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空间向量的正交分解及其坐标表示


复习:
??? ? ? 对空间任意两个向量a、 b ? 0),/ /b的 ( b a ? ? 充要条件是存在实数?,使a=? b.

共线向量定理:

共面向量定理:
? ? ? ? ? 如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 ? ? ? p=xa+yb.

平面向量基本定理:

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i

? ? ? a ? xi ? y j

y

? a
x

? a ? ? x, y ?

? o j

?? 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以 ? ? 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理).对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
z

问题:

一、空间向量的坐标分解

? ? 给定一个空间坐标系和向量p ? ? ? ? 且设 i, j , k为空间两两垂直的向 ?k ??
量,设点Q为点P在 i, j 所确定平 i
面上的正投影.
x

O

? j

?? p

P

y Q

一、空间向量的坐标分解
在OQ, k所确定的平面上, 存在 实数z, 使得OP ? OQ ? z k ?? 在i, j所确定的平面上, 存在

z

实数x, y, 使得OQ ? xi ? y j

? k ? ? j O i

?? p

P

y
Q

OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk x

?? 那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk. 我们称 xi, y j, zk 为向量 P ?? ? 在 i, j, k 上的分向量.

?? ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两两垂直的向量,

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

? ? ? ? ? ?

?? ? 代替两两垂直的向量 i, j , k

a, b, c

,你能得出类似的

结论吗? 空间向量基本定理: ? ? ? ?? 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 P ,

? ? ? ? ? 存在有序实数组 ?x, y, z?,使 p ? xa ? yb ? zc. ? ?? { a, b, c }叫做空间的一个基底,

? ?? a, b, c 都叫做基向量

? ?? 特别提示:对于基底{ a, b, c },除了应知道 ? ?? a, b, c 不共面,还应明确:
(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个 基底. ? (2 ) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与 任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐 ? 含着它们都不是 0 . (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.

例题讲解:

? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 例1 设 x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且 a, b, c 是空 间的一个基底,给出下列向量组 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a, b, x ② x, y, z ③ b, c, z ④ x, y, a ? b ? c
,其中可以作为空间的基底的向量组有( A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

C)
D1 C1 B1 C B

分析:能否作为空间的基底,即是判 A1 断给出的向量组中的三个下向量是 ? ?? D 否共面,由于 a, b, c 是不共面的向 量,所以可以构造一个平行六面体 A 直观判断 ? ??? ? ???? ? ??? ? ? ? 设 a ? AB, b ? AA1 , c ? AD ,易判断出答案

例题讲解
例 1. 如图,M,N分别是四面体 OABC的边 OA,BC的中点,P,Q是MN 的三等分.用向
量OA OB, 表示OP和OQ. , OC

O ? ? 1 ???? 2 ????? 解:OP ? OM ? MP ? OA ? MN 2 3 ? 1 ???? 2 ????? ?????? M ? OA ? (ON ? OM ) 2 3 ? ? Q 1 ???? 2 1 ???? ????? ? OA ? ? (OB ? OC ) A 6 3 2 P ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ???? N ? OA ? OB ? OC
???? ????? ????? ? ? 6 3 3

C

B

OABC的边 例 1.如图,M,N分别是四面体 OA,BC的中点,P,Q是MN 的三等分.用向
???? ????? ????? 1 ???? 1 ????? 1 ???? 1 ???? ????? ? ? 解:OQ ? OM ? MQ ? OA ? MN ? OA ? (ON ? OM) ? 1 ???? 1 ???? 1 ???? ? OA ? (ON ? OA) 2 3 2 ? 1 ???? 1 1 ???? ????? ? OA ? ? (OB ? OC ) 3 3 2 ? 1 ???? 1 ???? 1 ???? ? OA ? OB ? OC 3 6 6

量OA OB, 表示OP和OQ. , OC
2 3

2

3

O

M A
Q

P B N

C

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点,向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

z

?? ? ? 以 i , j , k 为单位正交基底

?

?

z
? ? k

P ( x, y, z )

?

? ? ? ??i, ?j, k? 为基底 ? p ?? ? ? ??

建立空间直角坐标系O—xyz
p ? xi ? y j ? zk

( x, y, z )

? O? i

x

? j

y

? ? y 记 p ? ( x, y, z )

x

??? ? OP ? ( x, y, z ) ? P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 取D点为原点建立空间直角坐标系,O、M、P、Q

分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点,写出下列向
量的坐标.
AM ? __________ ____
A1 M D1 z B1 C1

Q

P

OB1 ? __________ ____
PQ ? __________ ______
D

y
C O

x A

B

探究:向量运算的坐标表示

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).

a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

? ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ?

a - b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

a· 1x2+y1y2+z1z2 b=x

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算 ? ? 已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ? x 2 ? y 2 ? z 2
2.角度的计算 ? ? 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

练习一:
1.求下列两点间的距离:
(1) A(1,1, 0) , B (1,1,1) ; (2) C (?3 ,1, 5) , D (0 , ? 2 , 3) .

2.求下列两个向量的夹角的余弦: ? ? (1) a ? (2 , ? 3 , 3),b ? (1, 0 , 0) ; ? ? (2) a ? (?1, ? 1,1),b ? (?1, 0 ,1) ;
ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , 3.已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________;
4. Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x,0,1) ,则 x ? ____; 2
?

例题:
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 (1, 0 , 5) ,求: B (1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则

A
M

B
O

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ? ???? AB ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 .

???? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB ) ? ?(3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ? ? ? ? 2 , , 3 ? , ? 2 2? ? 2 ?

例3

如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 B1 E1 ? 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

z
D1 A1 F1

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . D C y ? 4 ? O ???? ? 3 ? ? 1 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , A B 4 ? ? 4 ? ? x ? ? 1 ? ? ? ???? 15 ? 1? 1 ? 1 ? ???? ???? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? BE 15 16 ???? 17 ???? 17 ? cos ? BE , DF ?? ???? 1 ?DF1 ? ? ? ? ? ???? ? . 1 1 | BE1 |? , | DF1 |? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 4.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是 BB1 , D1 B1 中点,求证: EF ? DA1

证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ,
1 1 1 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 则 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1, 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ??? ???? ? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

练习:
z
C1 A1 M B1

N C

建立空间直角坐 标系来解题。

A

B

x

y


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