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2015年广西南宁市中考数学试卷答案与解析


2015 年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题都给出代号为(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案 标号涂黑. 1. (3 分) (2015?南宁)3 的绝对值是( ) A.3 B.﹣3 C. D.

考点: 绝对值. 专题: 计算题. 分析: 直接根据绝对值的意义求解. 解答: 解:|3|=3. 故选 A. 点评: 本题考查了绝对值:若 a>0,则|a|=a;若 a=0,则|a|=0;若 a<0,则|a|=﹣a.
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2. (3 分) (2015?南宁)如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单组合体的三视图. 专题: 计算题. 分析: 从正面看几何体得到主视图即可. 解答:
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解:根据题意

的主视图为:



故选 B 点评: 此题考查了简单组合体的三视图,主视图是从物体的正面看得到的视图. 3. (3 分) (2015?南宁)南宁快速公交(简称:BRT)将在今年底开始动工,预计 2016 年 下半年建成并投入试运营,首条 BRT 西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为 11300 米, 其中数据 11300 用科学记数法表示为( )
1

A.0.113×105

B.1.13×104

C.11.3×103

D.113×102

考点: 科学记数法—表示较大的数. n 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 4 解答: 解:将 11300 用科学记数法表示为:1.13×10 . 故选 B. n 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
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4. (3 分) (2015?南宁)某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示,则这些队员年龄的众 数是( )

A.12

B.13

C.14

D.15

考点: 众数;条形统计图. 分析: 根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数. 解答: 解:观察条形统计图知:为 14 岁的最多,有 8 人, 故众数为 14 岁, 故选 C. 点评: 考查了众数的定义及条形统计图的知识, 解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众 数的定义,难度较小.
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5. (3 分) (2015?南宁) 如图, 一块含 30°角的直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在直线 DE 上, 且 BC∥DE,则∠CAE 等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 平行线的性质. 分析: 由直角三角板的特点可得: ∠C=30°, 然后根据两直线平行内错角相等, 即可求∠CAE 的度数. 解答: 解:∵∠C=30°,BC∥DE, ∴∠CAE=∠C=30°. 故选 A. 点评: 此题考查了平行线的性质,解题的关键是:熟记两直线平行同位角相等;两直线平行
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2

内错角相等;两直线平行同旁内角互补. 6. (3 分) (2015?南宁)不等式 2x﹣3<1 的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D.

考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式. 专题: 数形结合. 分析: 先解不等式得到 x<2,用数轴表示时,不等式的解集在 2 的左边且不含 2,于是可判 断 D 选项正确. 解答: 解:2x<4, 解得 x<2, 用数轴表示为:
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. 故选 D. 点评: 本题考查了在数轴上表示不等式的解集: 用数轴表示不等式的解集时, 要注意“两定”: 一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还 是空心;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”. 7. (3 分) (2015?南宁) 如图, 在△ ABC 中, AB=AD=DC, ∠B=70°, 则∠C 的度数为 ( )

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°

考点: 等腰三角形的性质. 分析: 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数,再由平角的定义得出∠ADC 的度数, 根据等腰三角形的性质即可得出结论. 解答: 解:∵△ABD 中,AB=AD,∠B=70°, ∴∠B=∠ADB=70°, ∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°, ∵AD=CD, ∴∠C=(180°﹣∠ADC)÷2=(180°﹣110°)÷2=35°, 故选:A. 点评: 本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.
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8. (3 分) (2015?南宁)下列运算正确的是( ) 2 3 6 A.4ab÷2a=2ab B.(3x ) =9x C.a3?a4=a7

D.

考点: 整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;二次根式的乘除法.
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专题: 计算题. 分析: A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断; B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断; D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:A、原式=2b,错误; 6 B、原式=27x ,错误; 7 C、原式=a ,正确; D、原式= ,错误, 故选 C 点评: 此题考查了整式的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,以及二次根式的乘 除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 9. (3 分) (2015?南宁)一个正多边形的内角和为 540°,则这个正多边形的每一个外角等于 ( ) A.60° B.72° C.90° D.108° 考点: 多边形内角与外角. 分析: 首先设此多边形为 n 边形,根据题意得:180(n﹣2)=540,即可求得 n=5,再再由 多边形的外角和等于 360°,即可求得答案. 解答: 解:设此多边形为 n 边形, 根据题意得:180(n﹣2)=540, 解得:n=5,
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∴这个正多边形的每一个外角等于:

=72°.

故选 B. 点评: 此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理: (n﹣2) ?180°,外角和等于 360°. 10. (3 分) (2015?南宁)如图,已知经过原点的抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x=﹣1,下列结论中:? ①ab>0,?②a+b+c>0,?③当﹣2<x<0 时,y<0. 正确的个数是( )
2

A.0 个

B.1 个

C .2 个

D.3 个

考点: 二次函数图象与系数的关系.

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4

分析: ①由抛物线的开口向上,对称轴在 y 轴左侧,判断 a,b 与 0 的关系,得到?ab>0; 故①错误; ②由 x=1 时,得到 y=a+b+c>0;故②正确; ③根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点,得到另一个交点,然后根据图象确定答 案即可. 解答: 解:①∵抛物线的开口向上, ∴a>0, ∵对称轴在 y 轴的左侧, ∴b>0 ∴?ab>0;故①正确; ②∵观察图象知;当 x=1 时 y=a+b+c>0, ∴②正确; ③∵抛物线的对称轴为 x=﹣1,与 x 轴交于(0,0) , ∴另一个交点为(﹣2,0) , ∴当﹣2<x<0 时,y<0;故③正确; 故选 D. 点评: 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 11. (3 分) (2015?南宁)如图,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 M 在⊙O 上,∠MAB=20°, N 是弧 MB 的中点, P 是直径 AB 上的一动点. 若 MN=1, 则△ PMN 周长的最小值为 ( )

A.4

B.5

C .6

D.7

考点: 轴对称-最短路线问题;圆周角定理. 分析: 作 N 关于 AB 的对称点 N′,连接 MN′,NN′,ON′,ON,由两点之间线段最短可知 MN′与 AB 的交点 P′即为△ PMN 周长的最小时的点,根据 N 是弧 MB 的中点可知 ∠A=∠NOB=∠MON=20°,故可得出∠MON′=60°,故△ MON′为等边三角形,由此可 得出结论. 解答: 解:作 N 关于 AB 的对称点 N′,连接 MN′,NN′,ON′,ON. ∵N 关于 AB 的对称点 N′, ∴MN′与 AB 的交点 P′即为△ PMN 周长的最小时的点, ∵N 是弧 MB 的中点, ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°, ∴∠MON′=60°, ∴△MON′为等边三角形, ∴MN′=OM=4, ∴△PMN 周长的最小值为 4+1=5.
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5

故选 B.

点评: 本题考查的是轴对称﹣最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的 性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点. 12. (3 分) (2015?南宁)对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 Max{a,b}表示 a、b 中的较大值,如:Max{2,4}=4,按照这个规定,方程 Max{x,﹣x}= A.1﹣ B.2﹣ C.1+ 或 1﹣ D.1+ 的解为( 或﹣1 )

考点: 解分式方程. 专题: 新定义. 分析: 根据 x 与﹣x 的大小关系,取 x 与﹣x 中的最大值化简所求方程,求出解即可. 解答: 解:当 x<﹣x,即 x<0 时,所求方程变形得:﹣x= ,
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去分母得:x +2x+1=0,即 x=﹣1; 当 x>﹣x,即 x>0 时,所求方程变形得:x= ,即 x ﹣2x=1,
2

2

解得:x=1+ 或 x=1﹣ (舍去) , 经检验 x=﹣1 与 x=1+ 都为分式方程的解. 故选 D. 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整 式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. (3 分) (2015?南宁)分解因式:ax+ay= a(x+y) . 考点: 因式分解-提公因式法. 专题: 因式分解. 分析: 观察等式的右边,提取公因式 a 即可求得答案. 解答: 解:ax+ay=a(x+y) . 故答案为:a(x+y) . 点评: 此题考查了提取公因式法分解因式.解题的关键是注意找准公因式.
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14. (3 分) (2015?南宁)要使分式

有意义,则字母 x 的取值范围是 x≠1 .

考点: 分式有意义的条件.

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分析: 分式有意义,分母不等于零. 解答: 解:依题意得 x﹣1≠0,即 x≠1 时,分式

有意义.

故答案是:x≠1. 点评: 本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义?分母为零; (2)分式有意义?分母不为零; (3)分式值为零?分子为零且分母不为零. 15. (3 分) (2015?南宁) 一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球, 把它们分别标号为 1, 2,3,4,5,随机提取一个小球,则取出的小球标号是奇数的概率是 .

考点: 概率公式. 分析: 首先判断出 1,2,3,4,5 中的奇数有哪些;然后根据概率公式,用奇数的数量除以 5,求出取出的小球标号是奇数的概率是多少即可. 解答: 解:∵1,2,3,4,5 中的奇数有 3 个:1、3、5,
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∴取出的小球标号是奇数的概率是:3÷5= . 故答案为: . 点评: 此题主要考查了概率公式的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数. 16. (3 分) (2015?南宁)如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ ADE,则∠BED 的度数 是 45° .

考点: 正方形的性质;等边三角形的性质. 分析: 根据正方形的性质, 可得 AB 与 AD 的关系, ∠BAD 的度数, 根据等边三角形的性质, 可得 AE 与 AD 的关系, ∠AED 的度数, 根据等腰三角形的性质, 可得∠AEB 与∠ABE 的关系,根据三角形的内角和,可得∠AEB 的度数,根据角的和差,可得答案. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°. ∵等边三角形 ADE, ∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°. ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°, AB=AE, ∠AEB=∠ABE=(180°﹣∠BAE)÷2=15°,
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∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°, 故答案为:45°. 点评: 本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE 的度数,再求出∠AEB,最后求出答案.

17. (3 分) (2015?南宁)如图,点 A 在双曲线 y=

(x>0)上,点 B 在双曲线 y= (x

>0)上(点 B 在点 A 的右侧) ,且 AB∥x 轴.若四边形 OABC 是菱形,且∠AOC=60°, 则 k= .

考点: 菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征. 分析: 首先根据点 A 在双曲线 y= (x>0)上,设 A 点坐标为(a,
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) ,再利用含 30°

直角三角形的性质算出 OA=2a,再利用菱形的性质进而得到 B 点坐标,即可求出 k 的值. 解答: 解:因为点 A 在双曲线 y= (x>0)上,设 A 点坐标为(a, ) , 因为四边形 OABC 是菱形,且∠AOC=60°, 所以 OA=2a, 可得 B 点坐标为(3a, 可得:k= ) , ,

故答案为: 点评: 此题主要考查了待定系数法求反比例函数,关键是根据菱形的性质求出 B 点坐标, 即 可算出反比例函数解析式. 18. (3 分) (2015?南宁)如图,在数轴上,点 A 表示 1,现将点 A 沿 x 轴做如下移动,第 一次点 A 向左移动 3 个单位长度到达点 A1,第二次将点 A1 向右移动 6 个单位长度到达点 A2,第三次将点 A2 向左移动 9 个单位长度到达点 ,按照这种移动规律移动下去,第 n

次移动到点 An,如果点 An 与原点的距离不小于 20,那么 n 的最小值是 13 .

考点: 规律型:图形的变化类;数轴. 分析: 序号为奇数的点在点 A 的左边,各点所表示的数依次减少 3,序号为偶数的点在点 A
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的右侧,各点所表示的数依次增加 3,于是可得到 A13 表示的数为﹣17﹣3=﹣20,A12 表示的数为 16+3=19,则可判断点 An 与原点的距离不小于 20 时,n 的最小值是 13. 解答: 解:第一次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1,则 A1 表示的数,1﹣3=﹣2; 第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2,则 A2 表示的数为﹣2+6=4; 第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3,则 A3 表示的数为 4﹣9=﹣5; 第 4 次从点 A3 向右移动 12 个单位长度至点 A4,则 A4 表示的数为﹣5+12=7; 第 5 次从点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5,则 A5 表示的数为 7﹣15=﹣8; …; 则 A7 表示的数为﹣8﹣3=﹣11,A9 表示的数为﹣11﹣3=﹣14,A11 表示的数为﹣14 ﹣3=﹣17,A13 表示的数为﹣17﹣3=﹣20, A6 表示的数为 7+3=10,A8 表示的数为 10+3=13,A10 表示的数为 13+3=16,A12 表示 的数为 16+3=19, 所以点 An 与原点的距离不小于 20,那么 n 的最小值是 13. 故答案为:13. 点评: 本题考查了规律型,认真观察、仔细思考,找出点表示的数的变化规律是解决本题的 关键. 三、 (本大题共 2 小题,每小题满分 12 分,共 12 分) 19. (6 分) (2015?南宁)计算:2015 +(﹣1) ﹣2tan45°+
0 2



考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用特殊角 的三角函数值计算,最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果. 解答: 解:原式=1+1﹣2×1+2 =2. 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
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20. (6 分) (2015?南宁)先化简,再求值: (1+x) (1﹣x)+x(x+2)﹣1,其中 x= .

考点: 整式的混合运算—化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先利用乘法公式展开,再合并得到原式=2x,然后把 x= 代入计算即可.
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2 2 解答: 解:原式=1﹣x +x +2x﹣1 =2x,

当 x= 时,原式=2× =1. 点评: 本题考查了整式的混合运算﹣化简求值:先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的 值代入求整式的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算, 其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 四、解答题
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21. (8 分) (2015?南宁)如图,在平面直角坐标系中,已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别 为 A(﹣1,1) ,B(﹣3,1) ,C(﹣1,4) . (1)画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1; (2)将△ ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△ A2BC2,请在图中画出△ A2BC2,并求出 线段 BC 旋转过程中所扫过的面积(结果保留 π) .

考点: 作图-旋转变换;作图-轴对称变换. 专题: 作图题. 分析: (1)根据题意画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1 即可; (2) 根据题意画出△ ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△ A2BC2, 线段 BC 旋转过 程中扫过的面积为扇形 BCC2 的面积,求出即可. 解答: 解: (1)如图所示,画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1; (2)如图所示,画出△ ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△ A2BC2,
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线段 BC 旋转过程中所扫过得面积 S=

=



点评: 此题考查了作图﹣旋转变换,对称轴变换,以及扇形面积,作出正确的图形是解本题 的关键.

10

22. (8 分) (2015?南宁)今年 5 月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试,为了 了解该校九年级(1)班同学的中考体育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并 绘制以下不完整的频数分布表(如表)和扇形统计图(如图) ,根据图表中的信息解答下列 问题: (1)求全班学生人数和 m 的值. (2)直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段. (3)该班中考体育成绩满分共有 3 人,其中男生 2 人,女生 1 人,现需从这 3 人中随机选 取 2 人到八年级进行经验交流, 请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率. 分组 分数段(分) 频数 A 2 36≤x<41 B 5 41≤x<46 C 15 46≤x<51 D m 51≤x<56 E 10 56≤x<61

考点: 列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图;中位数. 分析: (1)利用 C 分数段所占比例以及其频数求出总数即可,进而得出 m 的值; (2)利用中位数的定义得出中位数的位置; (3)利用列表或画树状图列举出所有的可能,再根据概率公式计算即可得解. 解答: 解: (1)由题意可得:全班学生人数:15÷30%=50(人) ; m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18(人) ;
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(2)∵全班学生人数:50 人, ∴第 25 和第 26 个数据的平均数是中位数, ∴中位数落在 51﹣56 分数段; (3)如图所示: 将男生分别标记为 A1,A2,女生标记为 B1 A1 A1 A2 B1 (A2,A1) (B1,A1) A2 (A1,A2) (B1,A2) B1 (A1,B1) (A2,B1)

P(一男一女)= = . 点评: 此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用, 根据题意利用列表法得出所有 情况是解题关键.

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23. (8 分) (2015?南宁)如图,在?ABCD 中,E、F 分别是 AB、DC 边上的点,且 AE=CF, (1)求证:△ ADE≌△CBF. (2)若∠DEB=90°,求证:四边形 DEBF 是矩形.

考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)由在?ABCD 中,AE=CF,可利用 SAS 判定△ ADE≌△CBF. (2)由在?ABCD 中,且 AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形, 可证得四边形 DEBF 是平行四边形,又由∠DEB=90°,可证得四边形 DEBF 是矩形. 解答: 证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=CB,∠A=∠C, 在△ ADE 和△ CBF 中,
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, ∴△ADE≌△CBF(SAS) . (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∵AE=CF, ∴BE=DF, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵∠DEB=90°, ∴四边形 DEBF 是矩形. 点评: 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注 意有一个角是直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形 ABCD 是平行四边形是关 键. 24. (10 分) (2015?南宁)如图 1,为美化校园环境,某校计划在一块长为 60 米,宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形花圃, 并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道, 设 通道宽为 a 米. (1)用含 a 的式子表示花圃的面积. (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,求出此时通道的宽. (3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y1(元) 、y2(元)与修建面积 x(m )之间的 函数关系如图 2 所示, 如果学校决定由该公司承建此项目, 并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价 为多少元?
2

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考点: 一次函数的应用;一元二次方程的应用. 分析: (1)用含 a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可;
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(2)根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,列出方程进行计算即可; (3)根据图象,设出通道和花圃的解析式,用待定系数法求解,再根据实际问题写 出自变量的取值范围即可. 解答: 解: (1)由图可知,花圃的面积为(40﹣2a) (60﹣2a) ; (2)由已知可列式:60×40﹣(40﹣2a) (60﹣2a)= ×60×40, 解以上式子可得:a1=5,a2=45(舍去) , 答:所以通道的宽为 5 米; (3)设修建的道路和花圃的总造价为 y, 由已知得 y1=40x, y2= ,

则 y=y1+y2=
2



x 花圃=(40﹣2a) (60﹣2a)=4a ﹣200a+2400; 2 x 通道=60×40﹣(40﹣2a) (60﹣2a)=﹣4a +200a, 当 2≤a≤10,800≤x 花圃≤2016,384≤x 通道≤1600, ∴384≤x≤2016, 所以当 x 取 384 时,y 有最小值,最小值为 2040,即总造价最低为 23040 元, 2 当 x=383 时,即通道的面积为 384 时,有﹣4a +200a=384, 解得 a1=2,a2=48(舍去) , 所以当通道宽为 2 米时,修建的通道和花圃的总造价最低为 23040 元. 点评: 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用, 解题的关键是表示出花圃的长 和宽. 25. (10 分) (2015?南宁)如图,AB 是⊙O 的直径,C、G 是⊙O 上两点,且 AC=CG,过 点 C 的直线 CD⊥BG 于点 D,交 BA 的延长线于点 E,连接 BC,交 OD 于点 F. (1)求证:CD 是⊙O 的切线. (2)若 ,求∠E 的度数.

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(3)连接 AD,在(2)的条件下,若 CD=

,求 AD 的长.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)如图 1,连接 OC,AC,CG,由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG,根据同圆的 半径相等得到 OC=OB,于是得到∠OCB=∠OBC,等量代换得到∠OCB=∠CBG,根 据平行线的判定得到 OC∥BG,即可得到结论;
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(2) 由 OC∥BD, 得到△ OCF∽△BDF, △ EOC∽△EBD, 得到 根据直角三角形的性质即可得到结论; (3)如图 2,过 A 作 AH⊥DE 于 H,解直角三角形得到 BD=3,DE=3 在 Rt△ DAH 中,AD= = = .





,BE=6,

解答: (1)证明:如图 1,连接 OC,AC,CG, ∵AC=CG, ∴ ,

∴∠ABC=∠CBG, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠OCB=∠CBG, ∴OC∥BG, ∵CD⊥BG, ∴OC⊥CD, ∴CD 是⊙O 的切线; (2)解:∵OC∥BD, ∴△OCF∽△BDF,△ EOC∽△EBD, ∴ ∴ , ,

∵OA=OB, ∴AE=OA=OB, ∴OC= OE, ∵∠ECO=90°,
14

∴∠E=30°; (3)解:如图 2,过 A 作 AH⊥DE 于 H, ∵∠E=30° ∴∠EBD=60°, ∴∠CBD= EBD=30°,

∵CD= , ∴BD=3,DE=3 ∴AE= BE=2, ∴AH=1, ∴EH= , ∴DH=2 ,

,BE=6,

在 Rt△ DAH 中,AD=

=

=



点评: 本题考查了切线的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理相似三角形的判定和性质, 圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键. 26. (10 分) (2015?南宁)在平面直角坐标系中,已知 A、B 是抛物线 y=ax (a>0)上两 个不同的点,其中 A 在第二象限,B 在第一象限, (1)如图 1 所示,当直线 AB 与 x 轴平行,∠AOB=90°,且 AB=2 时,求此抛物线的解析 式和 A、B 两点的横坐标的乘积. (2)如图 2 所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线 AB 与 x 轴不平行,∠AOB 仍为 90° 时,A、B 两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
2

15

(3)在(2)的条件下,若直线 y=﹣2x﹣2 分别交直线 AB,y 轴于点 P、C,直线 AB 交 y 轴于点 D,且∠BPC=∠OCP,求点 P 的坐标.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1) 如图 1, 由 AB 与 x 轴平行, 根据抛物线的对称性有 AE=BE=1, 由于∠AOB=90°,
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得到 OE= AB=1,求出 A(﹣1,1) 、B(1,1) ,把 x=1 时,y=1 代入 y=ax 得:a=1 得到抛物线的解析式 y=x ,A、B 两点的横坐标的乘积为 xA?xB=﹣1 (2)如图 2,过 A 作 AM⊥x 轴于 M,BN⊥x 轴于 N 得到∠AMO=∠BNO=90°,证 出△ AMO∽△BON,得到 OM?ON=AM?BN,设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,由于 A (xA,yA) ,B(xB,yB)在 y=x 图象上,得到 yA=
2 2 2 2

2

,yB=

,即可得到结论;

(3)设 A(m,m ) ,B(n,n ) .作辅助线,证明△ AEO∽△OFB,得到 mn=﹣1.再 2 联立直线 m:y=kx+b 与抛物线 y=x 的解析式,由根与系数关系得到:mn=﹣b,所以 b=1;由此得到 OD、CD 的长度,从而得到 PD 的长度;作辅助线,构造 Rt△ PDG, 由勾股定理求出点 P 的坐标. 解答: 解: (1)如图 1,∵AB 与 x 轴平行, 根据抛物线的对称性有 AE=BE=1, ∵∠AOB=90°, ∴OE= AB=1, ∴A(﹣1,1) 、B(1,1) , 2 把 x=1 时,y=1 代入 y=ax 得:a=1, 2 ∴抛物线的解析式 y=x , A、B 两点的横坐标的乘积为 xA?xB=﹣1 (2)xA?xB=﹣1 为常数, 如图 2,过 A 作 AM⊥x 轴于 M,BN⊥x 轴于 N, ∴∠AMO=∠BNO=90°, ∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°, ∴∠MAO=∠BON, ∴△AMO∽△BON, ∴ ,

16

∴OM?ON=AM?BN, 设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) , 2 ∵A(xA,yA) ,B(xB,yB)在 y=x 图象上, ∴,yA= ,yB= ,
?

∴﹣xA?xB=yA?yB= ∴xA?xB=﹣1 为常数;



(3)设 A(m,m ) ,B(n,n ) , 如图 3 所示,过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E、F,则易证△ AEO∽△OFB. ∴ ,即 ,整理得:mn(mn+1)=0,

2

2

∵mn≠0,∴mn+1=0,即 mn=﹣1. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,联立 ,得:x ﹣kx﹣b=0.
2

∵m,n 是方程的两个根,∴mn=﹣b. ∴b=1. ∵直线 AB 与 y 轴交于点 D,则 OD=1. 易知 C(0,﹣2) ,OC=2,∴CD=OC+OD=3. ∵∠BPC=∠OCP,∴PD=CD=3. 设 P(a,﹣2a﹣2) ,过点 P 作 PG⊥y 轴于点 G,则 PG=﹣a,GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3. 在 Rt△ PDG 中,由勾股定理得:PG +GD =PD , 2 2 2 2 即: (﹣a) +(﹣2a﹣3) =3 ,整理得:5a +12a=0, 解得 a=0(舍去)或 a=﹣ 当 a=﹣ ∴P(﹣ 时,﹣2a﹣2= , ) . , ,
2 2 2

17

点评: 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质,勾股定理、 相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点,有一定的难度.第(3)问中, 注意根与系数关系的应用.

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