

【审题要津】由于所求证的是三个数成等差数列,可用等差中项. 证明:

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,? ? ? x y z y x z

?

2 z x z x y?z x? y y z x y ?1 1? z x ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? = y? ? ? ? 2 ? ? . y x z x z x z x x z z ?x z? x z

5

而 2?

z?x z x y?z x? y z?x ?1 1? . ? ? z ? x ?? ? ? 2? ? ? ? ? 2 ? ? .? y x z x z y ?x z?

?

y?z z?x x? y 成等差数列. , , x y z

【方法总结】对于证三数 a, b, c 成等差数列,常用等差中项法,即证 2b ? a ? c 即可. 变式 2 项是 3 . 解 : ?m 和 2 n 的 等 差 中 项 为 4 , ? m ? 2n ? 8 . 又 2 m 和 n 的 等 差 中 项 为 5 , 若 m 和 2 n 的等差中项为 4, 2 m 和 n 的等差中项为 5,则 m 与 n 的等差中

? 2m ? n ? 10 ,两式相加,得 m ? n ? 6 .?m 与 n 的等差中项为

m?n 6 ? ? 3. 2 2

例 3 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a5 ? a8 ? 9, a3a5a7 ? ?21, 求数列的通项公式. 【 审 题 要 津 】 要 求 通 项 公 式 , 需 要 求 出 首 项 a1 及 公 差 d , 由 直 接求解很困难,这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数 a2 ? a5 ? a8 9 ? , a3 a5 a? ? 1 7 2 列的性质,注意到 a2 ? a8 ? 2a5 ? a3 ? a7 问题就好解了. 解:? a2 ? a5 ? a8 ? 9, a3a5a7 ? ?21, 又? a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? 2a5 ,

? a3 ? a7 ? 2a5 ? 6 , a3 ?a7 ? ?7 ,解得: a3 ? ?1, a7 ? 7 或 a3 ? 7, a7 ? ?1 , ? a3 ? ?1, d ? 2 或 a3 ? 7, d ? ?2 .
由 an ? a3 ? ? n ? 3? d ,得 an ? 2n ? 7 或 an ? ?2n ? 13 . 【方法总结】等差数列的性质应牢记,在解题中应用非常广泛. 变式 3 已知成等差数列的四个数,四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40, 求这个等差数列. 解:设成等差数列的这四个数依次为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d .

由题设知 ?

? ?? a ? 3d ? ? ? a ? d ? ? ? a ? d ? ? ? a ? 3d ? ? 26, ? ?? a ? d ?? a ? d ? ? 40.

13 13 ? ? a ? , a ? , ? ? ? ? 2 2 解之得 ? 或? ? 这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 3 3 ? d ? , ?d ? ? . ? ? ? 2 ? 2

6

1.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 10, a1 ? a2 ? a3 ? 3, 则( A ). (A) a1 ? ?2, d ? 3 (B) a1 ? 2, d ? ?3 (C) a1 ? ?3, d ? 2 (D) a1 ? 3, d ? ?2 .

2. 若 a ? b ,两个等差数列 a, x1 , x2 , b 与 a, y1 , y2 , y3 , b 的公差分别是 d1 , d 2 ,则 ( C ). (A)

d1 ? d2

3 2

(B)

2 3

(C)

4 3

(D)

3 4
则m? 3 2 , 若 am ? 8 ,

3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? , 且 a3 ? a6 ? a a ? 0 1 ? 3 1 ( A ). (A)8 (B)4 (C)6 (D)12

4. 数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 1,

2 2 1 1 ? ? ? n ? 2 ? ,则 an = . n an an ?1 an ?1

5.48, a, b, c ,-12 是等差数列中的连续五项,则 a, b, c 的值依次为 33,18,3 . 6 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 和 a15 是 方 程 x ? 6 x ? 1? 0的 两 根 , 则
2

= 15 a7 ? a8 ? a9 ? a1 0? a 1 1. 7.在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 , a2 ? a5 ? 52 ,求公差 d . 解:由 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 ,知 a2 ? a5 ? 17 ,又 a2 ? a5 ? 52 .

? a2 ? 4, a5 ? 13 或 a2 ? 13, a5 ? 4 .所以 d ? 3 或 d ? ?3 .
8. 三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求此三个数. 解:设三个数分别为 a ? d , a, a ? d ,由题意有 ? 解得: a ? 3, d ? ?1 .所以这三个数为 4,3,2.

? ?? a ? d ? ? a ? ? a ? d ? ? 9, ? ?a ? a ? d ? ? 6 ? a ? d ? .

2 1. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 n ? n ? ? an ? n ? 1, 2,?? , ? 是常数.

?

?

(1)当 a2 ? ?1 时,求 ? 及 a3 的值;
7

(2)数列 ?an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理 由.
2 解: (1)由于 an ?1 ? n ? n ? ? an ? n ? 1, 2,?? , 且 a1 ? 1 ,所以当 a2 ? ?1 时,得

?

?

?1 ? 2 ? ? ,故 ? ? 3 .从而 a3 ? ? 22 ? 2 ? 3? ? ? ?1? ? ?3 .
(2)数列 ?an ? 不可能为等差数列.证明如下:
2 由 a1 ? 1 , an ?1 ? n ? n ? ? an 得

?

?

a2 ? 2 ? ?, a3 ? ? 6 ? ? ?? 2 ? ? ? , a4 ? ?12 ? ? ??6 ? ? ?? 2 ? ? ? .
若存在 ? ,使 ?an ? 为等差数列,则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即 ? 5 ? ? ?? 2 ? ? ? ? 1 ? ? , 解得 ? =3. 于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2, a4 ? a3 ? ?11? ? ?? 6 ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?24 . 这与 ?an ? 为等差数列矛盾.所以,对任意 ? , ?an ? 都不可能是等差数列.

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