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空间向量及其加减与数乘运算导学案3


高二数学导学案

编写: 刘宝云

审核:孟建宁

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3.1.1~3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算 教学目标: (1)学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形,理解空间向量的概念,掌握空间向量 的加法、减法和数乘运算及其运算律,并思考两者的联系和区别。 (2)让学生经历向量由平面向空间推广的过程,使学生体会类比和归纳的数学思想方法, 并体验数学在结构上的和谐性。 预习探究案 1.在 ,我们把 ,叫做空间向量.

结合律:

. ,称为向量的数乘.长度与方向规定为:

9.实数λ 与 a 的积仍然是一个向量,记作 (1)长度是 (2)方向: 当λ >0 时, .

; 当λ <0 时,

;当λ =0 时,

.

10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律. 分配律: . 结合律: .
。 称它为共线向量

11、 对于空间任意两个向量 a, b(b ? 0) ,a ∥ b 的充要条件是 定理。

____________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样,空间向量也用 表示,此表示法为空间向量的 , . , 时, AB ? 0 .

12、 如果两个向量 a, b 不共线, 那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是 称为共面向量定理。 13、已知点M在平面ABC内,并且对于空间任一一点O, OM ? xOA ? OB ? OC



如右图,此向量的起点是 A,终点是 B,可记作 也可记作 3. 零向量的方向是 4. 5.与向量 a 6. 示 或 .其模长记为__________或 叫做零向量,记为 .当有向线段的起点 A 与终点 B

1 3

1 3

例 1. 1. 花简:

AB ? CD ? BC ?
EF ? OF ? OE ?

. .

AP ? MN ? NP ?

.

的向量称为单位向量. 的向量,称为 a 的相反向量,记为- a . 的向量称为相等的向量.因此,在空间, . 的有向线段表

2 已知平行六面体 ABCD- A ?B?C ?D ? ,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量. ① AB ? BC ? AA? ; ② AB ? AD ? AA? ;

7.类似于平面向量,定义空间向量的加减运算如

1 1 ③ AB ? AD ? CC ? ; ④ ( AB ? AD ? AA?) 2 3 3 若 2 AD? ? BD? ? xAC,求x.

OB =
AB =

= =

, . . 变式:在空间四边形 ABCD 中,连结 AC、BD,△BCD 的重心为 G, ① .②

推广: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? 8. 交换律: ;

AG ? xBA ? y BD ? z BC
1

求 x、y、z

求证: AG ? 3 ( AB ? AC ? AD) .

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例 2: 设 e1 、 e2 是平面上不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D三点共线,求 k 的值。

3.设空间任意一点 O 和不共线三点 A 、 B 、 C , ?OP ? mOA ? nOB ? lOC ( ? , m, n, l ? R 且

(A ) m ? n ? l ? 1 m ? n ?l ? ? ?1

? ? 0) , 若 P 、 A 、 B 、 C 四点共面,则(



(B) m ? n ? l ? 0

(C ) m ? n ? l ? ?

(D)

4.对于空间的任意三个向量 a,b,2a-b,它们一定是(
例 3: 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间 9 个点(如图),并且

)

A 共面向量, B 共线向量 , C 不共面向量 , D 既不共线也不共面的向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OH ? kOD, AC ? AD ? mAB, EG ? EH ? mEF.
求证:①A、B、C、D四点共面, ② AC ∥ EG ③ OG ? kOC D A H C B G O

→ =a,CA → =b,AB → =c,且 a+b+c=0,则AM → =( 5.设 M 是△ABC 的重心,记BC b-c A. 2 c-b B. 2 C. b-c 3 c-b D. 3

)

→ =a,OB → =b,OC → =c,点 M 在 OA 边上,且 6.如下图,在空间四边形 OABC 中,OA
E F

→ =2MA → ,N 为 BC 的中点,则MN → =________(用 a,b,c 表示). OM

7.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点. 训练案
1.判断下列命题中为真命题的是( ) (A)向量 AB 与 BA 的长度相等 (B)将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 (C)空间向量就是空间中的一条有向线段 (D)不相等的两个空间向量的模必不相等 2. O 为空间任意一点,使 A 、 B 、 C 三个点共线的一个条件是(

求证:B1C∥平面 ODC1.



1 1 OA ? OB 2 3 1 1 (C) OC ? OA ? OB 3 4
(A)OC ?

1 2 OA ? OB 3 3 1 1 (D)OC ? OA ? OB 2 4
(B)OC ?

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三.基础达标 1.对于空间的任意三个向量 a,b,2a-b,它们一定是( )

A 共面向量, B 共线向量 , C 不共面向量 , D 既不共线也不共面的向量 2.已知空间四边形 ABCD,E、F 分别是 AB 与 AD 边上的点,M、N 分别是 BC 与 → =λAB → ,AF → =λAD → ,CM → =μCB → ,CN → =μCD → ,则向量EF → 与MN → 满足的关 CD 边上的点,若AE 系为( ) → ∥MN → C.|EF → |=|MN →| B.EF → |≠|MN →| D.|EF ) 7.如上右图在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点. 求证:B1C∥平面 ODC1.

→ =MN → A.EF

→ =a,CA → =b,AB → =c,且 a+b+c=0,则AM → =( 3.设 M 是△ABC 的重心,记BC b-c A. 2 c-b B. 2 C. b-c 3 c-b D. 3

4.已知两非零向量 e1,e2,且 e1 与 e2 不共线,设 a=λe1+μe2(λ,μ∈R,且 λ2+μ2≠0), 则( ) A.a∥e1 B.a∥e2 C.a 与 e1、e2 共面 D.以上三种情况均有可能 五、课后反思 1.本节课我最大的收获是 2.我还存在的疑惑是 四、小结:1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3、平行六面体

→ =xOA → +yOB → +zOC → (x、y、 5.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,且有OP z∈R),则 x+y+z=1 是四点 P、A、B、C 共面的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

→ =a,OB → =b,OC → =c,点 M 在 OA 边上,且 6.如下图,在空间四边形 OABC 中,OA → =2MA → ,N 为 BC 的中点,则MN → =________(用 a,b,c 表示). OM

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