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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第3章 第6节 正弦定理和余弦定理]


第六节

正弦定理和余弦定理

考点一

利用正、余弦定理解三角形

π [例 1] (1)(2013· 天津高考)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC 4 =( ) 10 10 3 10 5 A. B. C. D. 10 5 10 5 (2)(2013· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a, 3sin A=5sin B,则角 C=________. 1 (3)(2013· 浙江高考)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点,若 sin∠BAM= ,则 3 sin∠BAC=________. 2 [自主解答] (1)由余弦定理可得 AC2=9+2-2×3× 2× =5,所以 AC= 5.再由正 2 2 3× 2 3 10 AC BC BC· sin B 弦定理得 = ,所以 sin A= = = . sin B sin A AC 10 5 (2)由 3sin A=5sin B,可得 3a=5b,又 b+c=2a,所以可令 a=5t(t>0),则 b=3t,c= a2+b2-c2 ?5t?2+?3t?2-?7t?2 1 2π 7t,可得 cos C= = =- ,又 C∈(0,π),故 C= . 2ab 2 3 2×5t×3t BM AB AB (3)在△ABM 中,由正弦定理得 = = ,设角 A,B,C 所对 sin∠BAM sin∠BMA cos∠MAC
2 2 3 c a +4b a2 2 a 的边分别为 a,b,c,所以 a= ,整理得(3a2-2c2)2=0, 2 = ,故 sin∠BAC= = 2 2b c 3 c 6 . 3 2π 6 [答案] (1)C (2) (3) 3 3 【方法规律】 正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通 过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.

1 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b, 2 且 a>b,则∠B=( ) π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 1 解析:选 A 由正弦定理得 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B,∴sin Bsin(A+C) 2 1 = sin B. 2 1 1 又∵sin B≠0,∴sin(A+C)= ,即 sin B= , 2 2

π 5π ∴B= 或 .又∵a>b,∴A>B, 6 6 π ∴B= . 6 2.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7, c=6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 1 2 解析:选 D 由 23cos A+cos 2A=0,得 25cos2A=1,因为 A 为锐角,所以 cos A= . 5 12 2 2 2 2 2 又由 a =b +c -2bccos A,得 49=b +36- b,整理得 5b -12b-65=0, 5 13 解得 b=- (舍)或 b=5.即 b=5. 5 考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 [例 2] 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. [自主解答] (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,又 0<c<π,所以 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C= . 2 π π 因为 0<B< ,0<C< , 2 2 π 故 B=C= , 6 所以△ABC 是等腰钝角三角形. 【互动探究】 若将本例(2)中的条件改为“(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)”,试判断△ABC 的 形状. 解:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 2 2 即 a cos Asin B=b sin Acos B. 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sin A· sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 π A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形 【方法规律】 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进 行判断; (2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系

进行判断.

(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B =asin A,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析:选 A 依据题设条件的特点,边化角选用正弦定理,有 sin Bcos C+cos Bsin C= sin2A,则 sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补角的意义,得 sin(B+C)=sin A=sin2A, π 即 sin A=1,所以 A= .即△ABC 为直角三角形. 2 高频考点 考点三 与三角形面积有关的问题

1.正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容,既有选择、填空题, 也有解答题,难度适中,属中档题. 2.高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度: (1)求三角形的面积; (2)已知三角形的面积解三角形. [例 3] (1)(2013· 新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 π π b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积为( ) 6 4 A.2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1 (2)(2013· 湖北高考)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c.已知 cos 2A-3cos(B +C)=1. ①求角 A 的大小; ②若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. b c bsin C [自主解答] (1)由正弦定理知 = ,结合条件得 c= =2 2.又 sin A=sin(π sin B sin C sin B 6+ 2 1 -B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= ,所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 4 2 3+1. (2)①由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2 A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)= 1 0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 1 3 3 ②由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3,得 bc=20.又 b=5,所以 c=4. 2 2 2 4 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A·sin A= 2 sin2A= × = . a a a 21 4 7 [答案] (1)B 与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 1 1 1 (1)求三角形的面积.对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一 2 2 2 个角就使用含哪个角的公式. (2)已知三角形的面积解三角形.与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理 进行边和角的互化.

1.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c= 0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin? ?A-6?=2. π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 2 2 2 而 a =b +c -2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 2.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 所以 sin Bsin C=cos Bsin C, 又 C∈(0,π),所以 sin C≠0,故 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 4 4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ , 2- 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1. ——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1 组关系——三角形中的边角关系 在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B?cos A<cos B. 2 种途径——判断三角形形状的途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 2 个注意点——解三角形应注意的问题 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求 出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解或无解,所以要进行分类讨论. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏 解.


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