当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 3-1-2不等式性质的应用习题课课件 新人教A版必修5_图文

第三章
不等式

第三章
3.1 不等关系与不等式

第三章
第 2 课时 不等式性质的应用习题课

课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新

课程目标解读

理解并掌握不等式的基本性质,能应用不等式的基本性质 解不等式和证明不等式.

课前自主预习

1.如果一个不等式对某个范围内的任意值都成立,则当 取某个特殊值时,也应成立,解答不等式的选择题时,常依据 此原理检验求解. (1)已知 a<b<0,则下列不等式成立的是( A. a< b C. -a< -b 3 3 3 3 B. a2< b2 D. -a< -b )

[答案] A

[解析]

取 a=-8,b=-1,检验知,B、C、D 错.

1 (2)已知|a|<1,则 与 1-a 的大小关系为( a+1 1 A. <1-a a+1 1 C. ≥1-a a+1 1 B. >1-a a+1 1 D. ≤1-a a+1

)

[答案] C

[解析] A、B;

1 解法一:检验法:令 a=0,则 =1-a,排除 a+1

1 1 令 a=2,则 >1-a,排除 D,故选 C. a+1 解法二:∵|a|<1,∴1+a>0, 1 a2 ∴ -(1-a)= ≥0, 1+a 1+a 1 ∴ ≥1-a. a+1

[点评]

1 如果 a∈R, 与 1-a 的大小关系如何,请尝 1+a

试探究,体会分类讨论思想.

2.应用不等式的性质解决问题时,要注意各性质的条件, 还要注意特殊情形及条件与结论的区分. (1)给出下列结论 ①若 ac>bc,则 a>b. ②若 a<b,则 ac2<bc2. 1 1 ③若a<b<0,则 a>b.

④若 a>b,c>d,则 a-c>b-d. ⑤若 a>b,c>d,则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________.

[答案] ③

[解析]

①当 c>0 时, 由 ac>bc?a>b, 当 c<0 时, 由 ac>bc

?a<b,故①错; ②当 c≠0 时,由 a<b?ac2<bc2,当 c=0 时,由 a<b? / ac2<bc2,故②错. 1 1 1 1 ③∵ < <0,∴a<0,b<0,∴ab>0,∴ · ab< · ab,即 b<a, a b a b ∴a>b,故③正确.

④∵c>d,∴-c<-d,又 a>b,两不等式不等号的方向不 同,不能相加,∴a-c>b-d 错误. a>b>0? 0>a>b? ? ? ??ac>bd, ??ac>bd, ⑤ ? ? c>d>0 ? 0>c>d ? a>b>0? ? ?? 但 / 0>c>d ? ? 0>a>b? ? ?? ac>bd, / ac>bd. c>d>0 ? ?

重点难点展示

重点:不等式性质的应用和分类讨论思想. 难点:应用不等式性质时条件的把握.

思路方法技巧

命题方向

判断不等式是否成立

[例 1]

已知 0<a<1,给出下列四个不等式

1 ①loga(1+a)<loga(1+ ) a 1 ②loga(1+a)>loga(1+a)

其中正确的序号是( A.①③ C.②③

) B.①④ D.②④

[答案] D

[分析]

(1)同底的对数式比较大小可以作差比较,同底数

的指数式比较大小可以作商比较. (2)对 0<a<1 的任意数 a,结论都成立,故可取特值检验.

[解析]

1+a 1 ∵ loga(1 + a) - loga(1 + a ) = loga 1 = logaa = 1+ a

1 1>0,∴loga(1+a)>loga(1+ ),∴②正确,①错误; a

若 a,b,c,d 均为实数,且有下列结论( 甲:若 a>b>0.则 ac>bc 乙:若 a>b,则 a-c>b-c 丙:若 a-b>0,c-d>0,则 a-c>b-d a b 丁:若 a>b,c<d,cd≠0,则c>d

)

以上结论中错误的个数是( A.0 C .2 B.1 D.3

)

[答案] D

[解析]

可用不等式的性质判断,也可举反例.

甲错,∵c=0 时.ac=bc=0;丙错,a=7,b=6,c=5, d=4 时,a-c=b-d=2; a b 丁错.a=7,b=6,c=-2,d=1 时,c >d不成立.∴选 D.

合作探究 设 a、 b 是不相等的正数, A= 2 a2+b2 a+b , B= , c= ab, 2 2

D=1 1,比较 A、B、C、D 的大小结果为__________. + a b

[答案] A>B>C>D

[分析]

特例探路法:对于含字母的表达式大小的比较,

有时可先给其赋值比较大小,然后据此初步猜出其大小后再给 予证明. 3 令 a=1,b=3;则 A= 5,B=2,C= 3,D=2. ∴D<C<B<A.

[解析]

∵A2-B2=(

a2+b2 2 a+b 2 ) -( ) 2 2

a2+b2 a2+b2+2ab a2+b2-2ab ?a-b?2 = - = = >0, 2 4 4 4 ∴A2>B2 又 A>0,B>0,∴A>B; a+b ∵B-C= 2 - ab a-2 ab+b ? a- b?2 = = >0, 2 2

∴B>C; 2ab ∵C-D= ab- = ab- 1 1 a+b + a b ?a+b? ab-2? ab?2 ab? a- b?2 = = >0, a+b a+b ∴C>D,∴A>B>C>D. 2

命题方向

证明不等式

[例 2]

a+b c+d (1)若 bc-ad≥0,bd>0,求证: b ≤ d .

a b (2)已知 c>a>b>0.求证: > . c-a c-b

[解析]

c a (1)∵bc≥ad,bd>0,∴ ≥ , d b

a+b c+d c a ∴ +1≥ +1,∴ ≤ . d b b d (2)∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0,-a<-b<0, 1 1 ∴0<c-a<c-b,∴ > >0, c-a c-b a b 又∵a>b>0,∴ > .. c-a c-b

a+m a 已知:a、b、m 均为正数,且 a<b,求证: > . b+m b

[解析]

a+m a m?b-a? 证法一: - = b+m b b?b+m?

m?b-a? a+m a ∵0<a<b,m>0,∴ >0,∴ > . b?b+m? b+m b a+m a+m+b-b a-b 证法二: = =1+ b+m b+m b+m b-a b-a a =1- >1- b =b. b+m

a+m a 证法三:∵a、b、m 均为正数,∴要证 > , b+m b 只需证(a+m)b>a(b+m), 只需证 ab+bm>ab+am, 只要证 bm>am, 要证 bm>am,只需证 b>a,又已知 b>a, ∴原不等式成立.

证法四:在平面直角坐标系中,设点 A(b,a),B(b+m,a +m),∵b>a>0,m>0,∴A、B 均在第一象限,且∠AOD<45° , ∠BAC=45° ,90° >∠BOD>∠AOD>0° ,

a+m a ∴tan∠BOD>tan∠AOD,即 > . b+m b 证法五:已知 b 克盐水里含 a 克盐,再加上 m 克盐,浓度 a+m a 变大了,即 > . b+m b a+x 证法六:令 f(x)= (b>a>0,x≥0),设 x1>x2≥0,则 f(x1) b+x a+x1 a+x2 ?a-b??x2-x1? -f(x2)= - = >0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x) b+x1 b+x2 ?b+x1??b+x2? 在[0,+∞)上为增函数,

a+m a ∵m>0,f(m)>f(0),即 >b. b+m

证法七:如上图 b>a>0? ? ??bm>am>0 m>0 ? ? ?ab+bm>ab+am ?b(a+m)>a(b+m) a+m a ? >b. b+m

建模应用引路

命题方向

比较大小

[例 3]

甲、 乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两

次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购 粮方式也不同.其中,甲每次购买 1 000 kg,乙每次购粮用 去 1 000 元钱,谁的购粮方式更合算?

[解析]

设两次价格分别为 a 元,b 元,则甲的平均价格

a+b 2 000 2ab 为 m= 2 元,乙的平均价格为 n=1 000 1 000= ,∴ a+b + a b a+b 2ab ?a-b?2 m-n= - = >0,∴乙合算. 2 a+b 2?a+b?

某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦每千克 a 元,二级小麦每千克 b 元(b<a).现有一级小麦 m kg,二级小 麦 n kg,若以两种价格的平均数收购,是否合理?为什么?

[解析]

a+b ∵两种价格的平均值为每千克 元. 2

a+b ?a-b??n-m? ∴ 2 (m+n)-(ma+nb)= , 2 ∴当 n=m 时合理,当 n≠m 时,不合理.当 n>m 时, 收购站吃亏,当 n<m 时,售粮方吃亏.

探索延拓创新

[例 4]

甲、乙二人沿同一条道路同时从 A 地向 B 地出

发,甲用速度 v1 与 v2(v1≠v2)各走一半路程,乙用速度 v1 与 v2 各走全程所需时间的一半,试判断甲、乙两人谁先到达 B 地?证明你的结论.

[解析]

s s 设全程为 2 s,甲走完全程所用时间为v +v ,设 1 2

乙走完全程所用时间为 2 t,则 tv1+tv2=2 s. 2s ∴t = . v1+v2 -s?v1-v2?2 4s s s ∵ -( + )= <0, v2+v2 v1 v2 ?v1+v2?v1v2 ∴乙用时少,故先到达 B 地.

已知 a > 2 , b > 2 ,则比较 a + b 与 ab 的大小结果为 ________.

[答案] a+b<ab

[解析]

解法一:ab-(a+b)=ab-a-b+1-1

=(a-1)(b-1)-1, ∵a>2,b>2.∴a-1>1,b-1>1, ∴(a-1)(b-1)>1,∴ab>a+b. a+b 1 1 1 1 解法二: ab =b+a<2+2=1, ∵ab>0,∴a+b<ab.

合作探究 已知 a>0,b>0,a≠b,n∈N 且 n≥2,比较 an+bn 与 an
-1

b+abn-1 的大小.

[解析]

(an+bn)-(an-1b+abn-1)=an-1(a-b)+bn-1(b-a)

=(a-b)(an-1-bn-1), (1)当 a>b>0 时,an 1>bn 1,∴(a-b)(an 1-bn 1)>0,
- - - -

(2)当 0<a<b 时,an 1<bn 1,∴(a-b)(an 1-bn 1)>0,
- - - -

∴对任意 a>0,b>0,a≠b,总有(a-b)(an-1-bn-1)>0. ∴an+bn>an-1b+abn-1.

拓展创新 已知 a,b∈R 且 a>b,求证:a b >(ab)


a b

a+b 2

.

[解析]

探索思考 已知 0<x<1,a>0 且 a≠1 试比较|loga(1-x)|与|loga(1 +x)|的大小.

[解析]

|loga?1-x?| ∵0<x<1,∴ =|log1+x(1-x)|=-log1 |loga?1+x?|

1+x 1 =log1+x >log1+x(1+x)=1,∴|loga(1 + x(1 - x) =log1 +x 1-x 1-x2 -x)|>|loga(1+x)|.

[点评]

可以分 a>1,与 0<a<1 讨论,也可作差换底去

掉绝对值号讨论或平方相减讨论.

命题方向 [例 5]

讨论取值范围

设 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求

f(-2)的取值范围.

[解析] f(-1)=a-b, f(1)=a+b, 一方面, 由条件知 1≤a -b≤2,2≤a+b≤4,因此可确定字母 a、b 的范围,进而求出 f?-1?+f?1? f(-2)的范围; 另一方面, 由 f(-1), f(1)可求出 a= , 2 f?1?-f?-1? b= , 进而用 f(-1)、 f(1)表示出 f(-2), 从而求出 f(- 2 2)的范围,两方面所求结论是否相同呢?如果不同,哪方面出 现了问题?下面我们来具体研究一下.

解法 1:1≤f(-1)=a-b≤2,2≤f(1)=a+b≤4. 3 两式相加,得 3≤2a≤6,∴ ≤a≤3. 2 又∵-2≤b-a≤-1,2≤b+a≤4. 3 ∴0≤2b≤3,∴0≤b≤2. ∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0. ∴3≤f(-2)=4a-2b≤12.

解法 2:则 f(-1)=a-b,f(1)=a+b, 1 1 得 a= [f(-1)+f(1)],b= [f(1)-f(-1)]. 2 2 ∴f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,∴3≤3f(-1)≤6. 又 2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10.

探究: 1. 比较上述两种解法,所得结果分别为 3≤f( - 2)≤12, 与 5≤f(-2)≤10.显然结果不同, 哪个解法是正确的? 为什么?考虑条件 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 得到的是 1≤a- b≤2,2≤a+b≤4,这两个结论,显然两字母 a、b 是相互联系 3 的整体,而并非独立存在着,如果确定出 a、b 的各自范围2 3 3 9 ≤a≤3,0≤b≤2,那么 0≤a-b≤3,2≤a+b≤2,即 0≤f(- 3 9 1)≤3, 这与条件矛盾了! 因此, 解法 1 方法错了, 2≤f(1)≤2, 本题的答案应该是 5≤f(-2)≤10.

2. 既然 a 与 b 是互相联系的整体, 那么 f(-2)就能够用 f(- 1)和 f(1)来表示,不妨设 f(-2)=mf(1)+nf(-1) 即 4a-2b=m(a+b)+n(a-b) ∴4a-2b=(m+n)a+(m-n)b 此式应对所有 a,b 的取值都成立
? ?m+n=4 ∴? ? ?n-m=-2 ? ?m=1 ∴? ? ?n=3

.

于是 f(-2)=f(1)+3f(-1)这样可由 f(1)与 f(-1)的范围用 同向可加性和可乘性得出 f(-2)的取值范围,这种方法称作待 定系数法.

3.学过线性规划后还可以用线性规划方法求解.
? ?1≤f?-1?≤2 由? ? ?2≤f?1?≤4 ? ?1≤a-b≤2 得:? ? ?2≤a+b≤4

,(*)

问题变为在线性约束条件(*)下, 求目标函数 z=f(-2)=4a -2b 的最值问题. 在 aOb 平面内作出可行域,

3 1 ∴当直线 z=4a-2b 过 A( , )点时取最小值 zmin=5, 2 2

当直线经过点 B(3,1)时取最大值 zmax=10, ∴5≤f(-2)≤10. [ 点评] 总结本题可知:如果条件是多个字母相关连 ( 如

和、差、积、商等)的范围,在求解与这些字母有关代数式范围 时,我们利用整体代换的方式,把要求范围的代数式用已知代 数式表示,再利用不等式性质求解,这种整体思想要注意把握 和运用.

课堂巩固训练

一、选择题 1.(2010~2011· 甘肃天水一中期末)设 a、b 为非零实数, 若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a <b
2 2

)

1 1 B. > a-b a b a D.a<b

1 1 C.ab2<a2b

[答案] C

[解析]

当 a<0<b,且|a|>|b|时,易知 A、D 错误;当 a=1,

1 1 1 1 1 a-b b=2 时, =-1,∴ > 错; 2- 2 = 2 2 <0 总成立, ab a b a b a-b a-b a 故选 C.

二、填空题 π π 2. 已知 α∈(0, ), β ∈( , π), 则 α-2β 的范围是________. 2 2
π (-2π,- ) 2

[答案]

[解析]

π ∵2<β<π∴-2π<-2β<-π,

π π 又∵0<α< ∴-2π<α-2β<- . 2 2

三、解答题 3 a 3 b 3.若 a>b>0,c<d<0,试证明 < . d c
[证明] 1 1 ∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0<-c <-d,

3 a b a 3 b 又 a>b>0,∴-d>-c >0,∴ -d> -c , 而 3 3 a 3 3 b 3 a 3 b a b - =- , - =- ,∴ < . d d c c d c

t+1 1 4.设 a>0,a≠1,t>0 比较 logat 与 loga 的大小. 2 2
1 [解析] 2logat=loga t, t+1 t-2 t+1 ? t-1?2 ∵ 2 - t= = 2 , 2 t+1 t +1 ∴当 t=1 时, 2 = t;当 t>0 且 t≠1 时. 2 > t. ∵当 a>1 时,y=logax 是增函数, t+1 1 ∴当 t>0 且 t≠1 时,loga 2 >loga t=2logat.

t+1 1 当 t=1 时,loga = logat. 2 2 ∵当 0<a<1 时,y=logax 是减函数, 1+t 1 ∴当 t>0 且 t≠1 时,loga 2 <loga t=2logat, t+1 1 当 t=1 时,loga 2 =2logat.

1+t 1 综上知,当 t=1 时,loga = logat;当 t>0 且 t≠1 时, 2 2 1+t 1 1+t 1 若 a>1 则 loga > logat;若 0<a<1 则 loga < logat. 2 2 2 2


相关文章:
18学年高中数学第三章不等式章末复习课学案新人教...
18学年高中数学不等式章末复习课学案新人教A版必修5 - 。 内部文件,版权追溯 第不等式 学习目标 1.整合知识结构, 进一步巩固、 深化所学知识.2....
新版高中数学人教A版必修5习题:第一章解三角形 1....
新版高中数学人教A版必修5习题:第章解三角形 1.2.3 - 第 3 课时 角度问题 课时过关· 能力提升 基础巩固 1 从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其...
高中数学 1.2应用举例教案(3) 新人教版必修5
高中数学 1.2应用举例教案(3) 新人教版必修5 - 课题: §1. 2 解三角形应用举例 ●教学目标 知识与技能: 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法进一步解决...
...1-2-2-3 习题课能力强化提升 新人教A版必修1
【成才之路】2014高中数学 1-2-2-3 习题课能力强化提升 新人教A版必修1_...增加慢,向下弯曲. 8.若函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,则不等式 f?...
最新人教A版选修2-3高中数学强化习题2.1.1离散型随...
最新人教A版选修2-3高中数学强化习题2.1.1离散型随机变量和答案_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 、选择题 1.将...
...1课时一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修...
高中数学不等式3.2一不等式及其解法第1课时不等式及其解法学案新人教A版必修5 - 1 1.().2. () [ ] 1 2 2 (1)ax2...
...1.3简单的逻辑联结词课后习题 新人教A版选修2-...
2015-2016学年高中数学 1.3简单的逻辑联结词课后习题 新人教A版选修2-1_数学...不等式|x|&gt;x 的解集为(-∞ ,0) 2 2 D.p:圆(x-1) +(y-2) =1 ...
推荐2019新版高中数学人教A版必修5习题:第一章解三...
推荐2019新版高中数学人教A版必修5习题:第一章解三角形1-2-1 - 最新中小学教案、试题、试卷 1.2 应用举例 距离问题 课时过关· 能力提升 基础巩固 第 1 ...
...1.3.2.2函数性质的应用双基限时练 新人教A版必...
(学习方略) 2019-2020 学年高中数学 1.3.2.2 函数性质的应用双基 限时练 新人教 A 版必修 1 1.下列函数,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上是减函数的是(...
...等式及其解法(第1课时)目标导学 新人教A版必修...
2013-2014学年高中数学 3.2一不等式及其解法(第1课时)目标导学 新人教A版必修5 - 第 1 课时 不等式及其解法 1.了解不等式的概念...
更多相关标签: