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上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(7)


上海市 2013—2014 学年度高三年级学业质量调研数学试卷
2014.2.23

考生注意: 本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log2 ( x ? 2)

2.若直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m ? 3.复数 z 满足

z i 1 i

= 1 ? i ,则 z ? 1 ? 3i =

4.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积 为 5.在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

?
4

, tan A ? 2 ,则 a ?

2 2 6.已知圆 O : x ? y ? 5 ,直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 1(0 ? ? ?

?
2

) ,设圆 O 上到直线 l 的距离等于

1 的点的个数为 k ,则 k ?
2 an ? n2 ? 7.设等差数列 ?a n ?的公差 d ? 2 ,前 n 项的和为 Sn ,则 lim n?? Sn

y2 8.已知 F 是抛物线 x ? 的焦点, A, B 是抛物线上两点,线段 AB 的中点为 M (2,2) ,则 ?ABF 的 4
面积为 9.某 工 厂 生 产 10 个 产 品 ,其 中 有 2 个 次 品 ,从 中 任 取 3 个 产 品 进 行 检 测 ,则 3 个 产 品 中 至多有 1 个次品的概率为 10.如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第 层 ) , ..1 . . 每边有两个点,第 3 层每边有三个点,依次类推.如果一个六边形点 169 个点,那么它一共有___________层 11.函数 f ( x ) ? A sin(?x ? 个公差为 单位
·1 ·

第2层 阵共有

?
6

) ?? ? 0? 的图象与 x 轴的交点的横坐标

构成一 个

? 的等差数列,要得到函数 g ( x) ? A sin ?x 的图象,只要 将 f ( x) 的图象向右平移 .. 2

12.设 k ? 1, f ( x) ? k ( x ? 2)(x ? R) ,在平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交于点 A, 它的反函数 y ? f
?1

( x) 的图象与 y 轴交于点 B,并且两函数图象相交于点 P,已知四边形 OAPB 面
f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2

积为 6,则 k 的值为 13.设函数 f ? x ? 的定义域为 D,如果对于任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使
? C (C

为常数)成立,则称函数 f ? x ? 在 D 上的均值为 C.下列五个函数:① y ? 4 sin x ② y ? x3 ③ y ? lg x ④y ? 2x ⑤ y ? 2 x ? 1 ,则满足在其定义域上均值为 2 的所有函数的序号

14.若等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d ,前 n 项的和为 Sn ,则 数列 {

Sn } 为等差数列,且通项为 n

Sn d ? a1 ? (n ? 1) ? .类似地,若各项均为正数的等比数列 {bn } 的首项为 b1 ,公比为 q ,前 n 项 的 n 2 n 积为 Tn ,则数列 { Tn } 为等比数列,通项为_____________
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,否则 一律得零分. 15.下列有关命题的说法正确的是
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”.

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“存在 x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对任意 x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 16.已知函数 f(x)=sin(2 ? x ? ? )的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C

BC 的值为 的直线与该图象交于 D,E 两点,则( BD ? BE )·

??? ? ??? ?

??? ?

A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

·2 ·

17. 如 图 , 偶 函 数 f ( x) 的 图 象 形 如 字 母 M , 奇 函 数 g ( x) 的 图 象 形 如 字 母 N , 若 方 程 :

y 0 的实 y数 ?根 g (的 x)个 数 分 别 为 a 、 b 、 c 、 d , 则 f ( f ( x)) ? 0, f ( g ( x)) ? 0, g ( g ( x)) ? 0, g ( f ( x)) ?
2

a?b?c?d =
y
1 -2 -1

-1

y ? f ( x)
1 2 x

O
-2

1

x

O
-1

A.27

B.30

C.33

D.36

18.已知 ? x ? 表示大于 x 的最小整数,例如 ?3? ? 4, ??1.3? ? ?1 .下列命题: ①函数 f ( x) ? ? x ? ? x 的值域是 ? 0,1? ;

? ? ③若 ?a ? 是等比数列,则 ??a ?? 也是等比数列;
②若 ?an ? 是等差数列,则 ?an ? 也是等差数列;
n

n

④若 x ? ?1, 2014? ,则方程 ? x ? ? x ? 其中正确的是 A.②④ B.③④

1 有 2013 个根. 2

C.①③

D.①④

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . (1)将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
0

(2)在 ?ABC 中,满足: AB ? AC , | AB |?| AC | ,求向量 AB ? 2 AC 与向量 2 AB ? AC 的夹角的余 弦值

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 . 已知 A、 B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C ) 上
M A

运 动 , 边 分 别

2 ?M C N? ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的 3
是 a 、b 、c .
·3 ·
θ N B C

(1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . 已知函数 f ( x) ?

|x| x?2

(1)判断函数 f (x)在区间(0, +∞)上的单调性,并加以证明; (2)如果关于 x 的方程 f (x) = kx2 有四个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为 曲线 W. (1)求 W 的方程; (2)经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k 的取值范围 ? ??? ? ??? ? ???? (3)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(2)的条件下,是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共 线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 7 分 设各项均为非负数的数列 {an } 的为前 n 项和 Sn ? ? nan ( a1 ? a 2 , ? ? R ). (1)求实数 ? 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(用 n, a2 表示). (3)证明:当 m ? l ? 2 p ( m, l, p ? N* )时, Sm ? Sl ≤S p 2

·4 ·

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ?2,3? ? (3,??) 2. 1 3. 5 4. 14 ? 5. 2 10 6. 4 7. 3
n ?1 2

8. 2

9.

14 15

10. 8

11.

? 12

12.3

13. (2)(3)(5)

14. Tn ? a1 q

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,否则 一律得零分. 15.D 16.C 17. B 18D. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . (1)设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则

120 2 2? ? l ? 3? , l ? 3 ; ? 3 ? 2? r , r ? 1 ; 360 3

S表面积 ? S侧面 ? S底面 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? ,
1 1 2 2 V ? Sh ? ? ? ?12 ? 2 2 ? ? 3 3 3
(2)设向量 AB ? 2 AC 与向量 2 AB ? AC 的夹角为 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2a 2 ? 2a 2 4 ( AB ? 2 AC ) ? (2 AB ? AC ) ? ??? ? ??? ? ??? ? ,令 | AB |?| AC |? a , cos ? ? ? cos ? ? ??? 5a ? 5a 5 | AB ? 2 AC | ? | 2 AB ? AC |
20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 . (1)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又? ?MCN ?

2 1 ? , cos C ? ? , 3 2
2 2

a 2 ? b2 ? c2 1 ?? , ? 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?

1 ?? , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又? c ? 4 ,? c ? 7 .
·5 ·

(2)在 ?ABC 中,

AC BC AB AC ? ? , ? ? sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB sin ?

BC 3 ? ? 2, ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?

?? ? AC ? 2 sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 2 3? ? ?2 ?
又? ?? ? 0,

? ?

? ? 2? ?? ? ,? 3 ? ? ? 3 ? 3 , 3?
?
2
即? ?

?当? ?

?
3

?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . 6

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . (1)? f ( x) ?

|x| x 2 ,?当x ? 0时, f ( x) ? ? 1? x?2 x?2 x?2 2 ?y ? 在?0,??? 上是减函数 x?2

? f ( x)在(0,??) 上是增函数
(2)原方程即: ①

| x| ? kx 2 x?2

(?)

x ? 0 恒为方程 (?) 的一个解.
?x ? kx 2 , kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 x?2

②当 x ? 0且x ? ?2 时方程 (?) 有解,则 当k 当k

? 0 时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 无解; ? 0 时, ? ? 4k 2 ? 4k ? 0,即k ? 0或k ? 1时 ,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 有解.
1 . k

2 设方程 kx ? 2kx ? 1 ? 0 的两个根分别是 x1 , x 2 , 则 x1 ? x 2 ? ?2, x1 ? x 2 ?

当k 当k

? 1 时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 有两个不等的负根; ? 1 时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 有两个相等的负根;
·6 ·

当k

? 0 时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 有一个负根
x ? kx 2 , kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 x?2

③当 x ? 0 时,方程 (?) 有解,则 当k 当k

? 0 时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 无解;

? 0 时, ? ? 4k 2 ? 4k ? 0,即k ? ?1或k ? 0时 ,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 有解.

2 设方程 kx ? 2kx ? 1 ? 0 的两个根分别是 x3 , x 4

? x3 ? x4 ? ?2 , x3 x4 ? ?

1 k

? 当 k ? 0 时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 有一个正根,
当k

? ?1时,方程 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 没有正根
2

综上可得,当 k ? (1,??) 时,方程 f ( x) ? kx 有四个不同的实数解 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 6 分 (1) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知,动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c=1.
2 ∴ b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ∴W: x ? y 2 ? 1 2

(y ? 0 ) .
2

(2) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2 整理,得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . 2 ①

因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
1 2或 2. ? ? 8k 2 ? 4( ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? k? 2 2 2

(? ?, ? ∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ?

2 2 )?( , ??) 2 2

??? ? ??? ? (3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2),

由① 得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k


·7 ·

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2



???? ? 因为 M ( 2, 0) , N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .
? ??? ? ??? ? ???? 所以 OP ? OQ 与 MN 共线等价于 x1 ? x2 =- 2( y1 ? y2 ) .

将② ③ 代入上式,解得 k ? 2 . 2 ? ??? ? ??? ? ???? 所以不存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 7 分 (1)当 n ? 1 时, a1 ? ? a1 ,所以 ? ? 1或 a1 ? 0 , 若 ? ? 1,则 Sn ? nan ,取 n ? 2 得 a1 ? a2 ? 2a2 ,即 a1 ? a2 ,这与 a1 ? a 2 矛盾; 所以 a1 ? 0 ,取 n ? 2 得 a1 ? a2 ? 2? a2 ,又 a1 ? a 2 ,故 a2 ? 0 ,所以 ? ? 1 , 2 (2)记 S n ? 1 nan ① , 2 则 Sn ?1 ? 1 (n ? 1)an ?1 2

? n≥2 ? ②, ? n≥2 ? ,又数列 {an } 各项均为非负数,且 a1 ? 0 ,


①? ② 得 an ? 1 nan ? 1 (n ? 1)an ?1 2 2 以

an ? n ? 1 ? n≥3? , an ?1 n ? 2


a3 a4 a5 a ??? n ? 2 ? 3 ? 4 ???? n ? 1 ,即 an ? a2 ? n ? 1? ? n≥3? , a2 a3 a4 an?1 1 2 2 n?2

当 n ? 1或 n ? 2 时, an ? a2 ? n ? 1? 也适合, 所以 an ? a2 ? n ? 1? ; (3)因为 an ? a2 ? n ? 1? ,所以 Sn ? 又 m ? l ? 2 p ( m, l, p ? N* ) 则 S p 2 ? Sm Sn ?
n(n ? 1) a2 2

? a2 ? 0 ? ,

a22 4
2

?? p( p ? 1)? ? m(m ? 1)l(l ?1)?
2

?

a22 4

?? p( p ? 1)? ? m(m ? 1)l(l ? 1)?
·8 ·

a2 ? 2 4
≥ = =

? ?? m ? l ?? 2 ? ??

?

?

2

2 ? ? ? m ? l ? ? ml ( m ? 1)( l ? 1) ? 2 ? ? ? ?

a2 2 ? ml ? ml 4 ? ?

?

?
2

2

? ml (m ? 1)(l ? 1) ? (当且仅当 m ? l 时等号成立) ? ?

a2 2 ? ml ? ml 4 ? ? a2 2 ml ? ? 4 ?

?

?

? ml (m ? 1)(l ? 1) ? ? ?
2

?

ml ? 1 ? (m ? 1)(l ? 1) ? ? ?

?

a22 ? ml ? ?? m ? l ? ? 2 ml ? 4 ≥0 (当且仅当 m ? l 时等号成立) =

所以 Sm ? Sl ≤S p 2 .

·9 ·


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