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【首发】山西省康杰中学2011-2012学年高二下学期期中试题数学理

康杰中学 2011—2012 学年第二学期期中考试

高二数学(理)试题

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. i 是虚数单位,复数 2 ? i =( ) 1? 2i

A. i

B. ?i

C. ?1? i

2012.4 D.1? 2i

2.分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立( )

A.必要条件

B. 充分条件

C.充要条件

D.必要条件或充分条件

3.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ?? 平

面? ,直线 a ? 平面? ,直线 b ∥平面? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的, ?
这是因为( )

A.大前提错误 C.推理形式错误

B.小前提错误 D.非以上错误

4.下列推理是归纳推理的是( )

A. A, B 为定点,动点 P 满足 PA ? PB ? 2a ? AB (a ? 0) ,则动点 P 的轨

迹是以 A, B 为焦点的双曲线;

? ? B.由 a1 ? 2, an ? 3n ?1求出 S1, S2 , S3, 猜想出数列 an 的前n 项和 Sn 的表达式;

C.由圆 x2

?

y2

?

r 2 的面积 S

? ? r2 ,猜想出椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1的面积 S

? ?ab ;

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇.

5.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( )

A.假设三内角都不大于 60 度;

B.假设三内角都大于 60 度;

C. 假设三内角至多有一个大于 60 度; D.假设三内角至多有两个大于 60 度。

6.用数学归纳法证明

12 ? 22 ? ? ? (n ?1)2 ? n2 ? (n ?1)2 ? ? ? 22 ? 12 ? n(2n2 ? 1) 3

时,由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( )

A. (k ? 1)2 ? 2k 2

B. (k ? 1)2 ? k 2

C. (k ? 1)2

D. 1 (k ? 1)[2(k ? 1)2 ? 1] 3

7.函数 y ? x3 ? 3x2 ? 9x??2 ? x ? 2? 有( ) ks5u

A.极大值 5,极小值-27;

B.极大值 5,极小值-11;

C.极大值 5,无极小值;

D.极小值-27,无极大值

8.已知:

x ??0, ???

,观察下列式子:

x?

1 x

?

2, x ?

4 x2

?

x 2

?

x 2

?

4 x2

?3

? ? x ?

a xn

? n?1

n? N?

,则 a 的值为(



类比有

A. nn

B. n

C. n2

D. n ?1

9.设 f (x) 、 g(x) 是定义域为 R 的恒大于零的可导函数,且 f / (x)g(x) ? f (x)g / (x) ? 0 ,

则当 a ? x ? b 时有( )

A. f (x)g(x) ? f (b)g(b)

B. f (x)g(a) ? f (a)g(x)

C. f (x)g(b) ? f (b)g(x)

D. f (x)g(x) ? f (a)g(a)

10.已知 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d, g(x) ? ax2 ? 2bx ? 3c(a ? 0), 若 y ? g(x) 的图像如下

图所示,则下列图像可能为 y ? f (x) 的图像是( )

y ? g(x)

11.给出以下命题:

b
? (1)若 f (x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; a

2?
? (2) sin x dx ? 4 ; 0

(3) 0 比 ?i 大

(4)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数

(5) x ? yi ? 1? i 的充要条件为 x ? y ? 1

(6)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应,

其中正确的命题个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

12.



f (x) ?

2 x

x2 ?1

,

g(

x)

?

ax

?

5

?

2a(a

?

0)

,若对于任意

x1

?

[0,1],总存在

? ? x0 ? [0,1] ,使得 g x0 ? f (x1) 成立,则 a 的取值范围是( )ks5u

A. ?4, ???

B.

? ??

0,

5 2

? ??

C.

? ??

5 2

,

4???

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

D.

? ??

5 2

,

??

? ??

13.不等式 x ?1 ? x ? 2 ? a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围为_________.

14.设 i 为虚数单位,则1? i ? i2 ? i3 ? i4 ? ? i20 =_________.

15.对于三次函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ),定义:设 f ??(x) 是函数 y=f(x)的

导数 y= f ?(x) 的导数,若方程 f ??(x) =0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)
的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;

且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,函数 f (x) ? x3 ? 3 x2 ? 3x ? 1 ,则

2

4

它的对称中心为_________.

16.已知 f (x) ? lg x ,函数 f (x) 定义域中任意的 x1, x2 (x1 ? x2 ) ,有如下结论:

① 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ; ② 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) ;

③ f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0; x1 ? x2

④ f ( x1 ? x2 ) ? f (x1 ) ? f (x2 ) .

2

2

上述结论中正确结论的序号是_________.

三、解答题(请将答案写在答题卷的相应方框内,否则不给分。共 70 分)

17.(10 分)求由 y2 ? 4x 与直线 y ? 2x ? 4 所围成图形的面积.

18.(12 分)计算题

(1)求 y ? 2x sin(2x ? 5) 的导数。

? (2)计算

2
(
1

1 x

?1? x

1 x2

)dx

的值。

(3)已知| z |2 ?(z ? z )i ? 3 ? i ,其中 z 是 z 的共轭复数,求复数 z 。 2?i
19.(12 分) 已知 a ? b ? c, 求证: 1 ? 1 ? 4 . a?b b?c a?c
20.(12 分)

当n?

N *时,Sn

?1?

1 2

?

1 3

?

1 4

?

? 1 ?1 2n ?1 2n

Tn

?

1? n ?1

n

1 ?

2

?

n

1 ?

3

?

?1 2n

(1)求 S1, S2 ,T1,T2
(2)猜想 Sn 与Tn 的关系,并用数学归纳法证明。
21.(12 分)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? (a2 ?1)x ? b(a, b?R) 3
(1)若 y ? f (x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f (x) 在区间[?2, 4] 上 的最大值;
(2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围.
22.(12 分)已知函数 f (x) ? x2 ? (a ? 2)x ? a ln x(a ? R) 。

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;ks5u

(Ⅱ)若 a ? 4, y ? f (x) 的图像与直线 y ? m有三个交点,求 m 的取值范围。
高二数学(理)参考答案

1-5 ABABB 6-10 BCACC

11-12 BC

13 a>3

14.

1

15 ?? 1 ,1??

16

?2 ?

17、(10

分)解:由

?y2 ?

?

4x

得交点坐标为 (1, ?2), (4, 4) ,

?y ? 2x ? 4

方法一:阴影部分的面积

y

1

4

S ? 2?0 2 xdx ? ?1 [2 x ? (2x ? 4)]dx

?

2( 4 3

3
x2

)

|10

?( 4 3

3
x2

?

x2

?

4x)

|14

?9

? 方法二:阴影部分的面积 S ? 4 ( y ? 4 ? y2 )dy

?2 2

4

0

?

(1 4

y2

?

2y

?1 12

y3)

|4?2

=

9

方法三:直线与 x 轴交点为(2,0)所以阴影部分的面积

4

4

1

2

S ? ?0 2 xdx ? ?2 (2x ? 4)dx ? ?0 (?2 x)dx ? ?1 (2x ? 4)dx

?

(4 3

3
x 2 ) |04

?( x 2

? 4x) |42

?( 4 3

3
x 2 ) |10

?( x 2

? 4x) |12

=9

18.(12 分)(1) y, ? 2sin(2x ? 5) ? 4x cos(2x ? 5)

(1)(3)
如图
B ( 4,4 )
C(2,0 ) x
A(1, ?2)

解:原式 ? (2
(2)

x

?

ln

x

?

1 x

)

|

2 1

? 2 2 ? 3 ? ln 2

2

(3) ? 1 ? 3 i 22

19.(12 分) 证明:

a?c a?c a?b?b?c a?b?b?c

??

?

ks5u

a?b b?c a?b

b? c

? 2 ?b ? c ? a? b ?2 ?2 b? c ? ?a b ,?4 (a ? b ? c)

a ? b b? c

a? b ?b c

? a ? c? a? c? 4 ?, 1 ? 1 ? 4 (. 本题方法很多,酌情考虑)

a ? b b? c

?a b ? b c ? a c

20、(本小题满分 12 分)

解:(1)

S1

?1?

1 2

?

1 2



S2

?1?

1 2

?

1 3

?

1 4

?

7 12

T1

?

1 1?1

?

1 2

, T2

?

1? 2 ?1

1 2?

2

?

7 12

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N *) 即:

1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

234

2n ?1 2n n ?1 n ? 2 n ? 3

下面用数学归纳法证明

① n=1 时,已证 S1=T1

② 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),即:

1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

234

2k ?1 2k k ?1 k ? 2 k ? 3

Sk ?1

?

Sk

?

1? 2k ?1

1 2(k ?1)

? Tk

?

1? 2k ?1

1 2(k ?1)

? 1 . (n∈N*) 2n
? 1 .则 2k

? 1 ? 1 ? 1 ? ?1? 1 ? 1

k ?1 k ? 2 k ?3

2k 2k ?1 2(k ?1)

? 1 ? 1? k ? 2 k? 3

?

1 2k?

? 1

? ? ?

1? ?k 1

1?

2?k(

? ?

1

)

? 1 ? 1 ? ?1? 1 ? 1

(k ?1) ?1 (k ?1) ? 2

2k 2k ?1 2(k ?1)

? Tk ?1
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立.

21. (本小题满分 12 分)解:(1)∵ (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上.∴ f (1) ? 2 ∵ (1, 2) 在 y ? f (x) 上,∴ 2 ? 1 ? a ? a2 ?1? b 3 又 f ?(1) ? ?1,∴1? 2a ? a2 ?1 ? ?1 ∴ a2 ? 2a ?1 ? 0 ,解得 a ?1,b ? 8 3

∴ f (x) ? 1 x2 ? x2 ? 8 , f ?(x) ? x2 ? 2x

3

3

由 f ?(x) ? 0 可知 x ? 0 和 x ? 2 是 f (x) 的极值点.

∵ f (0) ? 8 , f (2) ? 4 , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 (此处可列表)

3

3

∴ f (x) 在区间[?2, 4] 上的最大值为 8.

(2)因为函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,所以函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点. 而 f ?(x) ? 0 的两根为 a ?1 , a ?1,区间长为 2 , ∴在区间 (?1,1) 上不可能有 2 个零点.

所以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,即 a2 (a ? 2)(a ? 2) ? 0 .

∵ a2 ? 0 ,∴ (a ? 2)(a ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? 2 .ks5u 又∵ a ? 0 ,∴ a ?(?2,0) (0, 2) . 22、(12 分)解:(Ⅰ)函数 f(x)=x2-(a+2)x+alnx 的定义域为(0,+∞),

a

a 2x2-(a+2)x+a 2(x-2)(x-1)

f'(x)=2x-(a+2)+x=

x

=

x

① 当 a≤0 时,f'(x)≤0 在(0,1]上恒成立,f'(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,

∴a≤0 时,f(x)的增区间为[1,+∞),f(x)的减区间为(0,1]。

② 当 0<a<2 时,f'(x)≥0 在(0,a2]和[1,+∞)上恒成立,f'(x)≤0 在[a2,1]上恒成立.

∴0<a<2 时,f(x)的增区间为(0,a2]和[1,+∞),f(x)的减区间为[a2,1].

③当 a=2 时,f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,

∴a=2 时,f(x)的增区间为(0,+∞).ks5u

a

a

④当 a>2 时,f'(x)≥0 在(0,1]和[2,+∞)上恒成立,f'(x)≤0 在[1,2]上恒成立,

a

a

∴a>2 时,f(x)的增区间为(0,1]和[2,+∞),f(x)的减区间为[1,2].

综上所述:略。

(Ⅱ)若 a=4,由(Ⅰ)可得 f(x)在(0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调 递增.
f(x)极小值=f(2)=4ln2-8,f(x)极大值=f(1)=-5, ∴y=f(x)的图像与直线 y=m 有三个交点时 m 的取值范围是(4ln2-8,-5)。